26.4实际问题与二次函数（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册

26.4实际问题与二次函数（暑假预习讲义）2026-2027学年 人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】 审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）； 设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数； 解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题； 检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案； 答：写出答案. 题型突破： 题型一：利用二次函数求最大利润 1.某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ） A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元 2.为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 40 50 60 销售量（千克） 120 100 80 设销售该商品每天的利润为（元），则的最大值为（    ） A．1800 B．1600 C．1400 D．1200 3.某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量（瓶）与每瓶销售价（元）之间满足函数关系式．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）． 4.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润w（元）．则当销售单价为 元时，每天的销售利润最大，最大利润 ． 5．开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的单价； （2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？ 题型二：利用二次函数求最大面积 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 2．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的是（　　） A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x） C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2 3．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 4．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 题型三：利用二次函数解决拱桥问题 1.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）     A． B．8 C． D． 2．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A．y＝﹣2x2 B．y＝2x2 C．y＝﹣x2 D．y＝x2 3．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 4.如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ． 5．兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是8m，最高点距地面2m．现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图2． （1）若门框的高不低于1.5m，且长方形门框的宽AB的长度不小于2m，则长方形门框的宽度AB应该在什么范围内？ （2）在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值． 题型四：生活中的类抛物线问题 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 3．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 4．如图，一款落地灯的灯柱垂直于水平地面，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点距灯柱的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩距灯柱的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米． 5.如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．    (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？ 题型五：利用二次函数解决图形运动问题 1.如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 2．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 3．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 4.如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大． 5.已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？ (2)几秒时，的面积最大？请说明理由． 题型六：利用二次函数解决喷头喷出水的轨迹问题 1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 2.西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 3．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 4．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 5.如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m． （1）求抛物线解析式，并求水流落地点距离O点的距离； （2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则如何调节水管OA的高度？ 题型七：利用二次函数解决球的轨迹问题 1.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 2．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图所示，水平地面为x轴，单位：m），则下列说法不正确的是（　　） A．出球点A离点O的距离是1 m B．羽毛球横向飞出的最远距离是3 m C．羽毛球最高达到 m D．当羽毛球横向飞出 m时，可到达最高点 3.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    4.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：    0 1 2 3 0 则该运动员踢出的足球在第 落地． 5.如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： (1)出手点A离地面的高度； (2)最高点C离地面的高度； (3)该运动员的成绩是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4实际问题与二次函数（暑假预习讲义）2026-2027学年 人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】 审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）； 设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数； 解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题； 检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案； 答：写出答案. 题型突破： 题型一：利用二次函数求最大利润 1.某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ） A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元 【答案】C 2.为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 40 50 60 销售量（千克） 120 100 80 设销售该商品每天的利润为（元），则的最大值为（    ） A．1800 B．1600 C．1400 D．1200 【答案】B 3.某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量（瓶）与每瓶销售价（元）之间满足函数关系式．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）． 【答案】13 4.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润w（元）．则当销售单价为 元时，每天的销售利润最大，最大利润 ． 【答案】 30 1000 5．开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的单价； （2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？ 【答案】解：（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是（x+2）元， ， 解得，x＝6， 经检验，x＝6是原分式方程的解， ∴x+2＝8， 答：甲、乙两种水果的单价分别是6元、8元； （2）设售价是a元，总利润是y元， y＝（a﹣15）[3000+1000（28﹣a）]＝﹣1000a2+46000a﹣465000＝﹣1000（a﹣23）2+64000． ∴当售价是23元时，利润最大是64000元． 题型二：利用二次函数求最大面积 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 【答案】A 2．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的是（　　） A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x） C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2 【答案】B． 3．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】B 4．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 【答案】解：（1）由题意得，AE＝HG＝AD＝xm， DC＝AB＝（200﹣x）＝（100﹣x）m， 故y＝x（100﹣x）＝﹣x2+100x， 自变量x的取值范围为：28≤x＜80； （2）由题意可得： ∵y＝﹣x2+100x＝﹣（ x2﹣80x）＝﹣（ x﹣40）2+2000， 又∵28≤x＜80， ∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米； （3）由题意得，S矩形EAGH＝AG•AE＝（100﹣x）x＝﹣x2+25x，S矩形DEFC＝DC•DE＝（100﹣x）•x＝﹣x2+50x， 设安装成本为w元，则w＝40（﹣x2+25x）+20（﹣x2+50x）＝﹣25x2+2000x， 令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000， 解得x＝60或20， ∵28≤x＜80， ∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元． 题型三：利用二次函数解决拱桥问题 1.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）     A． B．8 C． D． 【答案】D 2．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A．y＝﹣2x2 B．y＝2x2 C．y＝﹣x2 D．y＝x2 【答案】C． 3．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 4.如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ． 【答案】 5．兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是8m，最高点距地面2m．现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图2． （1）若门框的高不低于1.5m，且长方形门框的宽AB的长度不小于2m，则长方形门框的宽度AB应该在什么范围内？ （2）在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值． 【答案】解：（1）如图，以大棚入口的左端点为原点建立直角坐标系，由题意知顶点C坐标为（4，2），D点坐标为（8，0）． 设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣4）2+2， 将D点坐标代入，得 a（8﹣4）2+2＝0，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ， 当 y＝1.5 时，x1＝6，x2＝2， 则AB的长度最大为6﹣2＝4（m）， ∴AB的范围为2≤AB≤4； （2）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为8﹣x，AB的长度为（8﹣2x）m， ∵2≤AB≤4， ∴2≤8﹣2x≤4，得2≤x≤3． 点A的纵坐标为 ， 如图，木条 ， 令3根木条长度和为l， ∴l＝． 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小，所以当x＝3时，l取得最小值为 ． 即3根木条长度和的最小值为 ． 题型四：生活中的类抛物线问题 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 【答案】5 3．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【答案】3.25 m 4．如图，一款落地灯的灯柱垂直于水平地面，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点距灯柱的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩距灯柱的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米． 【答案】1.95 5.如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．    (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？ 【答案】(1) (2)一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为，点A和点B的坐标分别为， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由如下： 在中，当时，解得， ∵， ∴， ∴一辆宽，高的大型货运卡车可以通过． 题型五：利用二次函数解决图形运动问题 1.如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C． 3．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 4.如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大． 【答案】4 5.已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？ (2)几秒时，的面积最大？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则                 ， 整理得：， 解得：， ∵当时，， ∴不合题意， 答：1秒后的面积等于； （2）解：当秒时，面积最大．理由如下： 设经过t秒以后面积最大，则 ， 当秒时，面积最大． 题型六：利用二次函数解决喷头喷出水的轨迹问题 1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 【答案】C 2.西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 【答案】C 3．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 【答案】B． 4．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 【答案】D 5.如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m． （1）求抛物线解析式，并求水流落地点距离O点的距离； （2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则如何调节水管OA的高度？ 【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，8）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8， 把A（0，6）代入可得a＝﹣2， ∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8， 当y＝0时，x＝3或﹣1（舍去）， 答：解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，水流落地点距离O点的距离是3米； （2）抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+k， 把（3.5，0）代入可得k＝12.5， ∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+12.5， 当x＝0时，y＝10.5， 答：水管OA的高度调整为10.5米． 题型七：利用二次函数解决球的轨迹问题 1.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 【答案】C 2．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图所示，水平地面为x轴，单位：m），则下列说法不正确的是（　　） A．出球点A离点O的距离是1 m B．羽毛球横向飞出的最远距离是3 m C．羽毛球最高达到 m D．当羽毛球横向飞出 m时，可到达最高点 【答案】B． 3.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 4.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：    0 1 2 3 0 则该运动员踢出的足球在第 落地． 【答案】 5.如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： (1)出手点A离地面的高度； (2)最高点C离地面的高度； (3)该运动员的成绩是多少米？ 【答案】(1)米 (2)3米； (3)10米． 【详解】（1）解：令中，得， ∴出手点，即出手点离地面高度为米； （2）∵， ∴顶点， 可知最高点离地面高度为3米； （3）令，解得，， ∴， 由此可知该运动员成绩为10米． 学科网（北京）股份有限公司 $