第8练 向量的内积《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》“向量的内积”同步练，以三阶分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，通过基础巩固、适度提升的梯度训练，培养运算能力与推理意识，适配课堂同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量内积定义及公式直接应用|选择题1-5、填空题9-11，直接代入已知模与夹角计算，强化概念记忆| |进阶层|内积与模、夹角的综合关系|选择题6-8、填空题12，涉及参数运算及逆向求夹角，提升推理能力| |综合层|多知识点关联应用|解答题13-14，含夹角求解、模的计算等多问设计，培养数学思维的系统性|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 8 练 向量的内积 1、 选择题 1．已知，，与的夹角为，则等于（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量内积的定义直接计算即可得解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故选：D. 2．已知向量和，满足，且，则和的夹角为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式可求解. 【详解】由题可知，， 因为，所以. 故选：D. 3．若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角公式求解． 【详解】因为，，， 则， 因为，所以， 故选：D． 4．已知向量与的夹角为150°，，，则（    ） A．16 B．－24 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积公式易得答案. 【详解】因为与的夹角为,, 所以. 故选:C. 5．已知向量和，满足，且，则与的夹角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式可求解. 【详解】由题可知， ， 因为，所以. 故选：D 6．已知向量，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量数量积公式分别计算，再利用向量数量积的分配律将展开，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以， 即， 故选：D. 7．已知，，与的夹角为，则等于（    ）. A．3 B．6 C．12 D． 【答案】D 【分析】利用向量内积的定义直接计算即可得解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故选：D. 8．若是非零向量且满足，，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直及向量数量积的性质可得，联立可得，再代入向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即， 所以，则， 因为所以，即. 故选：. 二、填空题 9．已知，，，则____________ 【答案】3 【分析】根据题意结合平面向量的内积公式，即可得解. 【详解】因为，，， 则， 故答案为：. 10．已知向量，若，则__________. 【答案】 【分析】根据向量内积的定义，即可解得. 【详解】令向量夹角为，， 所以， 即，所以，即. 故答案为：. 11．已知为单位向量，，则________． 【答案】 【分析】根据向量的模以及向量运算求解即可. 【详解】由题意，， 所以，从而， 故，所以． 故答案为：. 12．两个向量，的模与它们夹角的余弦值之积称为向量与的内积（或数量积），记作，即.已知，，，则向量与的夹角______. 【答案】 【分析】根据题意求出，利用向量夹角的取值范围即可得解. 【详解】因为，则， 因为向量与的夹角的取值范围为， 所以， 故答案为：. 三、解答题 13．已知，， (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算以及向量夹角的公式求解即可. （2）根据（1）中，以及向量的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． 又，，所以，所以， 所以． 又，所以． （2）， 所以． 14．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的定义即可得解； （2）利用向量内积的运算律即可得解； （3）利用向量内积的运算律与向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以. （2）由（1）得，， 所以. （3）因为， 设与的夹角为， 则， 所以，因为，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 8 练 向量的内积 一、选择题 1．已知，，与的夹角为，则等于（ ）. A． B． C． D． 2．已知向量和，满足，且，则和的夹角为（ ）． A． B． C． D． 3．若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量与的夹角为150°，，，则（    ） A．16 B．－24 C． D． 5．已知向量和，满足，且，则与的夹角为（   ）． A． B． C． D． 6．已知向量，，，则（      ） A． B． C． D． 7．已知，，与的夹角为，则等于（    ）. A．3 B．6 C．12 D． 8．若是非零向量且满足，，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，，，则____________ 10．已知向量，若，则__________. 11．已知为单位向量，，则________． 12．两个向量，的模与它们夹角的余弦值之积称为向量与的内积（或数量积），记作，即.已知，，，则向量与的夹角______. 三、解答题 13．已知，， (1)求与的夹角； (2)求 14．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $