第06讲 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（暑假预习培优讲义，4题型技巧4重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第06讲 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数y=ax²+k的图象和性质 2 知识点02 二次函数 y=a(x-h)² 的图象和性质 3 知识点03 二次函数 y=a(x-h)² +k的图象和性质 4 知识点04 抛物线平移（必考） 5 剖题型·讲技巧 题型1 由顶点式直接判断函数图象性质 6 题型2 抛物线平移求解析式 7 题型3 已知顶点+任意一点，求函数解析式 8 题型4 比较两点函数值大小 9 释疑惑·重难拓展 题型1 平移逆向问题（已知平移后解析式求原解析式） 11 题型2 抛物线对称变换规律 11 题型3 限定自变量区间求最值（中考高频重难点） 13 题型4 顶点式二次函数综合压轴 15 知中考·真题探源 17 练好题·提分培优 18 课标要点 1.图象认知：熟练绘制的函数图象，掌握抛物线平移变换规律，熟练实现顶点式与一般式的相互转化。 2.性质掌握：结合函数图象，精准描述抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值；能够依据参数快速判定图象核心特征。 3.基础应用：熟练利用顶点式求解二次函数解析式，掌握图象平移、函数值大小比较、静态最值计算等基础题型解法。 4.培优提升：掌握含参数二次函数分类讨论、图象对称变换、区间最值、逆向平移等拔高题型，适配中考中档题型及压轴基础考点。 知识点01 二次函数y=ax²+k的图象和性质 y=ax²+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 练习 1．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 知识点02 二次函数 y=a(x-h)² 的图象和性质 函数 y=a(x-h)² a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0 当 x=h 时，y最大值​=0 练习 4．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 知识点03 二次函数 y=a(x-h)² +k的图象和性质  函数 y=a(x-h)²+k (a>0) y=a(x-h)²+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值=k. 当 x=h 时，y最大值=k. 练习 7．（25-26九年级上·广西钦州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 9．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 知识点04 抛物线平移（必考） 基础母函数：，平移通用核心口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1. 左右平移（改变h，仅变动自变量x） 向左平移个单位： 向右平移个单位： 2. 上下平移（改变k，仅变动常数项） 向上平移个单位： 向下平移个单位： 易错警示：左右平移仅针对自变量单独变形，严禁对系数或整体括号进行加减运算，这是高频易错点。 练习 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（   ）． A．向左平移个单位，再向下平移个单位 B．向右平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 题型1 由顶点式直接判断函数图象性质 方法技巧 核心技巧：对照标准顶点式，拆分参数直接判定，无需画图。 标准解题步骤：①看判开口方向与宽窄；②读确定顶点坐标；③定直线为对称轴；④分对称轴左右区间判断增减性与最值。 【典例1】（25-26九年级上·山西大同·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．抛物线开口向上 D．函数的最小值是4 【变式1-1】（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 题型2 抛物线平移求解析式 方法技巧 抛物线平移仅改变顶点位置，二次项系数保持不变。只需计算顶点平移后的新坐标，直接代入顶点式即可快速求解。 【典例2】（2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）将抛物线（m为常数）向左平移2个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 题型3 已知顶点+任意一点，求函数解析式 万能解题模板 题干已知顶点时，优先设顶点式，最大程度简化计算 1.设顶点式解析式：，代入已知顶点； 2.将抛物线经过的已知点坐标代入解析式，求解参数； 3.将回代，写出完整二次函数解析式。 【典例3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【变式3-2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【变式3-3】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 题型4 比较两点函数值大小 核心解题思路 以对称轴为核心参照，根据点的位置分类判断 1.两点在对称轴同侧：直接利用函数单调性判断函数值大小； 2.两点在对称轴两侧：计算两点到对称轴的水平距离，开口向上，距离越远函数值越大；开口向下，距离越远函数值越小。 【典例4-1】（25-26九年级上·重庆潼南·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【典例4-3】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线且经过点、． (1)求抛物线的解析式： (2)若点与点都在该抛物线上，直接写出与的大小关系． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏连云港·期末）已知抛物线（为常数）的顶点坐标为，若点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【变式4-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标是，且过点． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴． (2)此抛物线对应的函数y有最大值还是最小值？其值是多少？ (3)若是抛物线上的两点，且，则与的大小关系如何？ 题型1 平移逆向问题（已知平移后解析式求原解析式） 1．（25-26九年级上·陕西延安·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的新抛物线过点，则原抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）将抛物线_______向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 4.将二次函数（）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是，则原函数的表达式是________． 题型2 抛物线对称变换规律 5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 6．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线（为常数且的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为，与合起来得到的图象记为． ①在下面的网格中画出函数的图象； ②若对于函数图象上的两点，，当，时，总有．请直接写出的取值范围． 8．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线：（，），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． (1)当时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． (2)过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若，求的值． 题型3 限定自变量区间求最值（中考高频重难点） 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 11．（2026·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为． (1)若二次函数的图象过点． ①求该二次函数的表达式； ②当时，此二次函数的最大值为P，最小值为Q，求的值； (2)已知线段的两个端点坐标分别为，，当二次函数的图象与线段有两个交点时，求m的取值范围． 12．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 题型4 顶点式二次函数综合压轴 13．（2026·广东清远·一模）如图，抛物线交轴于点． (1)若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值； (2)过点的直线与轴右侧的抛物线交于另一个点，与抛物线交于点． ①若直线与轴垂直，求的值； ②若点在轴左侧，且是线段的中点，试判断点是否为的顶点，并说明理由． 14．（2026·河南洛阳·三模）探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 15．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线，其顶点为． 定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． (1)【理解与运用】：已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，求的值； (2)【思考与探究】：设抛物线（为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． ①若抛物线与轴交于，两点，且满足，求的值； ②设是“镜像抛物线”的顶点，是抛物线的顶点，当点在点的右侧，且时，求的取值范围． 16．（2026·广东汕头·三模）【问题背景】 已知抛物线(为常数， ）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． 【构建联系】 (1)如图1，当 ，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)【深入探究】如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求和k的值． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 5．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于二次函数，下列说法中，正确的是（    ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向下，顶点坐标为 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 5．（25-26九年级上·云南·期末）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 6．将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）抛物线的对称轴是___________ ． 8．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 9．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 三、解答题 10．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段检测）已知四个点，抛物线经过其中三个点． (1)点A在抛物线上吗？为什么？ (2)求与k的值． 11．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，以点为顶点的二次函数图象交y轴于点，将该二次函数图象向下平移n个单位，交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）． (1)求该二次函数的表达式． (2)若，求n的值． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 13．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 14．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B．    (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 15．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数y=ax²+k的图象和性质 2 知识点02 二次函数 y=a(x-h)² 的图象和性质 4 知识点03 二次函数 y=a(x-h)² +k的图象和性质 5 知识点04 抛物线平移（必考） 7 剖题型·讲技巧 题型1 由顶点式直接判断函数图象性质 8 题型2 抛物线平移求解析式 10 题型3 已知顶点+任意一点，求函数解析式 12 题型4 比较两点函数值大小 14 释疑惑·重难拓展 题型1 平移逆向问题（已知平移后解析式求原解析式） 18 题型2 抛物线对称变换规律 19 题型3 限定自变量区间求最值（中考高频重难点） 24 题型4 顶点式二次函数综合压轴 28 知中考·真题探源 37 练好题·提分培优 41 课标要点 1.图象认知：熟练绘制的函数图象，掌握抛物线平移变换规律，熟练实现顶点式与一般式的相互转化。 2.性质掌握：结合函数图象，精准描述抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值；能够依据参数快速判定图象核心特征。 3.基础应用：熟练利用顶点式求解二次函数解析式，掌握图象平移、函数值大小比较、静态最值计算等基础题型解法。 4.培优提升：掌握含参数二次函数分类讨论、图象对称变换、区间最值、逆向平移等拔高题型，适配中考中档题型及压轴基础考点。 知识点01 二次函数y=ax²+k的图象和性质 y=ax²+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 练习 1．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对于点，， 对于点，， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 知识点02 二次函数 y=a(x-h)² 的图象和性质 函数 y=a(x-h)² a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0 当 x=h 时，y最大值​=0 练习 4．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 知识点03 二次函数 y=a(x-h)² +k的图象和性质  函数 y=a(x-h)²+k (a>0) y=a(x-h)²+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值=k. 当 x=h 时，y最大值=k. 练习 7．（25-26九年级上·广西钦州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 9．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【答案】 【详解】∵抛物线解析式为， 又∵， ∴抛物线开口向上，由顶点式可知对称轴为直线， 根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵点，的横坐标都满足，，即两点都在对称轴右侧，且， ∴． 知识点04 抛物线平移（必考） 基础母函数：，平移通用核心口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1. 左右平移（改变h，仅变动自变量x） 向左平移个单位： 向右平移个单位： 2. 上下平移（改变k，仅变动常数项） 向上平移个单位： 向下平移个单位： 易错警示：左右平移仅针对自变量单独变形，严禁对系数或整体括号进行加减运算，这是高频易错点。 练习 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵原函数为，向右平移2个单位长度，需将自变量替换为，得； 再向上平移5个单位长度，需在整体上加5， ∴最终所得图象的函数表达式为． 11．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（   ）． A．向左平移个单位，再向下平移个单位 B．向右平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】C 【详解】解：选项A，向左平移个单位，再向下平移2个单位得，故不符合题意； 选项B，向右平移个单位，再向下平移2个单位得，故不符合题意； 选项C，向左平移个单位，再向上平移个单位得，故符合题意； 选项D，向右平移个单位，再向上平移个单位得，故不符合题意． 故选：C． 题型1 由顶点式直接判断函数图象性质 方法技巧 核心技巧：对照标准顶点式，拆分参数直接判定，无需画图。 标准解题步骤：①看判开口方向与宽窄；②读确定顶点坐标；③定直线为对称轴；④分对称轴左右区间判断增减性与最值。 【典例1】（25-26九年级上·山西大同·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．抛物线开口向上 D．函数的最小值是4 【答案】B 【详解】解：对于二次函数， 其对称轴为直线，选项A错误，不符合题意； 该二次函数图像的顶点坐标为，选项B正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，选项C错误，不符合题意； ∵该函数图像开口向下， ∴函数有最大值，最大值为4，选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 题型2 抛物线平移求解析式 方法技巧 抛物线平移仅改变顶点位置，二次项系数保持不变。只需计算顶点平移后的新坐标，直接代入顶点式即可快速求解。 【典例2】（2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 【变式2-1】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 【答案】 【详解】解：将二次函数的图象向下平移1个单位长度， 所得的函数表达式为，即． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）将抛物线（m为常数）向左平移2个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度得到的新抛物线为， 将点代入中，得， 解得. 题型3 已知顶点+任意一点，求函数解析式 万能解题模板 题干已知顶点时，优先设顶点式，最大程度简化计算 1.设顶点式解析式：，代入已知顶点； 2.将抛物线经过的已知点坐标代入解析式，求解参数； 3.将回代，写出完整二次函数解析式。 【典例3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设抛物线的解析式为．把代入，得， 解得． ． 即这个二次函数的解析式为． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 【变式3-2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 【变式3-3】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 题型4 比较两点函数值大小 核心解题思路 以对称轴为核心参照，根据点的位置分类判断 1.两点在对称轴同侧：直接利用函数单调性判断函数值大小； 2.两点在对称轴两侧：计算两点到对称轴的水平距离，开口向上，距离越远函数值越大；开口向下，距离越远函数值越小。 【典例4-1】（25-26九年级上·重庆潼南·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点，，都在二次函数的图象上， 对于点 ，， 对于点 ，， 对于点 ，， ， . 故选：D． 【典例4-2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【典例4-3】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线且经过点、． (1)求抛物线的解析式： (2)若点与点都在该抛物线上，直接写出与的大小关系． 【详解】（1）解∶把点、代入得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 点到直线的距离比点到直线的距离要小，而抛物线的开口向下， ． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏连云港·期末）已知抛物线（为常数）的顶点坐标为，若点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点式为， 展开得， 将代入解析式，得； 将代入解析式，得； 将代入解析式，得； ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 【变式4-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标是，且过点． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴． (2)此抛物线对应的函数y有最大值还是最小值？其值是多少？ (3)若是抛物线上的两点，且，则与的大小关系如何？ 【详解】（1）解：由题可知： ， 解得：， ∴此抛物线对应的函数解析式为， ∵， ∴开口向上， 对称轴：直线，即y轴； （2）解：此二次函数的解析式为 ∵， ∴开口向上， ∴y有最小值，； （3）解：此二次函数的解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小； ∵， ∴． 题型1 平移逆向问题（已知平移后解析式求原解析式） 1．（25-26九年级上·陕西延安·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的新抛物线过点，则原抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度可得， 把点代入， 可得， 则原抛物线的解析式为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）将抛物线_______向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 【答案】 【详解】解：将向上平移2个单位后为， 即， 再将向右平移1个单位为， 即． 4.将二次函数（）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是，则原函数的表达式是________． 【答案】 【详解】解：∵平移后抛物线的解析式是， ∴此抛物线的顶点为(1，4)， ∵向左平移3个单位，再向上平移2个单位可得原抛物线顶点， ∴原抛物线顶点为(-2，6)， ∴原抛物线的解析式是． 故答案为：． 题型2 抛物线对称变换规律 5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 6．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线（为常数且的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为，与合起来得到的图象记为． ①在下面的网格中画出函数的图象； ②若对于函数图象上的两点，，当，时，总有．请直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵, 抛物线的顶点在轴上方，且到轴的距离为， ，解得， 二次函数的表达式为． （2）解：①如图所示． ②或． 的函数表达式为， 的顶点坐标为． ，关于原点对称， 的顶点坐标为，开口向上，形状与相同， 的表达式为． 当时，随的增大而减小，当时，， 的最小值为． 由图可知，当时， 总有，此时； 令， 解得，． 由题意知，， ， 时，总有， 综上所述，或时，总有． 8．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线：（，），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． (1)当时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． (2)过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若，求的值． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设， ∵， ∴点D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或； （2）解：∵轴交对称轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得抛物线的解析式为：， ∵点Q在抛物线上， ∴，即①， 又点在抛物线上， ∴，即②， 把②代入①得， 解得：． 题型3 限定自变量区间求最值（中考高频重难点） 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 【详解】解：∵，， ∴函数图象开口向下，当时，函数取得最大值，为4， ∵， ∴当时，取得最小值为； 综上所述，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 【详解】（1）解：观察表格可知，是对称点， 抛物线的对称轴是直线， 由表格可知，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：抛物线的对称轴是直线， 是对称点， ， 故答案为：； （3）解：， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴是直线，， 当时，y有最大值，y最大， ， ， 当时，y有最小值，y最小， 故答案为1，． 11．（2026·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为． (1)若二次函数的图象过点． ①求该二次函数的表达式； ②当时，此二次函数的最大值为P，最小值为Q，求的值； (2)已知线段的两个端点坐标分别为，，当二次函数的图象与线段有两个交点时，求m的取值范围． 【详解】（1）解：①把点代入， 得， ， 二次函数的表达式是； ②且， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线，离对称轴越远，函数值越小， 当时，的最大值是4，即， ∵， ∴当时，的最小值是0，即， ； （2）解：令，得， ， ， 解得，， 二次函数的图象与线段有两个交点， ． 12．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 【详解】（1）解：将点代入得： 解得， 所以二次函数解析式为； （2）解：①点和在图象上，则： ， 由得：， 两边消去并除以正数得：， 展开得，化简得：， ， ， 所以的取值范围是； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：， 解得． 在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1， 所以最大值为0，且最大值在端点或处取得． 情况一：当时取得最大值0则：， 解得．同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得： 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到时，从增大到（因为且可取）， 所以． 情况二：当时取得最大值0则：， 解得． 同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得：， 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到2时，从减小到（因为且可取）， 所以． 综合两种情况，的取值范围是． 故答案为：． 题型4 顶点式二次函数综合压轴 13．（2026·广东清远·一模）如图，抛物线交轴于点． (1)若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值； (2)过点的直线与轴右侧的抛物线交于另一个点，与抛物线交于点． ①若直线与轴垂直，求的值； ②若点在轴左侧，且是线段的中点，试判断点是否为的顶点，并说明理由． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标为， ∴， 将点代入得：， 解得：； （2）解：①抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，且抛物线的开口方向都向上， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线（即轴）， ∵直线与轴垂直， ∴点与点关于直线对称，， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：点是的顶点， 理由：如图，由①得抛物线的顶点坐标为，， 当点为的顶点时，即， ∵点是线段的中点， ∴， ∴，即， 将代入，得， ∴在抛物线的图象上， ∴点为的顶点． 14．（2026·河南洛阳·三模）探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 15．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线，其顶点为． 定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． (1)【理解与运用】：已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，求的值； (2)【思考与探究】：设抛物线（为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． ①若抛物线与轴交于，两点，且满足，求的值； ②设是“镜像抛物线”的顶点，是抛物线的顶点，当点在点的右侧，且时，求的取值范围． 【详解】（1）根据题意可得，抛物线的顶点在抛物线上， 将点代入，得； （2）①在中，令，得， 解得， ， ，， ， ， ， 解得或， ②， 抛物线的顶点为， 抛物线是抛物线的“镜像抛物线”， 点在抛物线上， ，且此式对任意均成立， ，， 抛物线， 为抛物线的顶点， ， 当时，过点作，交的延长线于点，作轴于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，点的纵坐标为， ， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 把代入得， 解得，，（不符合题意，舍去） 点的横坐标为， ， ， ，且点在点的右侧， ． 16．（2026·广东汕头·三模）【问题背景】 已知抛物线(为常数， ）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． 【构建联系】 (1)如图1，当 ，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)【深入探究】如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求和k的值． 【详解】（1）解：∵ ，与交于点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由 ，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段 上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得，， 解得 ，． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 2．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 4．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 5．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【详解】解：∵中， ∴开口向上，A正确； ∵ ∴顶点坐标为， ∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为， 得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于二次函数，下列说法中，正确的是（    ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向下，顶点坐标为 【答案】B 【详解】解：∵二次函数表达式为， ∴，对应顶点式中的， ∵当时，抛物线开口向下，且顶点式的顶点坐标为 ∴该抛物线开口向下，顶点坐标为． 故选：B. 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 5．（25-26九年级上·云南·期末）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【答案】D 【详解】解：抛物线的解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， 对于选项：∵， ∴抛物线开口向上，选项正确； 对于选项：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移个单位得，再向下平移个单位得，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，顶点为最低点， ∴当时，有最小值，而非最大值，选项错误． 故选：． 6．将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线， ∴原抛物线解析式为，即， 故选A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）抛物线的对称轴是___________ ． 【答案】直线 【详解】解：∵对于二次函数的顶点式，其对称轴为直线， ∴抛物线对称轴是直线. 8．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，二次项系数． 绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反， 故二次项系数为，顶点坐标为， 所得抛物线解析式为． 故答案为：． 9．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 三、解答题 10．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段检测）已知四个点，抛物线经过其中三个点． (1)点A在抛物线上吗？为什么？ (2)求与k的值． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标为，对称轴方程为直线， 而，， ∴线段的垂直平分线为直线， ∴，在抛物线上， ∴①， ∵， ∴抛物线的开口向下， 把代入可得：②， 联立①②可得：，不符合题意舍去， ∴点A不在抛物线上； （2）解：由（1）可得：把代入， ∴， ∵， ∴，， 综上：，． 11．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，以点为顶点的二次函数图象交y轴于点，将该二次函数图象向下平移n个单位，交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）． (1)求该二次函数的表达式． (2)若，求n的值． 【详解】（1）解：由题意得该二次函数图象的顶点是点， ∴设该二次函数的表达式为， 把点代入得，解得∶ ， ∴该二次函数的表达式为． （2）解：如图：设该抛物线的对称轴l交x轴于点D， ∴． 设平移后的解析式为 由抛物线的对称性可知，关于对称轴l对称， ∴， ∵， ∴，即点B的横坐标2， ∴ 把代入，解得：． ∴n的值是． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 13．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 14．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B．    (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与y轴交于点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴顶点B的坐标为； （2）解：由（1）得顶点B的坐标为， 如图，      ∵是定值，的周长要最小， ∴最小， 作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P， 即：点P为所求作的点； ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得 则， ∴点P的坐标为； ∵，，， 则， ∴， ∴． 15．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 16．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由抛物线得， 当时，， 当时，， 解得，， ∴，，； （2）解：当点在上方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 当点在下方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，作点关于轴对称点，连接，交抛物线于点，如图， 由得直线解析式为，， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）解：∵点和及抛物线均向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，则，设直线解析式为， 把代入得， ∴直线解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴， ∵直线与新抛物线交于唯一公共点， ∴，整理得， 解得， ∴解析式为，当时，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴， 由，， 设， ∴，，解得，， ∴， ∵将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位， ∴，， 同理可得直线解析式为， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $