专题10 数列（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以等差等比核心公式为基础，系统整合通项求解（累加累乘构造）与求和（裂项错位分组）方法，通过真题研析与模拟探源构建从基础运算到综合应用的逻辑链条，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列|典例1+7题|基本量运算、性质应用、新情境转化|从首项公差求通项到前n项和，结合性质简化运算，递进至恒成立问题| |等比数列|典例2+4题|公比求解、前n项和公式、最值分析|以通项公式为核心，关联前n项和与不等式证明，强化分类讨论| |数列求和|典例3+6题|错位相减、裂项相消、分组求和|基于等差等比通项，通过通项特征选择求和方法，渗透容斥原理| |递推关系|3题|Sn与an关系转化、构造新数列|从递推式变形入手，链接函数与不等式，提升逻辑推理能力|

专题10 数列 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 以等差、等比数列基本量运算与性质为基础考点，依托通项公式、前n项和公式求解首项、公差、公比、项数等核心参数，常利用数列中项、下标性质简化运算。重点考查数列通项求解，高频考查累加、累乘、构造法等通用求通技巧，适配递推型数列问题。核心重难点为数列求和，主要考查裂项相消、错位相减、分组求和三大主流方法， 2．素养考向 逻辑推理：通过递推关系变形、数列结构分析、求和公式推导，考查等价转化、归纳推理与分类讨论思想，注重解题步骤的严谨性。 工具应用：以数列基本公式、通用通项与求和方法为核心工具，重点考查数学运算、逻辑推理与数学抽象核心素养。 等差数列 2026·全国一卷T7（新情境，等差数列） 2026·全国二卷T12（基本量运算） 2026·北京卷T12（恒成立） 2025·全国二卷T7（基本量运算） 2024·新课标Ⅱ卷T12（基本量运算） 2024·全国甲（理）卷T4（基本量运算） 2024·全国甲（文）卷T5（等差数列性质） 2024·北京卷T15（等差，等比数列） 等比数列 2026·全国二卷T10（基本量运算及性质） 2026·全国一卷T14（等比数列最值） 2025·全国二卷T9（基本量运算） 2025·全国一卷T13（求公比） 2025·北京卷T5（等比数列基本量运算） 数列求和 2025·天津卷T6（数列求和） 2026·天津卷T19（错位相减求和） 2025·全国一卷T16（分组、错位相减求和） 2025·天津卷T19（错位相减求和） 2024·新课标Ⅰ卷T19（新定义） 2024·全国甲（理）卷T18（错位相减求和） 2024·天津卷T1）（分组求和） 2026全国一卷数列灵活性更强，位置偏中档或压轴前置，常结合递推关系、放缩求和、不等式证明，侧重逻辑推导；全国二卷题型规整，多为等差、等比基础运算，由教材习题改编，侧重通项、前 n 项常规求解，难度平缓。 命题立足等差、等比核心公式，弱化偏难怪构造技巧，注重运算规范与分类讨论，常与不等式、函数最值交汇。高频考点有基本量运算、通项求解、错位相减与裂项求和。两卷均突出公式理解与审题细致度，一卷偏重综合性证明，二卷侧重基础方法落实，是代数板块稳定必考内容。 考向一 等差数列 典例1．（2026·全国一卷T7）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 微点拨：先算出12项等差数列总和，设分组后和数列首项、公差列等式；观察首尾配对和均为36，和数列为常数列，直接得公差。 考向二 等比数列 典例2．（2026·全国二卷T10）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 微点拨：利用等比数列通项求出公比，写出前n项和表达式；特值判断 B 错误；代数变形验证递推式；对累加整理，由多出的正数项证明成立。 考向三 数列求和 典例3．（2026·天津卷T19）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 微点拨：设公差、公比列方程求出两个数列通项；利用容斥原理，等差数列元素个数加等比数列元素个数，减去重复交集个数得；并集总和直接取等差数列前100项和即可。 考向一 数列递推关系 1.（2026·天津卷T8）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 2.（2024·北京卷T15）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 3.（2023·天津卷T5）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 考向二 等差数列 4.（2025·全国二卷T7）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京卷T5）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 6.（2024·全国甲（理）卷T4）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 7.（2024·全国甲（文）卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 8.（2026·全国二卷T12）记为等差数列的前项和，若，，则__________． 9.（2026·北京卷T12）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 10.（2024·新课标Ⅱ卷T12）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 考向三 等比数列 11．（2025·全国二卷T9）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·全国一卷T14）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 13．（2025·全国一卷T13）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 考向四 数列求和 14.（2025·天津卷T6），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 15.（2025·全国一卷T16）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 16．（2025·天津卷T19）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 17．（2024·天津卷T19）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 18．（2024·全国甲（理）卷T18）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 一、单选题 1．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．17 B．19 C．25 D．30 2．（2026·江西·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2026·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 4．（2026·河南·模拟预测）已知外卖员甲一周（天）的第一天送货件，之后每天的送货量比前一天多件，若甲第天的送货量是其该周前天的送货总量的，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（2026·江西南昌·三模）将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 8．（2026·四川遂宁·模拟预测）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，都有，且单调递增 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列的前项和为，满足．若数列中存在连续三项成等比数列，则实数的取值集合为____． 11．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，若，则数列的前100项和为________． 四、解答题 12．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 14．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 16．（2026·重庆江北·模拟预测）已知满足，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（2026·广西桂林·模拟预测）已知数列和满足，，直线上有三点满足． (1)求与； (2)设．记数列的前项和为，求． 18．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 19．（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 20．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的前n项和，并证明：. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数列 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 以等差、等比数列基本量运算与性质为基础考点，依托通项公式、前n项和公式求解首项、公差、公比、项数等核心参数，常利用数列中项、下标性质简化运算。重点考查数列通项求解，高频考查累加、累乘、构造法等通用求通技巧，适配递推型数列问题。核心重难点为数列求和，主要考查裂项相消、错位相减、分组求和三大主流方法， 2．素养考向 逻辑推理：通过递推关系变形、数列结构分析、求和公式推导，考查等价转化、归纳推理与分类讨论思想，注重解题步骤的严谨性。 工具应用：以数列基本公式、通用通项与求和方法为核心工具，重点考查数学运算、逻辑推理与数学抽象核心素养。 等差数列 2026·全国一卷T7（新情境，等差数列） 2026·全国二卷T12（基本量运算） 2026·北京卷T12（恒成立） 2025·全国二卷T7（基本量运算） 2024·新课标Ⅱ卷T12（基本量运算） 2024·全国甲（理）卷T4（基本量运算） 2024·全国甲（文）卷T5（等差数列性质） 2024·北京卷T15（等差，等比数列） 等比数列 2026·全国二卷T10（基本量运算及性质） 2026·全国一卷T14（等比数列最值） 2025·全国二卷T9（基本量运算） 2025·全国一卷T13（求公比） 2025·北京卷T5（等比数列基本量运算） 数列求和 2025·天津卷T6（数列求和） 2026·天津卷T19（错位相减求和） 2025·全国一卷T16（分组、错位相减求和） 2025·天津卷T19（错位相减求和） 2024·新课标Ⅰ卷T19（新定义） 2024·全国甲（理）卷T18（错位相减求和） 2024·天津卷T1）（分组求和） 2026全国一卷数列灵活性更强，位置偏中档或压轴前置，常结合递推关系、放缩求和、不等式证明，侧重逻辑推导；全国二卷题型规整，多为等差、等比基础运算，由教材习题改编，侧重通项、前 n 项常规求解，难度平缓。 命题立足等差、等比核心公式，弱化偏难怪构造技巧，注重运算规范与分类讨论，常与不等式、函数最值交汇。高频考点有基本量运算、通项求解、错位相减与裂项求和。两卷均突出公式理解与审题细致度，一卷偏重综合性证明，二卷侧重基础方法落实，是代数板块稳定必考内容。 考向一 等差数列 典例1．（2026·全国一卷T7）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 微点拨：先算出12项等差数列总和，设分组后和数列首项、公差列等式；观察首尾配对和均为36，和数列为常数列，直接得公差。 考向二 等比数列 典例2．（2026·全国二卷T10）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 微点拨：利用等比数列通项求出公比，写出前n项和表达式；特值判断 B 错误；代数变形验证递推式；对累加整理，由多出的正数项证明成立。 考向三 数列求和 典例3．（2026·天津卷T19）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 微点拨：设公差、公比列方程求出两个数列通项；利用容斥原理，等差数列元素个数加等比数列元素个数，减去重复交集个数得；并集总和直接取等差数列前100项和即可。 考向一 数列递推关系 1.（2026·天津卷T8）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即；，即； 因为，所以；，即，所以； ，即，所以. 2.（2024·北京卷T15）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 3.（2023·天津卷T5）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【解析】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，则.故选：C. 考向二 等差数列 4.（2025·全国二卷T7）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以.故选：B. 5．（2025·北京卷T5）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以.故选：C. 6.（2024·全国甲（理）卷T4）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 7.（2024·全国甲（文）卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又.故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故.故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则.故选：D 8.（2026·全国二卷T12）记为等差数列的前项和，若，，则__________． 【答案】24 【解析】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 9.（2026·北京卷T12）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 10.（2024·新课标Ⅱ卷T12）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 考向三 等比数列 11．（2025·全国二卷T9）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确；故选AD. 12．（2026·全国一卷T14）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【解析】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 13．（2025·全国一卷T13）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 考向四 数列求和 14.（2025·天津卷T6），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 .故选：C 15.（2025·全国一卷T16）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【解】（1）证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 16．（2025·天津卷T19）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 17．（2024·天津卷T19）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 18．（2024·全国甲（理）卷T18）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 一、单选题 1．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．17 B．19 C．25 D．30 【答案】C 【解析】因为为等差数列，故，故， 而，故，故，则公差，故. 2．（2026·江西·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】正项数列为等比数列，，； . 3．（2026·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解析】已知，则数列的公比为，故C正确. 4．（2026·河南·模拟预测）已知外卖员甲一周（天）的第一天送货件，之后每天的送货量比前一天多件，若甲第天的送货量是其该周前天的送货总量的，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为外卖员从第二天起，每天的送货量比前一天多件， 所以外卖员每天的送货量构成一个等差数列，则，公差， 则， 由题意得，所以，，解得. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【解析】由题意，是首项为2、公差为3的等差数列， 所以． 于是． 即． 所以. 6．（2026·江西南昌·三模）将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当（）时，由于，所以； 当（）时，由于，所以. 所以数列的前项和为. 二、多选题 7．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A：设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，则，，，，，， 当且时，， 得到，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以当时，取最小值， 且最小值为，故D正确. 8．（2026·四川遂宁·模拟预测）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：由题可知，对任意的，， 则对任意的，， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 由选项A可知：，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确. 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，都有，且单调递增 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A,时， 成立， 假设 时 成立，由均值不等式得（，等号不成立）， 因此归纳成立， 因为 ， 由 得，故， 单调递增，A正确； 对应B， B正确； 对于C，因为，则 ， C正确； 对于C,，可得 ，，，D错误. 三、填空题 10．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列的前项和为，满足．若数列中存在连续三项成等比数列，则实数的取值集合为____． 【答案】 【解析】由得， 当时，． 当时，，也满足． 因此是公差为2的等差数列．若存在连续三项成等比数列， 设这三项为，，． 则应满足，矛盾． 故不存在这样的实数，取值集合为． 11．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，若，则数列的前100项和为________． 【答案】 【解析】由等比数列各项均为正数，， 设其首项为，公比， 可得，解得或（舍）， 所以等比数列通项公式为， 则， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， 数列前100项和为. 四、解答题 12．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 14．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 【解】（1）中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． （2）设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． （3）结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 16．（2026·重庆江北·模拟预测）已知满足，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解】（1）由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列，由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故，代入得： 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得，因此. （2）由题意得， ① ② ②①得： . 17．（2026·广西桂林·模拟预测）已知数列和满足，，直线上有三点满足． (1)求与； (2)设．记数列的前项和为，求． 【解】（1）由题意，，， 所以，， 因为三点共线，且满足， 所以，化简得， 因为，所以数列是等比数列，且公比， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以， 故数列的通项公式为； （2）由（1）知，， 所以， 18．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加，可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 19．（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【解】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 20．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的前n项和，并证明：. 【解】（1）解：由数列满足， 因为， 所以， 设，即， 所以，解得，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 即数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：， 所以 ， 下面证明：， 因为，当为奇数时，； 当为偶数时，，所以， 又因为当时，； 当且时， ，则，所以， 若，可得，此时满足， 若且，可得， 因为，所以， 综上可得：对于任意，都有. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $