专题10 二项式定理、统计初步与概率-江西省三校生对口升学五年（2022-2026）《数学真题分类汇编》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦中职高考二项式定理、统计与概率专题，汇编2022-2026年江西真题，覆盖排列组合、概率计算等五大考点，以志愿者活动、快递派送等真实情境设计综合题，梯度适配升学备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|7题|排列组合分组、分层抽样、二项分布|2024年T17结合教师年龄分层抽样，考查统计应用| |填空|6题|相邻排列、古典概型、二项式常数项|2025年T30（1）摸球概率，基础计算与逻辑推理结合| |判断|4题|组合数计算、互斥事件、二项式系数|2026年T03以骰子点数判断互斥事件，强化概念辨析| |解答|4题|分布列与期望、频率分布直方图、综合应用|2024年T27志愿者活动统计，2025年T30快递赔偿分布列，突出实际问题解决能力|

专题10 二项式定理、统计初步与概率 二项式定理 1.理解排列与组合的概念，掌握排列数与组合数公式及其性质； 2.理解并掌握二项式定理及其性质。 统计初步与概率 1.了解随机现象和概率的统计定义； 2.掌握统计初步的有关概念及抽样方法； 3.理解并掌握古典概率及n次独立重复试验的概念及概率计算. 考点01 排列、组合 1.（2026·江西·真题T22）有甲、乙、丙、丁、戊 名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有_____种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法求得正确答案. 【详解】依题意，不同的排法有种. 故答案为： 2.（2025·江西·真题T22）由，，，，组成无重复的三位数，奇数共有 个.（用数字作答） 【答案】36 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】根据分步乘法计数原理可得，由，，，，组成无重复的三位数奇数， 第一步，从里选一个数字放到个位上，有3种方法， 第二步，从剩余的4个数字里选一个放到十位上，有4种方法， 第三步，从剩余的3个数字里选一个放到百位上，有3种方法， 故可组成无重复的三位奇数共有个. 故答案为：36. 3.（2024·江西·真题T13）将4个人分成A、B两组，每组2人，不同的分法共有（ ）. A．3种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】B 【解析】4个人平均分成A、B两组，不同的分法有=6种.故选B. 4.（2022·江西·真题T07）现有10名教师，要从中选2名教师去做疫情防控志愿者，则不同的选法有45种 …………………………………………………………………………………………………………（A B） 【答案】A 【解析】依题意有种选法，故选A. 考点02 概率 5.（2026·江西·真题T03）投掷一枚骰子，事件 “面朝上的点数为偶数”与事件 “面朝上的点数小于3”为互斥事件.…...........................................................................................................................................…（A B） 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义分析求解即可. 【详解】事件 包含的点为：2，4，6；事件 包含的点数为1，2， 这两个事件存在相同的点2，因此，事件 与事件 不是互斥事件. 故答案为：B. 6.（2025·江西·真题T30）一个箱子中有个白球，个红球， (1)摸两个球，求恰好有一个红球的概率； (2)有放回摸次球，每次摸一个，求摸到红球个数的分布列及其期望. 【答案】(1). (2)分布列见详解，期望为. 【分析】（）根据题意结合古典概型的性质及组合数的计算即可得解. （）根据题意结合二项分布写出分布列，代入期望公式即可得解. 【详解】（1）一个箱子中有个白球，个红球， 摸两个球，恰好有一个红球的概率为. （2）设摸到红球个数为，则的可能取值为， 一个箱子中有个白球，个红球，每次摸一个球， 则摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， 则；； ；， 所以分布列为： 因为，所以期望为. 7.（2024·江西·真题T24）某年级共有4个班，每个班男女比例均为2：1，现从每个班随机抽取一位同学参加座谈会，则抽到的4位同学中，恰好为两男两女的概率是____________； 【答案】 【解析】每个班男女比例均为2:1，所以每个班男生被抽取的概率均为，从4个班各随机抽取一位同学，可以看成4次的独立重复试验，事件“男生被抽取”两次发生两次不发生，所以恰好为两男两女的概率P=. 8.（2023·江西·真题T19）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则恰有一次正面向上的概率为_______________； 【答案】 【解析】p=. 9.（2022·江西·真题T13）甲、乙两个雷达独立工作，若它们发现目标的概率分别是0.8、0.7，则甲、乙两个雷达都发现目标的概率是…………………………………………………………………………（ ） A．0.24 B．0.14 C．0.56 D．0.94 【答案】C 【解析】甲、乙两个雷达都发现目标的概率是0.8 ×0.7=0.56，故选C. 考点03 二项式定理 10.（2026·江西·真题T09）二项式的二项式系数最大项为……………...................……（A B） 【答案】B 【解析】 【分析】当 为偶数时，得项的二项式系数最大列式计算即可判断. 【详解】已知二项式中 为偶数， 所以第四项的二项式系数最大，即， 故答案为：B. 11.（2025·江西·真题T09）展开式中的常数项为.…………………………………………（A B） 【答案】B 【分析】根据题意，结合二项式展开式的通项公式，即可求解判断. 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 故. 故答案为：B. 12.（2023·江西·真题T23）二项式的展开式中，常数项为___________； 【答案】240 【解析】的展开式中的通项公式为=， 由6-3m=0，得m=2，则常数项为24=240. 13.（2022·江西·真题T23）若，则________________； 【答案】21 【解析】的展开式中的通项公式为=， 由7-m=1，得m=6，则含x的项为=21x，即a1=21. 考点04 统计初步 14.（2026·江西·真题T12）若的算术平均值，则的算术平均值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合平均数公式即可得解. 【详解】因为，所以的算术平均值： ， . 故选：D. 15.（2026·江西·真题T17）若随机变量 服从二项分布，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布计算公式计算出正确答案. 【详解】由已知得，即. 故选：B. 16.（2025·江西·真题T16）某学校共名学生参加职业技能竞赛（满分分），竞赛成绩的频率分布直方图如下图所示，若成绩在的人数为，则（　　）    A．640 B．800 C．960 D．1000 【答案】B 【分析】由频率分布直方图，先求出该次数学成绩在内的频率，由此求出总人数n． 【详解】由频率分布直方图知，组距为5， 则这次数学成绩在内的频率为 ， 所以. 故选：B. 17.（2024·江西·真题T15）为了了解某职业学校师资情况，将全校教师按年龄段分成4组：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，得到频数分布表如下： 年龄段 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60] 教师人数 15 20 15 10 现采用分层抽样的方式抽取若干人进行调查，若在[30，40)，[50，60]两个年龄段中共抽取了6人，则在[50，60]中抽取了几个人（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】[30，40)，[50，60]两个年龄段教师人数比为20:10=2:1，在这两个年龄段中用分层抽样方式抽取6人，[50，60]中应抽取2人.故选B. 18.（2023·江西·真题T13）某班有男生36人，女生18人，采用分层抽样抽取12人，则应抽取的女生人数为………………………………………………………………………………………………………（ ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【解析】根据题意，抽样比例为，则抽取的女生人数为18×=4，故选C. 考点05 综合应用 19.（2024·江西·真题T27）在国际志愿者日（12月5日）即将到来之际，某校于11月5日举办“志愿者活动月”启动仪式.高一年级200名学生积极响应学校倡议，利用课余及节假日时间参加志愿者活动，他们这一个月参加志愿者活动的次数统计如图所示. （1）求该校高一年级学生参加志愿者活动的平均次数； （2）在这 200 名学生中随机抽取2名学生，求他们参加志愿者活动次数恰好相差1次的概率. 【答案】(1)2.1；(2).40 60 100 人数 次数 1 2 3 【解析】(1)该校高一年级学生参加志愿者活动的平均次数为 =2.1； (2)从这200名学生中随机抽取2名学生，共有种抽取方法； 2名学生参加志愿者活动次数恰好相差1次， 即在参加活动分别为1次与2次的志愿者中各抽取一名， 或在参加活动分别为2次与3次的志愿者中各抽取一名， 共有种抽取方法， 故概率P=. 20.（2023·江西·真题T30）顾客甲通过网络平台向水果商乙下单了一批橙子，商家乙通过快递邮寄给顾客甲，并约定两天内到（不含下单当天）.现商家乙在A、B两家快递公司中选择一家派送.对快递公司A、B以往从乙处派送水果各100次到达甲处的收货情况进行统计，得到收货时间的频数如下表： 公司 第一天 第二天 第三天 第四天 A 26 33 21 20 B 15 36 25 24 以下问题以频率代替概率. 通过数据分析，商家乙选择哪家快递公司更为合适； 双方约定：每延迟一天收货，乙须赔偿甲50元.假如乙选择A公司，求赔钱金额（元）的分布列. 【答案】(1)选A公司更为合适；(2)见解析. 【解析】(1)由已知得A公司第一天或第二天送达的概率为P(A)==， B公司第一天或第二天送达的概率为P(B)==， 所以P(A)>P(B)，即商家选A公司更为合适； (2)赔偿金额ξ可能取值分别为0，50，100，则 P(ξ=0)==，P(ξ=50)=，P(ξ=100)=， 所以ξ的分布列为：ξ 0 50 100 P 21.（2022·江西·真题T30）互联网的快速发展给人们的生活带来很多便利，利用网络直播带货就是近年来新兴的一种产品网络直销方式.某西瓜种植户拟采用网络直销方式出售总重为5000kg的一批西瓜，现从中随机抽取50个西瓜，称出它们的重量（单位：kg）得频率分布直方图如图所示. （1）从这批西瓜中随机选取一个，求重量不小于5kg的概率； （2）若网络直销每天可销售200个西瓜，则5天内能否卖完这批西瓜？并说明理由（同一组中的数据以该组区间的中间值为代表） 【答案】(1)0.60；(2)可以卖完，理由见解析. 【解析】(1)解法一：因为(0.16+0.24+0.36+0.16+a)×1=1，所以a=0.08， 所以从样本中抽取的西瓜不小于5kg的概率为：p=0.36×1+0.16×1+0.08×1=0.60； 解法二：从样本中抽取的西瓜不小于5kg的概率为：p=1-(0.16×1+0.24×1)=0.60； (2)样本中各组西瓜的个数分别为0.16×50=8，0.24×50=12，0.36×50=18，0.16×50=8，0.08×50=4， 所以平均每个西瓜的质量数为=5.26kg， 所以5天内可卖出的西瓜质量数为：5.26×200×5=5260 kg, 因为5260>5000，所以5天内可以卖完这批西瓜. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二项式定理、统计初步与概率 二项式定理 1.理解排列与组合的概念，掌握排列数与组合数公式及其性质； 2.理解并掌握二项式定理及其性质。 统计初步与概率 1.了解随机现象和概率的统计定义； 2.掌握统计初步的有关概念及抽样方法； 3.理解并掌握古典概率及n次独立重复试验的概念及概率计算. 考点01 排列、组合 1.（2026·江西·真题T22）有甲、乙、丙、丁、戊 名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有_____种（用数字作答）. 2.（2025·江西·真题T22）由，，，，组成无重复的三位数，奇数共有 个.（用数字作答） 3.（2024·江西·真题T13）将4个人分成A、B两组，每组2人，不同的分法共有（ ）. A．3种 B．6种 C．8种 D．12种 4.（2022·江西·真题T07）现有10名教师，要从中选2名教师去做疫情防控志愿者，则不同的选法有45种 …………………………………………………………………………………………………………（A B） 考点02 概率 5.（2026·江西·真题T03）投掷一枚骰子，事件 “面朝上的点数为偶数”与事件 “面朝上的点数小于3”为互斥事件.…...........................................................................................................................................…（A B） 6.（2025·江西·真题T30）一个箱子中有个白球，个红球， (1)摸两个球，求恰好有一个红球的概率； (2)有放回摸次球，每次摸一个，求摸到红球个数的分布列及其期望. 7.（2024·江西·真题T24）某年级共有4个班，每个班男女比例均为2：1，现从每个班随机抽取一位同学参加座谈会，则抽到的4位同学中，恰好为两男两女的概率是____________； 8.（2023·江西·真题T19）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则恰有一次正面向上的概率为_______________； 9.（2022·江西·真题T13）甲、乙两个雷达独立工作，若它们发现目标的概率分别是0.8、0.7，则甲、乙两个雷达都发现目标的概率是…………………………………………………………………………（ ） A．0.24 B．0.14 C．0.56 D．0.94 考点03 二项式定理 10.（2026·江西·真题T09）二项式的二项式系数最大项为……………...................……（A B） 11.（2025·江西·真题T09）展开式中的常数项为.…………………………………………（A B） 12.（2023·江西·真题T23）二项式的展开式中，常数项为___________； 13.（2022·江西·真题T23）若，则________________； 考点04 统计初步 14.（2026·江西·真题T12）若的算术平均值，则的算术平均值是（ ） A. B. C. D. 15.（2026·江西·真题T17）若随机变量 服从二项分布，则的概率为（ ） A. B. C. D. 16.（2025·江西·真题T16）某学校共名学生参加职业技能竞赛（满分分），竞赛成绩的频率分布直方图如下图所示，若成绩在的人数为，则（　　）    A．640 B．800 C．960 D．1000 17.（2024·江西·真题T15）为了了解某职业学校师资情况，将全校教师按年龄段分成4组：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，得到频数分布表如下： 年龄段 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60] 教师人数 15 20 15 10 现采用分层抽样的方式抽取若干人进行调查，若在[30，40)，[50，60]两个年龄段中共抽取了6人，则在[50，60]中抽取了几个人（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 18.（2023·江西·真题T13）某班有男生36人，女生18人，采用分层抽样抽取12人，则应抽取的女生人数为………………………………………………………………………………………………………（ ） A．2 B．6 C．4 D．8 考点05 综合应用 19.（2024·江西·真题T27）在国际志愿者日（12月5日）即将到来之际，某校于11月5日举办“志愿者活动月”启动仪式.高一年级200名学生积极响应学校倡议，利用课余及节假日时间参加志愿者活动，他们这一个月参加志愿者活动的次数统计如图所示. （1）求该校高一年级学生参加志愿者活动的平均次数； （2）在这 200 名学生中随机抽取2名学生，求他们参加志愿者活动次数恰好相差1次的概率. 20.（2023·江西·真题T30）顾客甲通过网络平台向水果商乙下单了一批橙子，商家乙通过快递邮寄给顾客甲，并约定两天内到（不含下单当天）.现商家乙在A、B两家快递公司中选择一家派送.对快递公司A、B以往从乙处派送水果各100次到达甲处的收货情况进行统计，得到收货时间的频数如下表： 公司 第一天 第二天 第三天 第四天 A 26 33 21 20 B 15 36 25 24 以下问题以频率代替概率. 通过数据分析，商家乙选择哪家快递公司更为合适； 双方约定：每延迟一天收货，乙须赔偿甲50元.假如乙选择A公司，求赔钱金额（元）的分布列. 21.（2022·江西·真题T30）互联网的快速发展给人们的生活带来很多便利，利用网络直播带货就是近年来新兴的一种产品网络直销方式.某西瓜种植户拟采用网络直销方式出售总重为5000kg的一批西瓜，现从中随机抽取50个西瓜，称出它们的重量（单位：kg）得频率分布直方图如图所示. （1）从这批西瓜中随机选取一个，求重量不小于5kg的概率； （2）若网络直销每天可销售200个西瓜，则5天内能否卖完这批西瓜？并说明理由（同一组中的数据以该组区间的中间值为代表） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $