第30卷 三角函数的图像和性质 -考点训练卷 2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的三角函数图像与性质专项，聚焦考点微目标，通过基础辨析、性质应用及综合解答，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像变换|4题（单选1/3/8、填空11）|基础概念辨析|从平移法则到伸缩变换，构建图像变换逻辑链| |性质应用|10题（单选2/4/5/7/9/10、填空12-15）|性质综合运用|周期、单调性、最值概念生成与推导应用| |综合解答|4题（解答16-19）|多性质综合应用|图像与性质结合，提升解析式确定及问题解决能力|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第30卷 三角函数的图像和性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据题意利用函数图像的变换规律即可得解. 【详解】函数， 所以只需将函数的图像向右平移个单位长度，即可得到函数的图象， 故选：. 2．函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先确定的取值范围，再根据正弦型函数的性质求解. 【详解】已知，则， 所以，当，即时，取最大值， 从而函数取得最小值. 故选：A. 3．可以由平移得到的方式是（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】D 【分析】利用诱导公式将函数化成，结合图像平移的规则即可得解. 【详解】因为， 所以将其向右平移个单位，得到， 故选：. 4．若函数（）的最小正周期为，则函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期确定其解析式，进而确定对称轴即可； 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，即， 所以，令，即， 所以函数的对称轴方程为. 故选：C 5．函数（，）的部分图像如图所示．则函数的单调递增区间为（     ）    A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】根据题意结合正弦型函数的性质求出函数解析式，利用正弦型函数的单调性即可得解. 【详解】由图像可知，，解得， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 此时函数， 将代入函数解析式中得，即， 解得，因为，所以， 所以函数解析式为， 令，解得， 所以单调递增区间为（）， 故选：. 6．函数在一个周期内的图像如图所示，则此函数解析式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合正弦型函数的性质求出的值即可得解. 【详解】由图像可知，，，所以， 将代入得, 即，解得， 因为，所以， 故. 故选：. 7．函数的最大值和最小正周期分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的性质即可得解. 【详解】， 所以该函数的最大值是，最小正周期是， 故选：. 8．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据正弦型函数图象的平移规律求解即可. 【详解】对于A，的图像向左平移个单位，得，故A错误； 对于B，的图像向右平移个单位，得，故B错误. 对于C，的图像向左平移个单位，得，故C正确； 对于D，的图像向右平移个单位，得，故D错误. 故选：C. 9．已知函数，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换得，利用正弦函数的单调性逐项判断即可. 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 10．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，作出的图象，数形结合可得答案. 令，由，得：， 原题转化为在上的值域为， 作出的图象， 由，结合图象， 可得：， 解得：. 故选：C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为__________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的平移伸缩变换规则求解即可. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得，再左移变为  . 故答案为：. 12．函数的初相位为 _________ 【答案】 【分析】根据初相位的概念即可得解. 【详解】函数的初相位为. 故答案为：. 13．函数（其中）的最大值是，最小值是，则______. 【答案】3 【分析】根据正弦函数的值域以及最值列方程求解. 【详解】根据正弦函数的性质可知，对于任意实数，的值域是， 因为， 所以当取最大值时，函数取得最大值， 即①， 当取最小值时，函数取得最小值， 即②， 联立①②解得 故答案为：3. 14．函数的最小正周期是__________. 【答案】 【分析】先由辅助角公式化简函数，再由函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】函数，其中， 则该函数的 最小正周期为. 故答案为：. 15．函数的值域是__________. 【答案】 【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的性质求出值域. 【详解】由题意可知， 因为，所以， 所以，则， 所以该函数的值域是. 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为. (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（）利用二倍角公式，辅助角公式将函数进行化简，结合正弦型函数的性质即可得解. （）根据正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）函数， 所以最小正周期为， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为， 当时，. 当，即时，函数取最大值为； 当，即时，函数取最小值为， 所以最大值为2，最小值为. 17．函数的最大值为3，最小值为，先求出的值并写出函数的解析式. 【答案】， 【分析】根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以当时，取最大值， 此时函数的最大值为， 当时，取最小值， 此时函数的最小值为， 即， 所以函数解析式为. 18．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为0 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系，二倍角的正弦公式，以及两角和的正弦公式，结合正弦函数周期公式即可求解. （2）根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）得，，当时，则， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 则当，即时，取最大值； 当时，，当时，， 所以当，即时，取最小值0. 综上，在上的最大值为，最小值为0. 19．函数（，，）在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最值和周期分别求出A和，根据函数经过定点求出的值，进而得函数的解析式． （2）根据正弦函数的单调性，令，解不等式可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以，，则. 因为点在此函数图象上， 所以，即. 又因为，所以， 从而，解得， 所以； （2）当，， 即，时，函数单调递增. 所以此函数的单调递增区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第30卷 三角函数的图像和性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 3．可以由平移得到的方式是（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．若函数（）的最小正周期为，则函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 5．函数（，）的部分图像如图所示．则函数的单调递增区间为（     ）    A．（） B．（） C．（） D．（） 6．函数在一个周期内的图像如图所示，则此函数解析式为（   ）    A． B． C． D． 7．函数的最大值和最小正周期分别是（    ） A． B． C． D． 8．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．已知函数，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 10．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为__________. 12．函数的初相位为 _________ 13．函数（其中）的最大值是，最小值是，则______. 14．函数的最小正周期是__________. 15．函数的值域是__________. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的最大值和最小值. 17．函数的最大值为3，最小值为，先求出的值并写出函数的解析式. 18．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 19．函数（，，）在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $