第45卷 椭圆方程与性质 -考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦椭圆方程与性质基础考点，以三阶递进训练体系中的基础层为核心，通过选择、填空、解答题梯度覆盖定义、标准方程、离心率等核心知识，强化概念生成与性质应用逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4、填空12-13|直接考查焦距、标准方程求解，依托定义与a,b,c关系|椭圆定义→标准方程→基本量（a,b,c）关系生成| |性质应用|选择5-8、填空11|结合离心率、焦点三角形面积，需推理a,b,c数量关系|基本量→离心率→焦点三角形性质拓展| |综合应用|选择9-10、填空14-15、解答16-21|涉及直线与椭圆位置关系、弦长、面积最值，需联立方程建模|性质应用→直线与椭圆位置关系→综合问题（弦长/面积）解决|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第45卷 椭圆方程与性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆的焦距为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 2．椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或6 3．已知椭圆的两焦点分别为，，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，则该椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 4．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6．椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（ ） A．4 B． C．8 D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为（ ） A．3 B．5 C． D． 9．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ） A． B． C． D． 10．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知椭圆的离心率为，则_____． 12．已知椭圆方程是，则椭圆的长轴长为_______短轴长为 _____ 13．若椭圆焦点在轴上，长半轴长和短半轴长之和为，焦距为，则椭圆的方程为______ 14．直线与椭圆的位置关系是_____________． 15．椭圆 的弦中点为，则直线的方程___ 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知椭圆方程：求： (1)焦点坐标； (2)长半轴a、短半轴b； (3)焦距和离心率． 17．已知椭圆  的长轴长为4，离心率 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线  与椭圆交于不同的两点 ，若线段的中点横坐标为 ，求实数的值. 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，为椭圆上的动点，当的周长最小时，求面积． 19．如图所示，已知椭圆的焦距为，长轴长为，且直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆上异于，两点的动点，连接，．求：    (1)椭圆的标准方程； (2)弦的长； (3)的面积的最大值． 20．如图所示，已知椭圆的离心率为，椭圆的任意三个顶点构成的三角形的面积是，直线交椭圆于不同的两点A，B．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的值（点为坐标原点）. 21．如图所示，已知椭圆C：的左、右焦点为，且，点A为椭圆C的上顶点，连接并延长交椭圆C于另一点B，连接，为等边三角形．求：      (1)椭圆C的标准方程； (2)△的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第45卷 椭圆方程与性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆的焦距为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意结合椭圆方程求出值即可得解. 【详解】椭圆，则，， ，解得，所以焦距为， 故选：. 2．椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或6 【答案】D 【分析】根据椭圆焦点位置的不同，结合椭圆中、、的关系以及焦距公式来求解的值. 【详解】设为半焦距， 已知椭圆焦距为，则，可得. 对椭圆分两种情况讨论： 当焦点在轴上时，满足，，， 由可得，即， 当焦点在轴上时，满足，，， 由可得，即， 综上，的值为4或6， 故选：D. 3．已知椭圆的两焦点分别为，，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，则该椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴上，结合椭圆定义求出的值，再利用椭圆参数关系求出，即可得到椭圆标准方程 【详解】已知椭圆的两焦点分别为，， 则椭圆焦点在轴上，且， 设椭圆的标准方程为， 因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 所以，， 所以该椭圆的标准方程是， 故选：A. 4．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义判断出动点的轨迹形状，再结合条件即可求出椭圆的标准方程. 【详解】已知，，则， 又因为动点到两点距离之和为，且， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设椭圆的标准方程为（）， 则，解得，椭圆的半焦距， 可得， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 5．已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由方程得， 的周长为， . 故选：D. 6．椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入离心率公式即可得解. 【详解】椭圆，则，， 则，即， 所以离心率为， 故选：. 7．已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由条件列出离心率得到方程，求解得，即得其短轴长. 由知，离心率为， 解得，，故短轴长为. 故选：B. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为（ ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和勾股定理计算求得，再由三角形面积公式计算即可. 由椭圆的定义可知，，且，因为， 所以，又， 故，所以. 故选：A. 9．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解. 解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，， 故选:C. 10．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知椭圆的离心率为，则_____． 【答案】2 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，表示出离心率，继而求解. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，所以离心率， 即，解得（负值舍）. 故答案为：2. 12．已知椭圆方程是，则椭圆的长轴长为_______短轴长为 _____ 【答案】 【分析】先将椭圆的一般方程化为标准方程，确定焦点位置，求出参数的值，再分别计算长轴长和短轴长. 【详解】已知椭圆方程是，即. 则该椭圆的焦点在轴上，可得，. 由，，解得，，所以长轴长为，短轴长为. 故答案为：. 13．若椭圆焦点在轴上，长半轴长和短半轴长之和为，焦距为，则椭圆的方程为______ 【答案】 【分析】由题意设出椭圆方程，由条件列方程组求出，结合焦点的位置写出椭圆的方程即可求解. 【详解】由题意可设椭圆方程为 ， 由题意可得，解得，因此椭圆方程为. 故答案为：. 14．直线与椭圆的位置关系是_____________． 【答案】相切 【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为，进而得到直线与椭圆的位置关系. 由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为， 所以直线与椭圆相切. 15．椭圆 的弦中点为，则直线的方程___ 【答案】 【分析】设以点为中点的弦与椭圆交于，由点差法可得斜率，再根据直线的点斜式方程可求解. 【详解】设以点为中点的弦与椭圆交于， 则， 分别把代入椭圆方程，可得 ，两式相减，可得， 所以， 所以直线的斜率：， 所以直线的方程为，即为所求. 故答案为：. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知椭圆方程：求： (1)焦点坐标； (2)长半轴a、短半轴b； (3)焦距和离心率． 【答案】(1) (2) 长半轴，短半轴 (3) 焦距，离心率 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出，进而求出，进而得到焦点坐标. （2）根据（1）求出即可. （3）根据椭圆离心率以及焦距公式求解即可. 【详解】（1）已知椭圆方程，则，且焦点在轴上， 则， 因此焦点坐标为. （2）已知，则， 因此长半轴，短半轴. （3）焦距，离心率为. 17．已知椭圆  的长轴长为4，离心率 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线  与椭圆交于不同的两点 ，若线段的中点横坐标为 ，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴定义，离心率公式即可求解. （2）根据联立椭圆与直线方程，结合韦达定理，中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，，解得  ， 又 ，解得 .    因为 ， 所以椭圆方程为 . （2）联立方程组  ，消去得 ， 即，则 . 因为直线与椭圆交于不同的两点，所以， 解得， 设 ，由韦达定理得 ， 因为中点横坐标为 ，所以， 所以 ，符合题意. 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，为椭圆上的动点，当的周长最小时，求面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由焦距得出的值，再由椭圆过点得出的值，再由之间的关系确定的值即可. （2）根据椭圆的定义得出点在的延长线上时，的周长最小，再由点斜式写出直线的方程，并与椭圆方程联立求出点的纵坐标，再由求值即可. 【详解】（1）已知椭圆， 有，所以， 因为椭圆经过点，所以， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）因为为定值， 所以当最小时，的周长最小， 又 ， 当且仅当点在的延长线上时等号成立， 于是点的纵坐标， 由（1）可知焦点， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 与椭圆的方程联立，得，即， 整理得， 解得（舍去）或，即的纵坐标为， 所以 ．    19．如图所示，已知椭圆的焦距为，长轴长为，且直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆上异于，两点的动点，连接，．求：    (1)椭圆的标准方程； (2)弦的长； (3)的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质求出的值即可得解. （）联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. （）根据题意平移直线，当直线与椭圆相切时，切点为点，此时的三角形面积最大，根据切线的性质求出，利用点到直线的距离公式及三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆的焦距为，长轴长为，，， ，，即， ∴椭圆的标准方程为． （2）联立方程组，解得 ，， 令， ． （3）令与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为， 联立方程组， 消去，化简并整理得． 令，解得． 又∵当的面积最大时，边上的高即为直线与直线的距离， 的面积的最大值为． 20．如图所示，已知椭圆的离心率为，椭圆的任意三个顶点构成的三角形的面积是，直线交椭圆于不同的两点A，B．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的值（点为坐标原点）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的离心率及椭圆的任意三个顶点构成的三角形的面积列式求解即可； （2）联立直线与椭圆的方程结合向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）由题意可知 解得 所以椭圆的标准方程是. （2）设直线与椭圆的两个交点为，， 则整理得. 由根与系数的关系得， 又因为， ，又因为， 所以，即，解得. 又因为， 当时，，所以. 21．如图所示，已知椭圆C：的左、右焦点为，且，点A为椭圆C的上顶点，连接并延长交椭圆C于另一点B，连接，为等边三角形．求：      (1)椭圆C的标准方程； (2)△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距求出，由等边三角形性质求出，再根据关系求出，即可求得椭圆方程. （2）由两点坐标求出直线方程，联立直线与椭圆方程求出交点的横坐标，再根据弦长公式求出，再代点到直线距离公式求出三角形的高，即可求面积. 【详解】（1）∵，∴． ∵△为等边三角形，∴， ∴． ∴椭圆C的标准方程为． （2）由题意，， 则直线的斜率为：，纵截距为， 故直线的方程为， 联立消去y并整理得，解得， ∴弦长， ∵右焦点到直线：的距离为： ， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $