分子无常型一次分式函数图象性质 讲义09-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦一次分式函数图象性质核心考点，围绕图象溯源、渐近线、对称性等模块，按“基础构成—性质推导—应用判断”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如渐近线方程推导）、方法指导（对称中心确定）、应用训练等环节，帮助学生构建完整知识框架，突破图象分析难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以反比例函数平移为溯源起点，创新采用几何直观与逻辑推理结合的教学方法，如通过倾斜平移正交分解推导渐近线方程，结合“bc符号判断图象位置”简记策略，培养学生数学眼光与思维。设置从性质理解到综合应用的分层训练，提升学生抽象能力与解题效率，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

一次分式函数讲义09 （JOVILIN原创） 第九章 分子无常型一次分式函数图象性质 一、函数图象溯源 如第八章所述，将反比例函数y＝的图象施加倾斜平移可以得到分子无常型一次分式函数y＝的图象，该倾斜平移可以正交分解为【平移距离为||的水平平移】和【平移距离为||的垂直平移】。 二、函数图象基本构成 分子无常型一次分式函数y＝的图象由两条曲线构成，这两条曲线都无限长且互不相交，称其为函数图象的2条分支曲线。 说明：函数图象的平移（含倾斜平移），整体性改变函数图象的位置，但不改变函数图象的形态、面积、长短、朝向、对称性等自身性质。反比例函数y＝的图象自身如何，分子无常型一次分式函数y＝的图象自身亦如何。 三、函数图象渐近线 1、综述 分子无常型一次分式函数y＝图象有2条渐近线，一条平行于x轴称之为水平渐近线，另一条与y轴重合称之为垂直渐近线。 说明：函数图象A经过平移变换T得到函数图象，图象A原有的图象特征参考元素（如渐近线、对称中心、对称轴等）经过平移变换T仍为图象的图象特征参考元素，且参考意义不变。 因为反比例函数y＝的图象有水平和垂直两条渐进线，所以分母无常型一次分式函数y＝的图象仍有水平和垂直两条渐进线。 2、渐近线方程 水平渐近线y＝ ，垂直渐近线x＝﹣ 。 说明：反比例函数y＝的水平渐近线y＝0 、垂直渐近线x＝0。 因为对于平行或重合于x轴的直线而言，倾斜变换所含的水平平移不改变该直线的方程、垂直平移改变该直线的方程。 当＞0时，水平渐近线y＝0垂直向上平移个单位得直线y＝0＋＝。当＜0时，水平渐近线y＝0垂直向下平移﹣个单位得直线y＝0－(﹣)＝。 因为对于垂直x轴的直线而言，倾斜变换所含的水平平移改变该直线的方程、垂直平移不改变该直线的方程。 当＞0时，垂直渐近线x＝0水平向左平移个单位得直线x＝0﹣＝﹣。当＜0时，垂直渐近线x＝0水平向右平移﹣个单位得直线x＝0＋(﹣)＝﹣。 综上可得分子无常型一次分式函数y＝图象的渐近线方程。 3、渐近线特征 2条渐近线互相垂直，垂足为（﹣，）即对称中心。 水平渐近线y＝与y轴相交于点（0，）。 水平渐近线y＝与y轴相交于点（﹣，0）。 4、基于渐近线对函数图象的描述 分子无常型一次分式函数y＝图象的2条分支曲线基于垂直渐近线有左右之分、基于水平渐近线有上下之分，见上方2图示意。 当﹣bc＞0即bc＜0时，左曲线在水平渐进线的下方，右曲线在水平渐进线的上方，简记为【bc＜0 ←→ 左下右上】。 当﹣bc＜0即bc＞0时，左曲线在水平渐进线的上方，右曲线在水平渐进线的下方，简记为【bc＞0 ←→ 左上右下】。 四、函数图象的对称性 1、中心对称性 （1）综述 分子无常型一次分式函数y＝的图象为中心对称图形，对称中心坐标为（﹣，）。 说明：反比例函数y＝的图象具有中心对称性、对称中心为原点(0，0)，是其水平渐近线和垂直渐近线的交点。 基于倾斜平移的特性可得，标准一次分式函数y＝的图象具有中心对称性、对称中心为其两条渐近线的交点(﹣，)。 （2）对称中心特征 ①对称中心不在函数图象上。 ②对称中心不在坐标轴及原点上。 ③对称中心在坐标系的任一象限内。 2、轴对称性 （1）综述 分母无常型一次分式函数y＝图象具有轴对称性，有2条对称轴，其中一条斜率为1，另一条斜率为﹣1。 说明：此为对反比例函数y＝图象轴对称性的继承，不再赘述。 （2）对称轴直线方程 对称轴：y＝x＋（斜率为1） 对称轴：y＝﹣x－（斜率为﹣1） 说明：反比例函数y＝的图象的对称轴直线方程分别为y＝x和y＝﹣x，对这两条直线分别作相同的倾斜变换即可得到上述两个直线方程。该倾斜变换可正交分解为【平移距离为||的水平平移】和【平移距离为||的垂直平移】。 ①当＞0且＞0时，将直线y＝x水平向左平移后再垂直向上平移，其中水平平移距离为、垂直平移距离为。 —— y＝x → y＝(x＋)＋＝x＋ ②当＜0且＞0时，将直线y＝x水平向右平移后再垂直向上平移，其中水平平移距离为﹣、垂直平移距离为。 —— y＝x → y＝[x－(﹣)]＋＝x＋ ③当＜0且＜0时，将直线y＝x水平向右平移后再垂直向下平移，其中水平平移距离为﹣、垂直平移距离为﹣。 —— y＝x → y＝[x－(﹣)]－(﹣)＝x＋ ④当＞0且＜0时，将直线y＝x水平向左平移后再垂直向下平移，其中水平平移距离为、垂直平移距离为﹣。 —— y＝x → y＝(x＋)－(﹣)＝x＋ 综上①②③④可得，源对称轴y＝x所对应的目标对称轴为y＝x＋。 ⑤当＞0且＞0时，将直线y＝﹣x水平向左平移后再垂直向上平移，其中水平平移距离为、垂直平移距离为。 —— y＝﹣x → y＝﹣(x＋)＋＝﹣x－ ⑥当＜0且＞0时，将直线y＝﹣x水平向右平移后再垂直向上平移，其中水平平移距离为﹣、垂直平移距离为。 —— y＝x → y＝﹣[x－(﹣)]＋＝﹣x－ ⑦当＜0且＜0时，将直线y＝﹣x水平向右平移后再垂直向下平移，其中水平平移距离为﹣、垂直平移距离为﹣。 —— y＝x → y＝﹣[x－(﹣)]－(﹣)＝﹣x－ ⑧当＞0且＜0时，将直线y＝﹣x水平向左平移后再垂直向下平移，其中水平平移距离为、垂直平移距离为﹣。 —— y＝x → y＝﹣(x＋)－(﹣)＝﹣x－ 综上⑤⑥⑦⑧可得，源对称轴y＝﹣x所对应的目标对称轴为y＝﹣x－。 （3）对称轴特征 2条对称轴互相垂直，垂足即图象对称中心（﹣，）。 2条对称轴，一条与函数图象不相交，另一条与函数图象的2条分支曲线分别相交，2个交点关于对称中心对称。 当﹣bc＞0即bc＜0时，斜率为1的对称轴与函数图象2条曲线分别相交。当﹣bc＜0即bc＞0时，斜率为﹣1的对称轴与函数图象2条曲线分别相交。 五、函数图象与坐标系的位置关系 分子无常型一次分式函数图象的2条分支曲线中，一条曲线恒过原点，另一条曲线既不过原点也不与坐标轴相交，分布在象限内。 有交记为1、无交记为0，将上述位置关系细分简记为【左1右0】或【左0右1】。 当bc＜0时，若对称中心分布在第一象限，则有ac＞0。 ∵bc＜0且ac＞0。 ∴ac·bc＜0即abc²＜0 ∴ab＜0 ∴当bc＜0时，若对称中心分布在第一象限，则有ab＜0、ac＞0、bc＜0。 下面每张图中关于a、b、c不等式组均可由上述推导方式得出。 学科网（北京）股份有限公司 $