1.4 正方形的性质与判定（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，系统梳理其定义、边角对角线性质及对称性，通过从平行四边形、矩形、菱形添加条件的判定方法构建知识网络，衔接已学特殊平行四边形内容，形成从一般到特殊的学习支架。 资料亮点在于题型分类细致（含12类题型及典例变式），融入赵爽弦图等数学文化，注重尺规作图与折叠操作。通过角度计算培养几何直观（数学眼光），通过判定证明发展推理能力（数学思维），课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与模型意识（数学语言）。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 知识点一 正方形的性质 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 边 四条边都相等， 对边平行. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=AD=BC ，AB∥CD、AD∥BC， 对角线 两条对角线互相垂直、平分且相等 ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD、AC=BD、AO=BO=CO=DO， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 具有平行四边形的一切性质：①对边平行；②对角相等；③对角线互相平分 ∵四边形ABCD是菱形，∴①AB//CD，AD//BC；②∠ABD=∠ADC，∠BAD=∠BCD；③AO=CO，BO=DO 对称性 ①是轴对称图形：4条对称轴；②是中心对称图形 即学即练 1．（25-26八年级下·江西赣州·期中）下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．相等，且互相垂直平分 【答案】D 【难度】0.95 【详解】解：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在正方形中，点是上一点，连接，，点、分别在、上，连接，若，则的度数为______． 【答案】53 【详解】∵在正方形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 【答案】证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：连接， ∵正方形， ∴，， ∵点 是线段 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点二 正方形的判定方法 已知平行四边形 有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个直角 在▱ABCD中， ∵BA=BD，∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 平行四边形+对角线垂直且相等 在▱ABCD中， ∵AC=BD，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形 已知矩形 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 在矩形ABCD中， ∵BA=BD， ∴四边形ABCD是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 在矩形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形 已知菱形 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 在菱形ABCD中， ∵∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 在菱形ABCD中， ∵AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形 即学即练 1．如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（   ） A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形 C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形 【答案】A 【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形， ∴若四边形不是平行四边形，则一定不是菱形、矩形、正方形，因此选项B、C、D都一定正确． ∵梯形是只有一组对边平行的四边形，不属于平行四边形， ∴不是平行四边形的四边形可能是梯形，也可能是其他四边形， 因此“四边形不是梯形”的说法不一定正确． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 4．如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】正方形，见解析 【详解】解：四边形是正方形． 证明如下： 点、点分别是、的中点， ，是的中位线， ， ． 又是由绕点旋转而得， ，点、、在一条直线上， 四边形是矩形． ，， ， 四边形是正方形． 知识点三 尺规作正方形 已知一条线段AB作为正方形的对角线 已知一条线段为正方形的一边 方法不唯一：作垂直平分线+作等线段 方法不唯一：作垂线+作等线段 即学即练 1．如图①，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作图： (1)作正方形，使其边长为； (2)如图②，已知正方形，其边长为．作一个正方形，满足以下条件：边长为且个顶点分别在正方形四条边上． （注意：保留作图痕迹，写出必要文字说明）． 【答案】(1)解：①作，截取，， ②分别以，为圆心，为半径作弧交于点． 如图所示，正方形即为所求． (2)①以为直角边构造等腰； ②作的垂直平分线交于点； ③连接，交于点，以为圆心，为半径作弧交于点； （或以为圆心，为半径作弧交正方形四边．） ④延长交于点； ⑤作的垂直平分线交，于点，，连接，，，，正方形即为所求． 如图所示，正方形即为所求． 题型01 根据正方形的性质求角度 ·角度等量代换：抓住对角线平分对角（45°），利用互余、外角定理，并结合全等倒角。 ·角度计算中忽略正方形隐含的“垂直关系”导致漏掉互余条件。 典｜例｜精｜析 1．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴. 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质得到，，，，，则，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 【答案】/25度 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，， ． 2．如图，将含的直角三角形放在正方形中，，直角顶点在对角线上，斜边经过的中点O，点M，N分别在边，上，则的度数是___________． 【答案】/75度 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 【答案】/15度 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 4．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中，． 题型02 根据正方形的性质进行面积计算 ·牢记公式 S = a2 =d2 （对角线乘积的一半），求阴影面积常用“割补法”或“总面积减空白”。 ·当边长与对角线互相转化时，若题目给对角线求面积，优先使用 S = d2，可避开开根号计算。 典｜例｜精｜析 1．如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形，正方形面积为32，，则图中空白部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】正方形面积为32， ， ， ， 观察可知，空白部分小正方形的边长为， 则图中空白部分的面积为． 2．（2026·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 3．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·中考真题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是_______． 【答案】 【详解】解：在正方形和正方形中，，，， 设，，则， ∵， ∴，即； ∵四边形是正方形， ∴，，又， ∴，即， ∴，则， ∵，即， 解得， ∴． 2．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段检测）如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】/ 【详解】解：根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是. 题型03 根据根据正方形的性质计算边长 ·勾股定理+方程思想： ①构造（找）直角三角形；②转化线段：借助全等三角形，若遇中点或垂线，巧用中位线或斜边中线。 典｜例｜精｜析 1．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ． 变｜式｜巩｜固 1．如图，在正方形和正方形中，点D在边上，，H是的中点，求的长．（保留根号） 【答案】 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中， ∴， ， ， ∴． ∴是直角三角形． 由勾股定理得． ∵是的中点， ∴． 2．如图，已知正方形的边长为，平分，交边于点，，垂足为．那么的长为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ，， 在中，由勾股定理得， 平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 3．如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 【答案】 / 【详解】解：（1）以正方形的顶点为原点，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 当时，，解得 ∴ ∴； （2）同理可求直线，直线 ∴联立直线与直线，得， 解得， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 题型04 添加一个条件判断正方形 ·从边角条件总结：菱形+直角；矩形+等邻边；平行四边形+直角+等邻边 从对角线条件总结：菱形+等对角线；矩形+对角线垂直；平四（互相平分）+等对角线+对角线垂直 ·仅凭“四边相等”就判定为正方形（实际是菱形）；仅凭“四个角是直角”就判定（实际是矩形）。必须强调双重身份。 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖北咸宁·二模）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形的两条对角线且互相平分． ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形， A．若 ，即矩形的对角线互相垂直．根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； B．若 ，即矩形的邻边相等．根据正方形的判定定理：邻边相等的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； C．因为四边形是矩形，所以，又，所以是矩形本身就具有的性质，仅这一条件不能判定该矩形是正方形，符合题意； D．因为四边形是矩形，所以，则 ，若 ，那么 ，所以 ，即矩形邻边相等，根据邻边相等的矩形是正方形，该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解： ， 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 【答案】 ①②或②③（填写一组即可） 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择②；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择①；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或②③均可以． 2．（2026·四川达州·中考真题）在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． (1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； (2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） (3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且． 求证：四边形是菱形． 【答案】（1）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形， 即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直； （2）解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知 横线上的答案为一组邻边相等的矩形（答案不唯一）； (3)证明：连接交于点，如图 四边形是正方形， ，，． ， ， 即． 又， 四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 题型05 根据正方形的性质进行证明和计算 ·找等边+找等角：根据正方形的性质将题（图）中的所有等角、等边进行标注 ·证明计算： ①借助全等找等边等角（优先找“旋转全等”，如手拉手模型），利用等角转换； ②涉及线段求值多用勾股或设未知数方程。 典｜例｜精｜析 1．（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． (1)求证：． (2)若四边形的周长为，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形为正方形 ， 在和中， ， ； （2）解：连接交于点O， 四边形为正方形，， 垂直平分，， ，， 由（1）知， ， 四边形的周长为， 在中， ， ； 答：的长为6． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为，为的中点，求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 2．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①15°；②详见解析 (3)详见解析 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 题型06 证明一个四边形是正方形 · 判定链条： “两步法”——先证矩形（直角）再证邻边相等；或先证菱形（四边相等）再证直角。 · 添加条件： 反向推导，看缺的是“边”还是“角”（若已有平行四边形，加“邻边相等 + 一个直角”即可） ·特殊情形：证明正方形时，若图形复杂，优先利用对角线（互相垂直平分且相等）来判定，这往往比证边和角更快。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴垂直平分， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析；(2)8 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：∵四边形的正方形． ∴，， 又∵ ． ∵， ∴ ∴， ∵在矩形中，， ． 题型07 在正方形的基本模型中解线段最值问题 ·利用旋转/对称变换构造全等三角形转化线段（模型：手拉手、一线三直角等） ·利用“垂线段最短”或“三角形三边关系”破题。 ① 将军饮马（对称点化折为直）； ② 瓜豆原理（主动点轨迹为线，从动点也为线）； ·借助勾股定理+方程思想计算结果 ·难点突破：最值问题的难点在确定动点轨迹 ·易错分析：最值中误以为“中点”一定取最值，缺乏严格证明。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，等边三角形的顶点E在边上，点B，F在的两侧，连接，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，以为边，在下方作等边三角形，连接交于， 由题意，得，，，，． ． ． 当时，有最小值，又， ，则，， ， 的最小值为． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． 如图，记，的交点为，连接，， ∵， ∴，， ∴， 当三点共线，最小，则最小， 此时， ∴， ∴， ∴， 故选：A ※2．（2026·广东广州·二模）如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________． 【答案】 【详解】如图1，过点作交于点． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ， 在中，； 如图2，取的中点，过点作交于点，连接． ， ， 点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接， ， 当点与点重合时，有最小值，最小值为的长． 点为的中点，， ， ，， ． 四边形是正方形， ， ， ， 在中，． 在中，， 的半径为， ， ， 即的最小值为． 题型08 正方形与坐标 ·方法： ①构造全等用“一线三垂直全等（K型图）”建立坐标与边长的桥梁。 ②若求动点，设参数表示边长，列方程。 ·易错提示：坐标中忽略象限符号（如第三象限为负）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 【答案】20 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点分别作轴于点、轴于点， 以为对称轴，作点的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点是点关于的对称点， 根据“将军饮马”可知， 当、、三点共线时，且轴，的值最小， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 题型09 正方形的折叠问题 ·核心思路： ①利用全等三角形找等边等角，减少未知量； ②构造直角三角形，设未知数（如 x），在直角三角形中用勾股定理列方程； ③若遇角平分线+平行线，必出等腰三角形。 ·难点突破：折叠问题的难点在找出全等对应关系，动手画折痕前后的重叠图形是关键。 ·易错提示：折叠中找错对应顶点，导致全等关系列错 典｜例｜精｜析 1．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】(3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 【答案】(1)是；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：沿折叠，点B与点D重合， ∴垂直平分，即，． 沿折叠，点A与点C重合， ∴垂直平分，即，． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）已知四边形是正方形， ∴，． ∵沿折叠，点A落在上的F处， ∴， ∴， ∴． 又∵在中，， ∴． 在和中： ∴， ∴． （3）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在中，，， 由勾股定理得： 由， 得．， ∵点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； ∴ ∴ ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中 ， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【难度】0.56 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再根据勾股定理即可求得的长； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．理由：根据正方形的性质可得，根据翻折的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，根据矩形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据翻折的性质得到，，可得，根据等角对等边有，，在中，，得到，然后由，求得，最后根据三角形的面积公式可得结论； （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，证明四边形是矩形，结合翻折的性质证明，从而证明四边形是正方形，，当点与点重合时，点运动的路径是线段，则，在中，，根据，解得：，可得答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处， ， ∴在中，， ∴的长为； （2）(2)正确； 理由：∵四边形是正方形， ， ∵将沿翻折，点落在正方形内一点处， ， ， 在和中， ， ， ， ∴射线是的角平分线； （3）解：延长交的延长线于点，过点作于点，设， ∵在矩形中，， ， ， ∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即：， ， 解得：， ， ， ，即， ， ． （4）解：过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设， ， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵将沿翻折，点落在点处， ， ， ∵的角平分线与的延长线交于点， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴当点与点重合时，， 此时在中，， ， 即：， 解得：， ， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为4． 题型10 与正方形性质有关的综合探究 ·核心思想：“补全旋转”。 ①遇共顶点等线段（如正方形邻边），尝试旋转某一侧三角形构造全等；②遇中点，尝试倍长中线。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）过点E作，过点H作，则，根据矩形和正方形的性质得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即可求解． （2）过点E作，过点H作，则，根据矩形的性质和得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即，结合，即可求解． （3）过点C作交的延长线于点F，根据垂直得到，再根据等腰直角三角形的性质，可证，得到，再根据，得到，即，再将代入，即可求证． 【详解】（1）解：如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ． （2）如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 又， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）证：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）正方形中，点、分别在边、上． (1)如图1，若，则线段、的位置关系是______． (2)如图2，、分别是、的中点，与相交于点，连接．求证：． (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，连接．若，直接写出三条线段、、之间的数量关系______． (4)若是直线下方一点，是正方形的对称中心，且，连接、、．线段、、之间的数量关系是否发生变化？请补全图形并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) (4)线段、、之间的数量关系不发生变化，图形、理由见解析． 【分析】（1）证明即可得解； （2）取中点H，连接交于点I，易证，，根据中位线可知I是中点，即可得证； （3）过B作于点P，于点N，易证，所以，所以，再证即可得解； 【详解】（1）解：在正方形中，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：取中点H，连接交于点I， 同理可证， ∴， ∴， ∵H为中点， ∴I是中点， ∵， ∴， ∴； （3）过B作于点P，于点N，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （4）补全图形如图所示， 线段之间的数量关系不发生变化，理由如下： 由题可知， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， 在四边形中，， ∴， 由（3）知， 故线段PA、PB、PC之间的数量关系不发生变化． 2．（2026·新疆·三模）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可得： ∴，，，， ∴， ∴点，，三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)正方形的边长为． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为． (3)．理由如下： 将绕点顺时针旋转，点于点重合，得到，连接， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 题型11 数学文化与实践 ·常考“赵爽弦图”，牢记弦图内： ①小正方形边长 = 大直角三角形两直角边之差；②面积关系为c2 = (a-b)2 + 4ab 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证明．如图，四边形、、均为正方形，若，，则正方形的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形、、均为正方形， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为． 2．（2026·湖南·中考真题）某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整． 【数据收集】 图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图，该阅读室摆放了行列共套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙． (1)如图，连接，则________米，取，________米（结果保留一位小数）； (2)求阅读室的长与宽； 【问题解决】 (3)调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由． 【答案】(1)， 解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴（米），， ∴， ∴（米）； (2)长为米，宽为米 解∶阅读室的长为（米），宽为（米） (3)解：可以摆下 理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数x为10， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数y为6， ∵， ∴可以摆下． 题型12 正方形与正八边形（章末问题策略） ·正方形与正八边形的联系系：正方形裁去四个等腰直角三角（锐角45°） 得正八边形。 ·核心等量关系：设正八边形边长为 x ，则裁去的三角形直角边为，原正方形边长= ·问题本质：构造与解等腰直角三角形 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北石家庄·二模）如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 【答案】 【详解】解：设，则，， 连接、， 在正八边形中，，， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴四边形是正方形， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积， ∵正方形的面积， ∴四边形与正方形的面积之比． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏南京·二模）如图，将正方形剪去四个角后得到边长为的正八边形，则正方形的边长为______． 【答案】/ 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， 由正方形得：， ∴均是等腰直角三角形， ∵， ∴，同理， ∵， ∴， 故答案为：． 2．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 【答案】/ 【详解】解：如图， 正八边形的每个内角的度数为：， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， 由对称性易知四边形为正方形， ， 设，则，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 知识点一 正方形的性质 正方形的定义 且 是正方形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是正方形 ∴ 边 四条边都相等， 对边平行. ∵四边形ABCD是菱形，∴ ， ， 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是正方形,∴ 、 、 ， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 具有平行四边形的一切性质：①对边平行；②对角相等；③对角线互相平分 ∵四边形ABCD是菱形，∴① ；② ；③ 对称性 ①是轴对称图形：4条对称轴；②是中心对称图形 即学即练 1．（25-26八年级下·江西赣州·期中）下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．相等，且互相垂直平分 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在正方形中，点是上一点，连接，，点、分别在、上，连接，若，则的度数为______． 3．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 5．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 知识点二 正方形的判定方法 已知平行四边形 有 且 的 是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个直角 在▱ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是正方形 且 的 是正方形 平行四边形+ 在▱ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是正方形 已知矩形 有 的 是正方形 矩形+ 在矩形ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是正方形 的 是正方形 矩形+ 在矩形ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是正方形 已知菱形 的 是正方形 菱形+一个角是直角 在菱形ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是正方形 的 是正方形 菱形+ 在菱形ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是正方形 即学即练 1．如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（   ） A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形 C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 4．如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 知识点三 尺规作正方形 已知一条线段AB作为正方形的对角线 已知一条线段为正方形的一边 方法不唯一：作 +作等线段 方法不唯一：作 +作等线段 即学即练 1．如图①，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作图： (1)作正方形，使其边长为； (2)如图②，已知正方形，其边长为．作一个正方形，满足以下条件：边长为且个顶点分别在正方形四条边上． （注意：保留作图痕迹，写出必要文字说明）． 题型01 根据正方形的性质求角度 ·角度等量代换：抓住对角线平分对角（45°），利用互余、外角定理，并结合全等倒角。 ·角度计算中忽略正方形隐含的“垂直关系”导致漏掉互余条件。 典｜例｜精｜析 1．如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 2．如图，将含的直角三角形放在正方形中，，直角顶点在对角线上，斜边经过的中点O，点M，N分别在边，上，则的度数是___________． 3．如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 4．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 题型02 根据正方形的性质进行面积计算 ·牢记公式 S = a2 =d2 （对角线乘积的一半），求阴影面积常用“割补法”或“总面积减空白”。 ·当边长与对角线互相转化时，若题目给对角线求面积，优先使用 S = d2，可避开开根号计算。 典｜例｜精｜析 1．如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形，正方形面积为32，，则图中空白部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·中考真题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是_______． 2．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段检测）如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，则阴影部分的面积为___________． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（     ） A． B． C． D． 题型03 根据根据正方形的性质计算边长 ·勾股定理+方程思想： ①构造（找）直角三角形；②转化线段：借助全等三角形，若遇中点或垂线，巧用中位线或斜边中线。 典｜例｜精｜析 1．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 变｜式｜巩｜固 1．如图，在正方形和正方形中，点D在边上，，H是的中点，求的长．（保留根号） 2．如图，已知正方形的边长为，平分，交边于点，，垂足为．那么的长为________．（用含的代数式表示） 3．如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 题型04 添加一个条件判断正方形 ·从边角条件总结：菱形+直角；矩形+等邻边；平行四边形+直角+等邻边 从对角线条件总结：菱形+等对角线；矩形+对角线垂直；平四（互相平分）+等对角线+对角线垂直 ·仅凭“四边相等”就判定为正方形（实际是菱形）；仅凭“四个角是直角”就判定（实际是矩形）。必须强调双重身份。 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖北咸宁·二模）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 2．（2026·四川达州·中考真题）在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． (1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； (2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） (3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且． 求证：四边形是菱形． 题型05 根据正方形的性质进行证明和计算 ·找等边+找等角：根据正方形的性质将题（图）中的所有等角、等边进行标注 ·证明计算： ①借助全等找等边等角（优先找“旋转全等”，如手拉手模型），利用等角转换； ②涉及线段求值多用勾股或设未知数方程。 典｜例｜精｜析 1．（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． (1)求证：． (2)若四边形的周长为，求的长． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为，为的中点，求的长． 2．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 题型06 证明一个四边形是正方形 · 判定链条： “两步法”——先证矩形（直角）再证邻边相等；或先证菱形（四边相等）再证直角。 · 添加条件： 反向推导，看缺的是“边”还是“角”（若已有平行四边形，加“邻边相等 + 一个直角”即可） ·特殊情形：证明正方形时，若图形复杂，优先利用对角线（互相垂直平分且相等）来判定，这往往比证边和角更快。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 变｜式｜巩｜固 1．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 2．如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 题型07 在正方形的基本模型中解线段最值问题 ·利用旋转/对称变换构造全等三角形转化线段（模型：手拉手、一线三直角等） ·利用“垂线段最短”或“三角形三边关系”破题。 ① 将军饮马（对称点化折为直）； ② 瓜豆原理（主动点轨迹为线，从动点也为线）； ·借助勾股定理+方程思想计算结果 ·难点突破：最值问题的难点在确定动点轨迹 ·易错分析：最值中误以为“中点”一定取最值，缺乏严格证明。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，等边三角形的顶点E在边上，点B，F在的两侧，连接，则的最小值是______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 ※2．（2026·广东广州·二模）如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________． 题型08 正方形与坐标 ·方法： ①构造全等用“一线三垂直全等（K型图）”建立坐标与边长的桥梁。 ②若求动点，设参数表示边长，列方程。 ·易错提示：坐标中忽略象限符号（如第三象限为负）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 变｜式｜巩｜固 1．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型09 正方形的折叠问题 ·核心思路： ①利用全等三角形找等边等角，减少未知量； ②构造直角三角形，设未知数（如 x），在直角三角形中用勾股定理列方程； ③若遇角平分线+平行线，必出等腰三角形。 ·难点突破：折叠问题的难点在找出全等对应关系，动手画折痕前后的重叠图形是关键。 ·易错提示：折叠中找错对应顶点，导致全等关系列错 典｜例｜精｜析 1．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】(3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】(1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】(2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】(3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 题型10 与正方形性质有关的综合探究 ·核心思想：“补全旋转”。 ①遇共顶点等线段（如正方形邻边），尝试旋转某一侧三角形构造全等；②遇中点，尝试倍长中线。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）正方形中，点、分别在边、上． (1)如图1，若，则线段、的位置关系是______． (2)如图2，、分别是、的中点，与相交于点，连接．求证：． (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，连接．若，直接写出三条线段、、之间的数量关系______． (4)若是直线下方一点，是正方形的对称中心，且，连接、、．线段、、之间的数量关系是否发生变化？请补全图形并说明理由． 2．（2026·新疆·三模）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 题型11 数学文化与实践 ·常考“赵爽弦图”，牢记弦图内： ①小正方形边长 = 大直角三角形两直角边之差；②面积关系为c2 = (a-b)2 + 4ab 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证明．如图，四边形、、均为正方形，若，，则正方形的面积为______． 2．（2026·湖南·中考真题）某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整． 【数据收集】 图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图，该阅读室摆放了行列共套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙． (1)如图，连接，则________米，取，________米（结果保留一位小数）； (2)求阅读室的长与宽； 【问题解决】 (3)调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由． 题型12 正方形与正八边形（章末问题策略） ·正方形与正八边形的联系系：正方形裁去四个等腰直角三角（锐角45°） 得正八边形。 ·核心等量关系：设正八边形边长为 x ，则裁去的三角形直角边为，原正方形边长= ·问题本质：构造与解等腰直角三角形 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北石家庄·二模）如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏南京·二模）如图，将正方形剪去四个角后得到边长为的正八边形，则正方形的边长为______． 2．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $