第43卷 直线与圆的位置关系 -考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系，以三阶递进体系中的基础层考点训练为核心，通过从概念判定到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题|直接判断位置关系|从定义出发，通过点与圆心距离、圆心到直线距离判定位置| |核心应用|9题|结合几何性质与代数运算|位置关系判定→距离公式→勾股定理求弦长、参数范围| |综合拓展|9题|多知识点综合及动态问题|单一位置关系→点线距离最值→轨迹方程，体现方程思想|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第43卷 直线与圆的位置关系 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．点与圆的位置关系是（   ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交过圆心 C．相交不过圆心 D．相切 3．直线被圆截得的弦长等于（    ）． A． B．2 C． D．1 4．直线与圆有交点，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．若过点的直线与圆相切，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 6．若直线被圆截得的弦长为，则实数等于（   ） A．或2 B．或 C．2 D．或 7．已知圆与直线相切，且经过坐标原点和，则圆的半径为（ ） A． B． C． D． 8．已知点P为圆上的一个动点，则点P到直线的最大距离为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 9．已知点P在圆上，则点P到直线的最小距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．直线与圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．圆心为且与直线相切的圆的标准方程为________． 12．已知圆与直线的相交弦长是，则圆的半径是______． 13．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程为__________. 14．直线与圆相交截得的弦长为________. 15．直线和圆的位置关系是______. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知点在圆：上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长； (3)求过点的圆的切线方程． 17．已知圆：，直线：. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程. 18．如图所示，圆，直线的斜率，且直线与圆相切，求：    (1)圆的圆心坐标和半径； (2)直线的方程. 19．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与直线平行，且直线被圆所截得的弦长，求直线的方程． 20．已知圆，圆． (1)求圆与圆的公共弦长； (2)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，，求线段的中点的轨迹方程． 21．已知直线与圆：相交于、两点，且线段的中点为． (1)求直线的方程； (2)若点为直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，当取最小值时，求的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第43卷 直线与圆的位置关系 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．点与圆的位置关系是（   ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点代入圆的方程中即可判断点与圆的位置关系. 【详解】将点代入圆中， 得，所以点在圆外， 故选：A. 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交过圆心 C．相交不过圆心 D．相切 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，再与半径进行比较即可判断其位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径. 直线的一般式为. 圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交且不过圆心. 故选：C. 3．直线被圆截得的弦长等于（    ）． A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，最后代入弦长公式求解即可. 【详解】因为圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离为： ， 所以直线被圆截得的弦长. 故选：C. 4．直线与圆有交点，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线与圆有交点，根据圆心到直线的距离小于等于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离d满足： ，化简得：， 解得：，所以实数m的取值范围是. 故选：A 5．若过点的直线与圆相切，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定点在圆上，再由圆的方程确定圆心，再由切线与圆心切点所连的直线垂直即可求出切线方程. 【详解】已知点，圆，由得， 点在圆上，且该圆的圆心为， 则，所以， 解得，则切线方程为， 整理得， 故选：A. 6．若直线被圆截得的弦长为，则实数等于（   ） A．或2 B．或 C．2 D．或 【答案】A 【分析】根据弦长求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 已知直线被圆截得的弦长，所以，解得圆心到直线距离. 因此，解得. 因此实数等于或2. 故选：A. 7．已知圆与直线相切，且经过坐标原点和，则圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆过点且与直线相切，求出直线，设出圆心坐标，结合原点和，求出圆心即得半径即可. 【详解】因为点在直线上，则点A为切点， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 将点代入可得，， 则直线方程为， 所以圆心落在直线上，设圆心为， 又圆过和， 所以， 即，可得，解得， 所以圆心为， 所以半径． 故选：C. 8．已知点P为圆上的一个动点，则点P到直线的最大距离为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】先求出圆心坐标和半径，再计算圆心到直线的距离，最后根据圆的性质求出点到直线的最大距离. 【详解】因为圆即，则圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故圆上一点P到直线的最大距离为. 故选：D． 9．已知点P在圆上，则点P到直线的最小距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，先求解圆心和半径，再结合圆上的点到直线的最小距离为点到直线的距离减去半径求解即可. 【详解】圆的标准方程，圆心，半径， 圆心到直线距离， 最小距离为. 故选：B. 10．直线与圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较大小判断直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆可知圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 又，所以直线与圆相交， 所以直线与圆的交点个数为2. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．圆心为且与直线相切的圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出半径即可得解. 【详解】圆心为的圆与直线相切， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 故答案为：. 12．已知圆与直线的相交弦长是，则圆的半径是______． 【答案】4 【分析】由圆的方程得到圆心和半径，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可得解. 【详解】由圆可知，圆心， 且，即， 因为圆心到直线距离， 由题可得：，解得. 故答案为：4 13．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程为__________. 【答案】 【分析】根据过圆内一点的最短弦与过此点的直径垂直，由两直线垂直斜率的关系求出最短弦所在直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程. 【详解】已知圆的方程为，即， 由此可知圆心的坐标为， 设点，因为，所以点在圆内， 圆心与点连线的斜率为， 因为过圆内一点的最短弦与过该点的直径垂直，设最短弦所在直线的斜率为， 则，即，解得， 故最短弦所在直线方程为，即. 故答案为：. 14．直线与圆相交截得的弦长为________. 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得解. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 故所求弦长为. 故答案为：. 15．直线和圆的位置关系是______. 【答案】相交 【分析】先求得直线所过定点，结合该定点与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】直线过定点， 圆，即，圆心，半径为1， 由得在圆上， 所以直线与圆相交或相切， 若直线与圆相切，由于圆心，半径为1，直线定点， 可得直线方程为，这与直线的斜率存在相矛盾，不合题意，舍去， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知点在圆：上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长； (3)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径长为2 (2) (3)或 【分析】（1）将已知点代入圆的方程，求出，将圆的方程化为标准方程后可得结果； （2）由点斜式写出直线方程，并求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式可求结果； （3）分切线斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【详解】（1）因为点在圆：上， 所以，解得， 所以该圆的方程为， 化为标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为2； （2）因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以； （3）当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线， 此时圆心到直线的距离，解得， 则直线方程为，即. 综上，切线方程为或． 17．已知圆：，直线：. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程. 【答案】(1)或2 (2)或 【分析】（1）根据圆的一般方程求得圆心与半径，由直线与圆相切的关系，结合点到直线的距离公式即可求解. （2）根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）由圆得，圆心为，即， 半径， 设直线到圆心距离为，则， 因为直线与圆相切，所以，即， 解得或，所以当或时，直线与圆相切. （2）由（1）可知直线到圆心距离为， 直线与圆相交于，两点，且， 由弦长公式可知，， 则，解得或， 直线的方程为或. 18．如图所示，圆，直线的斜率，且直线与圆相切，求：    (1)圆的圆心坐标和半径； (2)直线的方程. 【答案】(1)圆心，半径为. (2)或. 【分析】（1）根据圆的标准方程即可求解. （2）设直线方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】（1）由圆的方程可知圆心坐标为，半径为. （2）因为直线的斜率， 设直线的方程为，即 圆心到直线的距离为：， 因为直线与圆相切，所以，即，解得或， 所以直线的方程为或. 19．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与直线平行，且直线被圆所截得的弦长，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆心坐标，再根据圆的定义列方程求解即可. （2）根据两直线平行，设出直线的方程，再根据圆的弦长公式求解即可. 【详解】（1）因为圆心在轴上，所以设圆的圆心为 又因为圆经过坐标原点和点，则，解得， 因此圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. （2）因为直线与直线平行，设直线为， 因为直线被圆所截得的弦长， 所以由弦长公式，解得 因此圆心为到直线：的距离为， 解得或， 故直线为或. 20．已知圆，圆． (1)求圆与圆的公共弦长； (2)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)，其中 【分析】（1）先求出两圆的公共弦所在直线方程及圆的圆心和半径，然后利用弦长公式求解； （2）设直线的方程为，与圆的方程联立，根据根与系数的关系，可得线段的中点的轨迹的参数方程，消去可得点的轨迹方程. 【详解】（1）已知圆，圆， 两式相减得：， 化简可得：，此即为两圆的公共弦所在直线方程， 将圆的方程可化为， 所以圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以圆与圆的公共弦长. （2）圆的圆心，半径， 若直线的斜率不存在，其方程为， 圆心到直线的距离为，大于，此时与圆不相交，不舍题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为，，，， 将直线与圆的方程联立，可得． 因为直线与圆相交，则， 即，解得， 由根与系数的关系可得， 所以． 线段的中点的轨迹的参数方程为， 消去得， 因为，则，即． 因此线段的中点的轨迹方程为，其中．    21．已知直线与圆：相交于、两点，且线段的中点为． (1)求直线的方程； (2)若点为直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，当取最小值时，求的大小． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据切线的性质及两条直线垂直斜率的关系求出直线的斜率，结合点斜式方程即可得解. （）根据切线的性质得出时，取最小值，结合点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，求出即可得解. 【详解】（1）圆：，圆心坐标为，半径， 因为是弦的中点，则， ，所以， 所以直线方程为，化为一般式为. （2）由切线性质可知，，因此， 当时，取最小值， 此时圆心到直线的距离， 此时在中，，，， 因为为锐角，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $