精品解析：辽宁省名校联盟2026届高三下学期高考模拟（最后一卷）数学试题

2026年高考模拟 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部是（ ） A. -3 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数的加法运算结合共轭复数的定义求解. 【详解】依题意：， 则，所以其虚部为. 故选：A. 2. 我们称数集为数域，当且仅当数集中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法（除数不为0）四则运算后，其运算结果仍在数集中，则下列数集能称作数域的是（ ）. A. 自然数集 B. 整数集 C. 有理数集 D. 无理数集 【答案】C 【解析】 【分析】根据数域的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，不在自然数集里，不正确； 对于B，不是整数，不正确； 对于C，有理数经过加法、减法、乘法、除法四则运算后，仍为有理数，正确； 对于D，不在无理数集里，不正确. 故选：C. 3. 若实数，则下列不等式中一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断. 【详解】对于A:当时不成立，所以是错误的； 对于B:取时不成立，所以是错误的； 对于C:取时不成立，所以是错误的， 对于D:由，所以是正确的. 故选: 4. 若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知函数为奇函数，且当时，；逐项判断是否符合要求即可得. 【详解】由图象可知函数为奇函数，且当时，； A，，该函数为偶函数，A不符； B，，该函数为奇函数， 且当时，，，此时，B符合题意； C，函数为偶函数，C不符； D，当时，，D不符. 5. 在平面四边形中，如果，且，那么（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】对两边同时平方可得，代入即可得出答案. 【详解】， 两边平方可得：， 现考察 . . 故选：D. 6. 某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（ ） A. 8 B. 36 C. 64 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】根据两组数据的均值和方差，利用方差合并公式计算可得. 【详解】设甲班50名学生成绩的平均数和方差分别为，， 乙班40名学生成绩的平均数和方差分别为，， 则，，，， 所以这90名学生成绩的平均数为， 则这90名学生成绩的方差为 . 故选：D. 7. 已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围. 【详解】设过椭圆焦点，的两条互相垂直的直线的交点为P，即， ∴， ，即. 故选：B 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据判断出函数的周期性，再结合函数的奇偶性，求出当时的解析式，求出的解，即为的值. 【详解】因为，所以是以4为周期的周期函数， 又为定义在上的偶函数，所以. 当时，，， 所以：， 又时，. 所以，即，. 由. 即. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用与的关系式，运用迭代相减法，得到，即可判断其为等差数列，写出数列的通项与前项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项. 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 10. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，正内切圆即为球的截面大圆，又正的边长为2，求出球的半径，得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体被平面截成体积相等的两部分，设到平面的距离为，求出正三角形的边长和面积，求出；D选项，动点的轨迹是圆，可得，故，因此，由均值不等式得到，故D正确. 【详解】A选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上， 又等边三角形的边长为2，所以，， 则球的半径， 所以球的表面积，故A正确； B选项，圆锥的侧面积，故B错误； C选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分， 设到平面的距离为， 球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为， 则，故， 故三角形的面积为， 即，故C正确； D选项，依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为， ，故，是边，的中点，可得，， ， 则有，故， 又，故， 即，因此， 由均值不等式，得，即， 当且仅当时取“”，故D正确. 故选：ACD 11. 设直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，，并记点．下列命题中正确的是（ ） A. B. 是与的等比中项 C. 存在定点，使得为定值 D. 存在定点，使得为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】联立方程组，得到，即可根据已知得出，化简为，而时不满足题意，则，即可证明选项A； 由，，求出切点横坐标，即可得出切点坐标，再根据已知设出过且垂直于的直线为：，即可代入得出，再通过已知，，得出，即可得出，即可求出、与，即可验证选项B； 得出，，即可代入曲线化简，得出的轨迹为双曲线的一只，即可根据双曲线的定义验证选项C与D. 【详解】对于选项A： 联立方程组，消去得：， 直线与曲线相切于点， ， 即， 则， 若时，即，直线与曲线无法相切， ，则， 故选项A正确； 对于选项B： 设切点， ，， 解得：， 则， 即， 过且垂直于的直线为：，即， 代入点得：， 则，解得：， 过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，， ，即， 则， 则，，， 则， ， ， 则， 故是与的等比中项， 故选项B正确； 对于选项C与选项D： ，，则， ，，则， 在曲线上，代入化简得：， 则当为双曲线的焦点时，为定值4，无法确定， 故选项C正确，选项D错误， 综上所述：选项ABC正确， 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有___________个． 【答案】18 【解析】 【分析】先选出数值，再把它们分配到三个位置上，结合乘法计数原理可得答案. 【详解】先从这3个数中选2个，有种选法； 再分配2个数到3个位置，必有2个位置的数是相同的， 选择出现1次的数：从选中的2个数中选1个，有种选法， 选择出现1次的数的位置：有种选择； 共有种编码. 故答案为：18 13. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知的定义域为，且，即可得结果. 【详解】令，解得， 可知的定义域为， 又因为， 所以函数的图象关于点对称. 故答案为：. 14. 记数列的前n项和为Sn，若不等式对任意等差数列及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为_____________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式化简，再分离参数即，利用换元法，结合二次函数知识求得答案. 【详解】当 时，则恒成立， ; 当 时，设数列为等差数列，所以，所以， 等价于， 即，两边同除以得:， 令，由不等式等价于， 设，由， 可知，当时，函数有最小值为，所以，即的最大值为, 综合以上可得的最大值为, 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，．设点D是边上一点，满足． （1）记，用表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求； （2）利用正弦定理结合题设条件可得，再由（1）中的结论可求的长. 【小问1详解】 由题．在中，， 根据正弦定理可得 ． 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得，所以， 所以，可得． 又由（1）知，所以． . 16. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，，，所以，则． 又因为平面底面，平面平面，所以平面．　 而平面，所以. 于是即为与底面所成的角，即． 因为，所以，， 由，，得，解得， 从而，于是， 因为，且平面，所以平面．　 而平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 故可设：． 设平面的一个法向量为，则， 故可设：． 令二面角为，由图可知为钝角， 则． 所以二面角的余弦值为． 17. 甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. （1）求p； （2）求射击2次甲得分X的分布列及均值； （3）若甲胜出的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 （3） 由题意，射击的总次数为时甲胜出， 设此时甲总得分为，乙总得分为， 则，，所以甲胜出时必为偶数，令， 则 ， 由于，则时，， 且， 即. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意，X的取值为，进而求出对应的概率，再计算均值； （3）由题意，射击的总次数为时甲胜出，分析可得必为偶数，令，进而结合题意及等比数列的求和公式求证即可. 【小问1详解】 设射击2次甲胜出为事件， 则，解得. 【小问2详解】 由题意，X的取值为， 由题意， 而， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 则. 【小问3详解】 略 18. 如图，已知抛物线C：的图象与x轴交于O，A两点，且过点. （1）求抛物线的解析式和点A的坐标； （2）若将抛物线的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得抛物线C′的图象. ①设M为抛物线位于第一象限内的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点F作直线AB，与抛物线C′交于A，B两点，再过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值. 【答案】（1），点A的坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用函数图象所过点代入计算即可得解析式，即可得点的坐标； （2）①求出抛物线的方程后，利用抛物线定义计算即可得；②借助导数的几何意义可表示出抛物线在点与点处的切线方程，从而可表示出点坐标，再设出直线AB的方程，联立曲线，借助韦达定理计算即可得. 【小问1详解】 由抛物线C：的图象过点，可得，解得， 于是抛物线C的解析式为， 令，得，， 所以点A的坐标为； 【小问2详解】 ①由（1）得抛物线C：， 由题意，可得它经过平移后抛物线的解析式为，即， 设抛物线的焦点为，将延长交直线于点E，如图， 可得，则， 所以， 要使最小，只需最小即可， 根据两点间线段最短， 可得（A，M，F三点共线时，等号成立，且点M在线段AF上）， 即的最小值为， 直角中，由勾股定理，得， 故的最小值为； ②设，，， 在点处的切线方程为，整理得， 同理可得在点B处的切线方程为， 联立，解得，即， 设直线AB的方程为，与联立，得，则， 所以， 而， 故，所以. 19. 已知函数．设为的导函数． （1）证明：有且仅有一个极值点； （2）判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：因为，所以 设，， 所以，其中恒成立， 令，， 则， 因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增； 又，，， 所以，使得 ，即， 故对于有，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点. （2）的所有零点之和大于，理由如下： 函数，其导函数，，使得当时，单调递增，当时，函数单调递减， 又， 所以， 因为，所以，所以， 又， 故，使得，，使得，于是可得： 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，故， 则，所以存在使得， 所以，又，所以，则存在使得， 又，所以函数在区间上无零点； 故函数在上有两个零点，且， 由可得： ，所以， 又， 所以， 根据，可得：，， 并且函数在上单调递减，所以，即， 故的两个零点之和大于. 【解析】 【分析】（1）要确定的极值点情况，则需要判断其导函数的单调性，设，对进行变形处理，即，即判断函数的取值情况，即可得的取值情况，从而确定函数的极值点取值个数； （2）结合的单调性，确定其零点，从而得函数的极值点分布，根据函数单调性结合零点存在定理即可确定函数的零点个数及范围，利用三角函数与指数函数的单调性即可判断的所有零点之和与的大小关系. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的所有零点之和大于，理由略. 【点睛】本题考查函数的极值点、零点与导数的关系，涉及到三角函数与指数函数混合运算，难度较大.解决本题中证明极值点个数问题的关键是，将指数函数与三角函数的加减运算，变形成乘除运算，这样避免求导数过程中，导函数的零点无法解含指数与三角函数的方程问题，例如本题中对函数直接求其导数无法消除指数运算，将其转化为，其影响正负的部分的导函数零点可求，其单调性与极值点即可确定；解决本题中原函数零点之和的问题的关键是确定零点范围为之后，结合零点所满足的等式关系，根据指数函数比较大小，利用诱导公式转化并结合余弦函数在上的单调性，即可确定零点之和与的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考模拟 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部是（ ） A. -3 B. 3 C. D. 2. 我们称数集为数域，当且仅当数集中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法（除数不为0）四则运算后，其运算结果仍在数集中，则下列数集能称作数域的是（ ）. A. 自然数集 B. 整数集 C. 有理数集 D. 无理数集 3. 若实数，则下列不等式中一定成立的是 A. B. C. D. 4. 若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面四边形中，如果，且，那么（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（ ） A. 8 B. 36 C. 64 D. 88 7. 已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 10. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 11. 设直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，，并记点．下列命题中正确的是（ ） A. B. 是与的等比中项 C. 存在定点，使得为定值 D. 存在定点，使得为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有___________个． 13. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 14. 记数列的前n项和为Sn，若不等式对任意等差数列及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，．设点D是边上一点，满足． （1）记，用表示； （2）若，求． 16. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. （1）求p； （2）求射击2次甲得分X的分布列及均值； （3）若甲胜出的概率为，证明：. 18. 如图，已知抛物线C：的图象与x轴交于O，A两点，且过点. （1）求抛物线的解析式和点A的坐标； （2）若将抛物线的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得抛物线C′的图象. ①设M为抛物线位于第一象限内的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点F作直线AB，与抛物线C′交于A，B两点，再过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值. 19. 已知函数．设为的导函数． （1）证明：有且仅有一个极值点； （2）判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $