1.1.3.1 空间向量的坐标与空间直角坐标系 课件—2026-2027学年高二上学期人教B版选择性必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，为人教B版(2019)选择性必修第一册第一章“空间向量与立体几何”1.1.3第一课时内容。通过平面向量基本定理类比引入空间向量基本定理，构建单位正交基底与坐标表示，讲解空间向量坐标运算及平行垂直的坐标条件，辅以例题解析和课堂练习。 资料注重类比迁移与逻辑推理，从平面到空间的知识拓展培养数学眼光，通过定理推导和坐标运算提升数学思维，结合例1坐标表示、例4平行垂直应用等实例强化数学语言表达。帮助学生构建空间向量知识体系，提升逻辑推理与数学计算能力，也为教师提供系统的教学支架和实践素材。 本课时面向高中学生，学生已具备平面向量基础，需完成从二维到三维的认知过渡，重点培养空间观念与抽象能力，为后续立体几何问题解决奠定基础。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 （第一课时） 第一章 空间向量与立体几何 1 学习目标 掌握空间向量正交分解的概念及坐标表示，体现逻辑推理能力（重点） 掌握空间向量平行、垂直的坐标表示，并且解决问题，体现数学计算能力（难点） 能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算，体现逻辑推理能力（重点） 2 新课导入 O A i j x y 平面向量基本定理：如果两向量a，b不共线，那么对于平面中任意向量p，都存在唯一确定的有序数对{x，y}，使 p=xa+yb. 此时，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系. 如图，对于平面内任一向量p=xi+yj，此时(x，y)即为p的坐标. 即p=(x，y) 3 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ xa O Q P p a c b yb zc B C A α a b c 4 新课导入 空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间中任意向量p，都存在唯一确定的有序数组{x，y，z}，使p=xa+yb+zc. 由平面向量基本定理类似可以得： 平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标？如何得到空间向量坐标？ 5 新课学习 尝试与发现： 6 新课学习 尝试与发现：(2)如果p是空间中任意一个向量，怎样才能写出p在基底{e1，e2，e3}下的分解式？ 将向量p的始点平移到点O，然后过它的终点分别作与e1，e2，e3所在直线垂直的平面，即可写出它在基底{e1，e2，e3}下的分解式. 7 新课学习 单位正交基底的概念 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底 8 新课学习 单位正交分解的概念 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作 p=(x，y，z) 其中x，y，z都称为p的坐标分量. (x，y，z) e1 e2 e3 9 新课学习 (x，y，z) e1 e2 e3 空间向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解. (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 10 新课学习 例1：已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)p = 2e1+3e2+e3; (2)q = -e1+e2-2e3; (3)r = -2e2-e3; (4)0. (1)p=(2，3，1)； (2)q=(-1，1，-2)； (3)r=(0，-2，-1)； (4)因为0=0e1+0e2+0e3，所以0=(0，0，0). 解析： 11 新课学习 思考一下：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？ 假设空间中两个向量a，b满足a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)， 当a=b时，有 也就是说 a=x1e1+y1e2+z1e3，b=x2e1+y2e2+z2e3， x1e1+y1e2+z1e3=x2e1+y2e2+z2e3， 由{e1，e2，e3}是单位正交基底和空间向量基本定理可知 x1=x2，y1=y2，z1=z2 反之结论也成立.即：空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等. 12 新课学习 思考一下：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？ 因为 a+b=x1e1+y1e2+z1e3+x2e1+y2e2+z2e3 =(x1+x2)e1+(y1+y2)e2+(z1+z2)e3 所以 a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2). 同理可得，如果u，v是两个实数，那么 ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2). 因为{e1，e2，e3}是单位正交基底，所以 e1·e1=e2·e2=e3·e3=1， e1·e2=e2·e3=e3·e1=0 13 新课学习 思考一下：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？ 因此 a·b=(x1e1+y1e2+z1e3)·(x2e1+y2e2+z2e3) =x1x2e1·e1+y1y2e2·e2 +z1z2e3·e3+(x1y2+x2y1)e1·e2+ (y1z2+y2z1)e2·e3+(x1z2+x2z1)e3·e1 =x1x2+y1y2+z1z2 即 a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 特别地， 当a≠0且b≠0时，由向量数量积的定义可知 14 平面向量的坐标运算 归纳总结 空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b _____________________ 加法 a＋b ______________________ 线性运算 μa＋vb ____________________________ x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 归纳总结 空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 数量积 a·b _______________ 模 ____________ 夹角 _______________________ x1x2＋y1y2＋z1z2 新课学习 例2：已知a=(-2，3，5)，b=(3，-3，2)，求下列向量的坐标： (1)a-b; (2)2a+b; (3)-5b. (1)a-b=(-2，3，5)-(3，-3，2)=(-2-3，3+3，5-2)=(-5，6，3). (2)2a+b=2(-2，3，5)+(3，-3，2)=(-4，6，10)+(3，-3，2)=(-1，3，12). (3)-5b=-5(3，-3，2)=(-15，15，-10). 解析： 18 新课学习 例3：已知a=(1，0，1)，b=(2，-2，0)，求〈a，b〉. 因为 a·b=1×2+0×(-2)+1×0=2， 所以 因此〈a，b〉=60°. 解析： 19 新课学习 尝试与发现：我们已经知道，如果a，b是空间向量： (1)当a≠0时，a//b的充要条件是存在实数λ，使得b=λa; (2)a⊥b的充要条件是a·b=0. 如果已知a，b的坐标，即a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)， 那么上述结论怎样用它们的坐标表示？ 可以看出，当a≠0时， a//b b=λa (x2，y2，z2)=λ(x1，y1，z1) 20 新课学习 当a的每一个坐标分量都不为零时，有 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0. 而且 21 新课学习 例4：(1)已知a=(1，-1，1)，b=(x，y，z)，且a//b ，求x，y，z所要满足的关系式； 因为a=(1，-1，1)的每一个坐标分量均不为零，因此 (1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中当a＝0，时b，c不一定平行. (2)若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定为0. 提醒 22 新课学习 (2)已知c=(-1，-1，1)，d=(2，-2，6)，求一个非零空间向量n，使得n⊥c且n⊥d. 设n=(x，y，z)，则 将z看成已知数，求解方程组可得x=-z，y=2z，因此 n=(-z，2z，z)=z(-1，2，1)， 取z=1，可得满足条件的一个非零空间向量n=(-1，2，1). 空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无数个，而且这无数个向量是相互平行的. 23 例5 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2). (1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)a－b＝(2，1，－2). ∵c∥(a－b)， 设c＝λ(a－b)，即c＝λ(2,1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)， ∴c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2). 24 例3 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2). (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. (2)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 25 课堂练习 A 26 课堂练习 B 27 课堂练习 3.(多选)下列每组中的两个向量满足平行的是( ) A.(5，0，5)，(0，5，0) B.(0，0，1)，(0，0，3) C.(2，3，－1)，(2，3，1) D.(1，－1，2)，(－2，2，－4) 4.已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是( ) A.(0，0，1) B.(－2，1，0) C.(1，1，2) D.(4，－1，1) BD B 28 课堂练习 29 课堂练习 30 课堂练习 A 31 课堂练习 32 课堂总结 1.单位正交基底的概念 2.单位正交分解的概念 3.空间向量的坐标运算 33 谢 谢 观 看 34 如图所示，已知 ， ， ，且OADB-CEGF是棱长为1的正方体，OF1E1A-A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，F1O=2. (1)设 ， ，将向量a与b都用e1，e2，e3表示； ， ， ， ∴|c|＝＝3|λ|＝3，∴λ＝±1， 解得k＝2或k＝－，故所求k的值为2或－. 解析：依题意，知 ，故向量p在基底 下的坐标是 . 解析： .故选：B. 2.已知 ， ，则 等于( ) A. B. C. D. 5.已知，，满足，，则的值为( ) A. B.18 C.20 D. 6.设向量，，若，则实数的值为( ) A.2 B.-2 C.-2或 D.2或 解析：因为 ， 且 ， 所以 ，即 ，解得 ，所以 . 故选:A 7.已知空间向量，，若，则( ) A.1 B. C.2 D. 8.（多选）向量，，若，则( ) A. B. C. D. $