精品解析：2026年北京大学强基计划数学试题

2026年北京大学强基计划数学试题 1. 在圆内接四边形中，，，则的长为________． 2. 设复数满足，则所有满足条件的复数的乘积为________． 3. 同余方程解的个数为________． 4. 已知实数满足，则的最小值为________． 5. 单位圆上正2026边形的一个顶点到另外2025个顶点的距离的乘积为________． 6. 若，则的最大值为________． 7. 在中，已知，则的取值范围为________． 8. 定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 9. 已知实数x，y满足，则的最大值是________． 10. 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线互相垂直，则的值为________． 11. 已知函数，实数的绝对值均不小于1，若，则的最小值为________． 12. 棱长为1的正四面体对棱中点的距离为________． 13. 已知正实数列的前项和为，若，，则的整数部分为________． 14. 已知复数满足，则满足该方程的复数的个数为________． 15. 已知集合，从中选取四个数构成公差不为0的等差数列，则这样的等差数列的个数为________． 16. 满足且为素数的有序素数三元组的个数为________． 17. 已知为非负实数，函数存在零点，若正整数满足，则最小值的整数部分为________． 18. 已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 19. 已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 20. 已知数列满足，且对任意正整数，存在，使得是这项的算术平均数，则的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京大学强基计划数学试题 1. 在圆内接四边形中，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接辅助线,先在中用余弦定理求,再结合圆内接四边形性质、正弦定理及等弦对等圆周角的性质求解的长. 【详解】 连接,在中，，， 由余弦定理， 代入数值计算得， 因为， 设四边形外接圆半径为， 由正弦定理， 又因为， 所以， 所以， 在中，， 故为外接圆的直径，所以. 2. 设复数满足，则所有满足条件的复数的乘积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，结合已知条件转化为方程组，联立方程组得出交点对应的参数关系，再结合韦达定理计算两个复数的乘积． 【详解】设，由得①， 由得②， 联立①②得③， 设满足条件的两个复数，， 联立①③得，由韦达定理， 则， 实部：， 虚部：， 故所有满足条件的复数的乘积为：． 3. 同余方程解的个数为________． 【答案】16 【解析】 【分析】利用中国剩余定理可知，原方程的解数等于各素因子幂下解数之积，因此分别考虑模的解数最后乘积即可． 【详解】注意到，分别讨论模的解数． 若为奇素数，则等价于， 又，而，故只能整除中的一个， 即，所以模与模下各有2解． 再求模的解，由知为奇数， 设，则， 因为，要使，必须全部整除或， 故， 从而在模下得四类， 因此模下有4解． 综上，由中国剩余定理可得，原方程的解数为个． 4. 已知实数满足，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题可以利用函数的对称性分析，y，三者符号的正负情况，然后再利用轮换对称式设其中两个数相等，将三个变量转化成一个变量，借助均值不等式求解即可。 【详解】因为,,只有七种情况；三正，三负，一正两负，两正一负，仅有一零，恰有两个零，三个都为零。若三正或者三负，则一定是正值：若两个零或者三个零显然不成立：所以只有一正两负，两正一负，恰有一零三种情况。下面分情况计算： 当一正两负时，设,即,代入可得,变形可得,观察可知，地位对称，又因为中的位置对称，因此根据多元函数求最值时，对称变量相等，因而可设,代入中可得,解.同样，因为 由基本不等式可知,当,解得,此时，即取等号。 当两正一负时，设，即，代入可得，变形可得,观察可知， 地位对称,解法同上述一正两负的情况. 当一零时，假设则有,. 综上可得的最小值为. 5. 单位圆上正2026边形的一个顶点到另外2025个顶点的距离的乘积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义结合复数的运算性质计算求解即可. 【详解】设圆内接正2026边形的顶点对应的复平面上的点为， 由于为单位圆，故内接正2026边形的顶点为的个根，且必有一个根为1， 不妨设，则， 即， 所以， 由复数的几何意义可知表示两点的距离， 且由复数的运算性质可得 ， 令，可得， 所以单位圆上正2026边形的一个顶点到另外2025个顶点的距离的乘积为. 6. 若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边平方，结合基本不等式可求答案. 【详解】由，可得， ，当且仅当时，等号成立； 即，解得，故的最大值为. 7. 在中，已知，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出角A，再运用三角形的内角和转化目标式，最后将转化后的目标式化成二次函数进行求解. 【详解】由题目可得， 因，则得，解得，则， 则 ， 令，则，上式化为， 故， 因，， 故的范围为. 8. 定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由函数的不动点的定义可知不动点为，分和两种情况讨论，并结合函数的旋转性质可得. 【详解】因为函数的不动点是满足的点，即函数图象与直线的交点称为函数的不动点. 若点在函数的图像上，绕原点逆时针旋转后的点也一定在原图像上，即. ①对原点处的点，逆时针旋转两次后得到点，该点仍在图像上， 由函数定义（一个对应唯一一个）得：，故， 因此一定是函数的不动点（满足）. ②设是函数的非零不动点，即. 将点逆时针旋转得点，故； 再逆时针旋转得点，故. 由函数的定义知，同一个只能对应唯一一个，因此，得，与矛盾， 所以函数不存在非零不动点. 综上所述，函数的不动点只有原点，个数为. 9. 已知实数x，y满足，则的最大值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】由重要不等式知，再由题意得，解出不等式即可求出答案． 【详解】解：由得， 又由重要不等式知（当且仅当时取等号）， ∴，化简得，得， ∴的最大值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查重要不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 10. 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线互相垂直，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】设过点的椭圆切线方程为，联立椭圆得： ， 则，化简整理得， 方程的两根对应切线的两条斜率，由韦达定理得， 已知两条切线互相垂直，故， 故，解得． 11. 已知函数，实数的绝对值均不小于1，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只能两负一正或两正一负，再分情况讨论的最小值即可． 【详解】由于当时，，当时，， 又，所以中只能两负一正或两正一负． 若中两负一正，不妨设，则， 又， 故， 故，即． 若中两正一负，不妨设， 由于，故，故， 因此， 令，则， 故． 由于在上单调递增， 不妨设（否则，得）， 则， 故，解得， 故， 当时等号成立， 综上所述，的最小值为． 12. 棱长为1的正四面体对棱中点的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质可求答案. 【详解】如图，分别为的中点，因为正四面体的棱长为1，所以,即为等腰三角形； 在中，，为的中点，所以， 又，所以. 13. 已知正实数列的前项和为，若，，则的整数部分为________． 【答案】 【解析】 【分析】由结合题意可得数列单调递增，根据计算即可求解. 【详解】当时，由题意可得， 所以，所以数列单调递增， 因为，解得，所以， 所以，所以， 则的整数部分为. 14. 已知复数满足，则满足该方程的复数的个数为________． 【答案】7 【解析】 【详解】当时，，，满足； 当时，则，因为，所以，所以，， 当时，有，则得，即， 而方程在复数范围内有6个不同的根， 综上所述，满足条件的复数的个数为7个. 15. 已知集合，从中选取四个数构成公差不为0的等差数列，则这样的等差数列的个数为________． 【答案】1366200 【解析】 【分析】把集合中的数按被3整除的余数分成三类，通过计算得出数列的首项和末项是从其中一类中任选两个数的排列，利用排列数定义计算可得. 【详解】设数列的四项为，公差为，则， 所以， 按被3整除的余数将集合中的数分成三类： ，，， 易知集合含有个数，集合和均含有个数， 确定四项等差数列的关键是确定数列的首末两项， 数列的首项和末项，可以是从集合B或C或D中任取两个元素的排列， 故得到个等差数列. 16. 满足且为素数的有序素数三元组的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定素数的四次方的模运算性质，再以三个素数中含的个数分四种情况讨论：①三个素数都是奇素数（个）、②三个素数中恰有一个、③三个素数中恰有两个及④三个素数均为四种情况，其中①③④可结合模运算性质及合数性质判断排除，对②三个素数中恰有一个的情况，再以含的个数分三类情况讨论：（i）素数均不等于；（ii）素数恰有一个等于；（iii）素数都等于并结合模运算性质及合数性质一一枚举判断可得. 【详解】因为素数中只有是偶数，其余均为奇数，奇数的四次方为奇数，偶数的四次方为偶数. 且素数的四次方有如下模运算性质： 偶素数，对任意不等于的素数的四次方满足； 素数，对任意不等于的素数的四次方满足； 素数，对任意不等于的素数的四次方满足 按三元组中偶素数的个数分四类讨论： ①三个素数都是奇素数（个）：此时，因此， 所以，又因为最小的奇素数为， 因此，即是大于的的倍数，必为合数，不符合题意； ②三个素数中恰有一个：不妨设，为奇素数，再以两个素数中素数的个数分类讨论： （i）素数均不等于，因为， 所以，因此，此时三元组最小为， ，即是大于的的倍数，必为合数，不符合题意； （ii）素数恰有一个等于，不妨设，为不等于的奇素数，再分两类： （1）若，则， 因此，故， 此时，，即是大于的的倍数，必为合数，不符合题意； （2）若，三元组为，则， 验证素性：，检验所有小于的素数均不能整除，故为素数，符合题意； （iii）素数都等于，即，三元组为， 则，所以为合数，不符合题意. ③三个素数中恰有两个：不妨设，为奇素数， 则，即是大于的偶数，也必为合数，不符合题意； ④三个素数均为，三元组为， 则，所以为合数，不符合题意. 综上所述，满足条件的无序素数集合仅为，其全排列对应有序三元组共组： ，共个. 17. 已知为非负实数，函数存在零点，若正整数满足，则最小值的整数部分为________． 【答案】4001 【解析】 【分析】根据的单调性可得当时最小，再根据已知条件列出不等式求得的最小值，最后估计其整数部分即可． 【详解】由于，故二次函数在上单调递增， 从而对正整数有． 要使最小，则取， 设， 则由，即， 得，即， 由有零点知，故， 从而， 因此，即， 解得， 当时等号成立， 因此的最小值约为4001.99975，整数部分为4001． 18. 已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】关于的方程的四有正实根，两边同除以，等价变形为，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决. 【详解】由题意知：， 关于的方程有正实根，， 等价变形为，（1） 设，则，（1）可变形为：有根， 分离变量得：， 原方程有四个正根，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等， 所以， 19. 已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，，则，即，， 设，则， ， 因为，所以，即，， 所以的最大值为. 20. 已知数列满足，且对任意正整数，存在，使得是这项的算术平均数，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】要最小化，就要让尽可能大，尽可能小，再结合已知计算求解. 【详解】要最小化，就要让尽可能大，尽可能小， 取，此时，所以， 因此， 取最长区间，， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $