4.5 函数的应用（二）讲义2025-2026学年高一下学期暑假复习

4.5函数的应用（二） 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 指数函数模型 f(x)＝b ax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝b log ax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 解题步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 函数零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【详解】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数. 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指数型函数图象判断参数的范围、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设定义域为的函数，则关于的方程，有7个不同实数根的充要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】此题为复合函数零点问题，关键是换元后，通过函数图象和数形结合思想把每个函数零点研究清楚. 【详解】令，考虑方程的根，该方程必有解，设解为， 题设方程和方程的解即为方程的解， 因为方程有7个不同的解， 根据的图象（如图所示）可得，直线与的图象有3个不同公共点， 直线与的图象有4个不同公共点， 故所以，即，故选C. 二、多选题 5．（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．方程有两个解 B．若函数，则函数在上单调递增 C．与y=的图象关于对称 D．二分法求解方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【知识点】分段函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、零点存在性定理的应用、反函数的性质应用 【详解】选项A，令函数与，如图所示， 因为函数与为单调递增函数， 且图象只有两个不同的交点， 所以方程有两个解，故A选项正确； 由函数， 当时，在单调递增， 当时，， 若，则函数在单调递减，故B选项不正确； 由与y=互为反函数，故两个函数图象关于对称， 故C选项正确； 令， 由函数与在上单调递增， 所以函数在上单调递增且图象连续， 又， 所以函数零点在区间上， 即方程的根落在区间上，故D选项正确； 故选：ACD. 6．（25-26高一上·四川南充·期末）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 【答案】AB 【知识点】用二分法求近似解的条件、求反函数、对数型函数图象过定点问题、由奇偶性求函数解析式 【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式. 【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为， 且是单调递增函数，则它存在反函数， 两边取自然对数可得，将互换，得到， 所以函数的反函数是，故选项A正确； 选项B：对数函数 ，当 时，， 在函数 中， 令 ，即 ，此时 ， 因为 （ 且 ），所以 ， 即函数 过定点 ，故选项B正确； 选项C：对于函数 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时，，不存在区间 使得 ， 所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误； 选项D：因为 为奇函数，则 ， 当 时，， 当 时，，则 ， 因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误. 故选：AB. 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 8．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】零点存在性定理的应用 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 9．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 【答案】AD 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析 的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作出函数图像如图： 方程有四个不同根的条件是，故A正确； 是方程即的两根，由韦达定理：； 是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故B错误； ，，故，，其取值范围为，故C错； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根； ：共2个实根； 当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，D正确. 10．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）设函数，(且)，则（    ） A． B．， C．的值域为 D．若方程至少有一个实数解，则 【答案】BD 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】A.利用函数的周期性求解；B利用函数的周期性求解；.C.利用函数的单调性求值域；D. 方程 有解，分 和进行讨论. 【详解】由 时 ，， 所以，即 ，故 A错误； B.，， 时 ， 可知 是周期为 1的周期函数，，故 B正确。 C.分两种情况讨论底数 ： 若 , 在 单调递增，所以的值域为； 若 , 在 单调递减， 所以的值域为， 值域随 范围变化，不恒为 ，C错误。 D.方程 有解 存在 ，使得 ，即 , ，分情况： 若 ：，无解； 若 ： 在 值域 ，要存在 使 ，需 ，即 , 因此 D正确. 三、填空题 11．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_______年.（参考数据：，，） 【答案】2027 【知识点】指数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、由指数函数的单调性解不等式 【详解】设第年开始超过200万元，则， 即，两边取对数可得， 根据参考数据可得，即， 因为为整数，取， 故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数．若存在实数，使在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】写出分段函数，分、两种情况讨论，结合图象讨论即可. 【详解】函数， 二次函数与图象的对称轴均为直线， 当时，函数在上单调递增， 此时在区间上至多有一个实数根，不满足题意，则， 作出函数的图象，如图， 由图可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在区间上有两个不等实数根， 所以函数在区间上不单调，则或， 故实数的取值范围为. 14．（2026·山东日照·三模）设，，，…，，其中，则的零点个数为_____． 【答案】2027 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】分析 的表达式规律，通过递推归纳出 的分段形式与零点、分段区间的规律，再结合函数的单调性、值域来确定交点数量. 【详解】∵ ，， ∴ 归纳可得的性质： 1. 基本属性 ∵ 所有迭代均为绝对值变换，∴ 定义域为，值域为，图像连续无间断. ∵ 关于直线对称，迭代操作不改变对称轴，∴ 关于直线对称. 2. 零点分布 令，得，逐层递推得， ∴ 零点为，即，共个零点，相邻零点间距为，均关于对称. 3. 分段表达式与图像形态 ① 当时，迭代后绝对值均可直接展开，，为斜率为的射线，过点向右上方无限延伸； ② 当时，迭代后绝对值均直接展开，，为斜率为的射线，过点向左上方无限延伸； ③ 当时，任意相邻零点构成区间（为偶数），区间内为开口向下的V形折线，顶点为区间中点，纵坐标恒为. 4. 整数点函数值 当为整数时，若为偶数，则；若为奇数，则. 要求的零点个数，即求与的交点个数，其中，对数底数为，分区间讨论： ① 当时， ∵ ，单调递减，值域为， 在内单调，值域为， ∴ 两函数在内有且仅有个交点. ② 当时， ∵ ，单调递增，值域为， 在内为分段线性函数，值域为，每一段斜率交替为，与单调递增的对数函数共有个交点. ③ 当时， ∵ ，单调递增，斜率为， ，单调递增，且导数为 ， 当时， ， 当足够大时，线性函数增长速度远快于对数函数，故 ， ∴ 两函数在内有且仅有个交点. 综上，交点总个数为 ，即的零点个数为. 【点睛】方法归纳：本题属于迭代函数与对数函数的零点交点问题，核心解题思路是先归纳迭代函数的周期性、值域、单调性特征，再结合另一函数的单调性与增长速度，分区间逐一判断交点个数，利用归纳推理简化复杂迭代的分析过程. 四、解答题 15．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题、简单的对数方程 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在上单调递增； (2)； (3)存在，. 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据零点所在的区间求参数范围、定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据对数函数的定义结合复合函数单调性求解； （2）利用零点存在定理列式结合对数运算及一元二次不等式求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【详解】（1）因为，所以解得，所以函数的定义域为； 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增； （2）由已知，是增函数， 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得， 所以的范围是； （3）假设存在正实数满足题意， ，则，， 设，则， ， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以，， 所以时，，，是增函数，时，，，不合题意； 当时，，，是减函数，时，，，不合题意； 综上，存在正实数，使得函数在内的最小值为6，满足条件时. 17．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 【答案】(1)最符合实际的函数模型为①，理由见解析 (2)函数解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可； （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②：，当时无意义，不符合题意； 对于模型③：，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①：，会员人数增速随增大而减缓，符合题意； 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知选择模型①：， 将数据组代入，得，解得， 所以， 令时，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万. 18．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，，． (1)若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由； (2)若函数， （i）判断的单调性； （ii）若是的两个零点，且，证明：． 【答案】(1)是，对称中心为 (2)（i）在上单调递增 （ii）， 令， 则. 又，函数在上均单调递增， 在上单调递增. ， ，使得， 又是的两个零点，且，， 又，， 又，在上单调递增，，即， ， ，故，即成立. 【知识点】判断或证明函数的对称性、对数函数单调性的应用、判断零点所在的区间 【分析】（1）首先变形得到，根据曲线的对称中心可推出所求. （2）（i）根据函数单调性的性质：增函数+增函数=增函数可求解；（ii）根据的解析式可令，得到，根据函数零点存在定理求出的两个零点的范围，再结合的单调性得到的关系，进而得到，两边同取自然对数可得证. 【详解】（1）是. 当时，， 因为曲线是中心对称图形，根据图形的平移可知曲线也是中心对称图形，下面求其对称中心： 由上知的定义域为， ， 曲线的对称中心为. （2）（i），， 的定义域为. 又在定义域内单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. （ii）略 19．（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，值域为. (2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）先根据为奇函数求出的值，然后利用不等式的性质求出的值域. （2）函数在区间上有两个不同的零点，即方程在该区间上有两个不同的解，通过换元法将问题转化为二次函数的零点问题，再结合二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】（1）因为且，则的定义域为， 又为奇函数，，解得， 所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则， 所以函数的值域为. （2）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 20．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】由奇偶性求参数、求对数型复合函数的值域、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】(1)由偶函数定义可直接求解m； (2)已知函数存在零点，转化成方程有解，通过计算的值域得出的范围； (3)函数与的图象有且只有一个公共点，令，则方程可化为，转化成一元二次方程有且只有一个正根讨论. 【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为， 即，                                           所以对任意恒成立，                                                   解得； （2）由（1）得：， 所以，                                                     因为函数存在零点，所以， 即方程有解，                                                 令，                             因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：， 即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为， 解得，不合题意，舍去；                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根， 则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根， 则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5函数的应用（二） 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 指数函数模型 f(x)＝b ax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝b log ax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 解题步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 函数零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线；② 则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A．B．C．D． 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设定义域为的函数，则关于的方程，有7个不同实数根的充要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、多选题 5．（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．方程有两个解 B．若函数，则函数在上单调递增 C．与y=的图象关于对称 D．二分法求解方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 6．（25-26高一上·四川南充·期末）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 8．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 10．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）设函数，(且)，则（    ） A． B．， C．的值域为 D．若方程至少有一个实数解，则 三、填空题 11．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 12．（25-26高三·全国·一轮复习）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_______年.（参考数据：，，） 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数．若存在实数，使在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为______． 14．（2026·山东日照·三模）设，，，…，，其中，则的零点个数为_____． 四、解答题 15．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 18．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，，． (1)若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由； (2)若函数， （i）判断的单调性； （ii）若是的两个零点，且，证明：． 19．（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 20．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $