预习专题1.2 空间向量的数量积运算（6类必考点）讲义-2026年高一升高二暑期数学自救计划（人教A版选择性必修第一册）

预习专题1.2 空间向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 2 【考点2：求空间向量的数量积】 5 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 8 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 12 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 14 【考点6：空间向量的投影向量】 18 【知识梳理】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉． (2)范围：0≤〈，〉≤π. 特别地，当〈，〉＝时，⊥. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量，，则||||cos 〈，〉叫做，的数量积，记作·. 即·＝||||cos〈，〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①⊥⇔·＝0 ②·＝2＝||2 运算律 ①(λ)·＝λ(·)，λ∈R. ②·＝·(交换律)． ③·(＋)＝·＋·(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 6．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角． 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 1．（25-26高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 【答案】CD 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：CD 3．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 5．（25-26高二上·江西赣州·期中）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    【考点2：求空间向量的数量积】 6．（24-25高二上·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果． 【详解】 故选：D 7．（25-26高二上·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 8．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 9．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 10．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D. 【详解】，故AB错误； 因为，所以，所以不一定等于，故C错误； 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 11．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 12．（26-27高二·全国·暑假作业）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 13．（25-26高一下·河南驻马店·期中）若向量， 满足：，，且，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算律和夹角公式，即可求解. 【详解】由可得， 所以， 因,所以， 所以与的夹角是. 14．（2024·四川巴中·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平方，求出的值，即可求得以及的值，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，满足，，， 故，即， 则， ， 故， 故选：A 15．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)作辅助线画出底面的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积； (2)先算出和的比，利用向量线性关系求出和、，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值. 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示， 由知，且， 又因为且，所以平面， 过点作交延长线于点，所以， 又因为，故平面，即为三棱锥的高， 由题知，，则，，， 所以； （2）解：因为，，解得，所以， 同理可得，所以，， 由图知， 两边平方得：，所以， 又因为， 所以. 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 16．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 17．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 18．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量满足与的夹角为，则的值为______． 【答案】 【详解】已知，与的夹角， ， ，，， 所以. 19．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）若为两两夹角都是的三个单位向量，则__________. 【答案】 【详解】因为是单位向量，所以，且两两夹角为， 所以，， \， 所以 ． 20．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知两个平面向量，满足，，且（其中表示不超过实数x的最大整数），则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据向量模长和数量积的取整条件，得到数量积的范围，再结合向量模长公式，将模长转化为关于的函数，即可得解. 【详解】由可知，又，， 所以， 而，所以的取值范围是. 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 21．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 22．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，解得. 23．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 24．（2025·福建·模拟预测）（多选）如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又， 所以与的夹角为，故A错误； 对于B，因为，， 所以， ， ，故B正确； 对于C，，，， ，，， ， ，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD. 25．（25-26高二上·广东汕头·期中）（多选）如图，在平行六面体中，，，，为与的交点，若，，，则下列正确的是（   ） A． B．的长为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理，以及向量的线性运算方法，以及向量数量积的性质，逐一判断各选项正误，求出结果即可. 【详解】由题意可知，所以A正确； 由题意可知， 所以，所以B错误； 由题可知， 则， 即，则，所以C正确； 由题可知，则， ， 所以，所以D正确； 故选：ACD. 【考点6：空间向量的投影向量】 26．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式求解即可. 【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 27．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 28．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 29．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 30．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【答案】(1)证明详见解析. (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. 【详解】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 预习专题1.2 空间向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 2 【考点2：求空间向量的数量积】 3 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 4 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 6 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 6 【考点6：空间向量的投影向量】 8 【知识梳理】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉． (2)范围：0≤〈，〉≤π. 特别地，当〈，〉＝时，⊥. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量，，则||||cos 〈，〉叫做，的数量积，记作·. 即·＝||||cos〈，〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①⊥⇔·＝0 ②·＝2＝||2 运算律 ①(λ)·＝λ(·)，λ∈R. ②·＝·(交换律)． ③·(＋)＝·＋·(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 6．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角． 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 1．（25-26高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 3．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 5．（25-26高二上·江西赣州·期中）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【考点2：求空间向量的数量积】 6．（24-25高二上·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 7．（25-26高二上·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 8．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 9．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 10．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 11．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 12．（26-27高二·全国·暑假作业）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·河南驻马店·期中）若向量， 满足：，，且，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·四川巴中·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 16．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 18．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量满足与的夹角为，则的值为______． 19．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）若为两两夹角都是的三个单位向量，则__________. 20．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知两个平面向量，满足，，且（其中表示不超过实数x的最大整数），则的取值范围是______． 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 21．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 22．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 24．（2025·福建·模拟预测）（多选）如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D． 25．（25-26高二上·广东汕头·期中）（多选）如图，在平行六面体中，，，，为与的交点，若，，，则下列正确的是（   ） A． B．的长为 C． D． 【考点6：空间向量的投影向量】 26．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $