第44卷 直线与圆的位置关系 -考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的直线与圆方程专项突破，聚焦考点微目标拆解与综合应用，强化几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|点与圆位置关系、直线与圆位置关系判断、距离最值|从基础概念到位置关系判定，形成“概念-判定-计算”逻辑链| |填空题|5题|弦长计算、对称问题、距离最小值|强化公式应用与几何转化，衔接选择与解答题| |解答题|6题|切线方程、相交弦长、综合应用|整合方程求解与几何性质，体现模型意识与推理能力递进|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第44卷 直线与圆的方程 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．点与圆的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径. 则圆心到点的距离为， 因此点P在圆外. 故选：B. 2．已知圆，直线，则直线和圆的位置关系为（   ）． A．相切 B．相离 C．相交过圆心 D．相交不过圆心 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后与半径比较即可. 【详解】因为圆，所以其圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因为，所以直线和圆的位置关系为相离. 故选：B. 3．直线与圆相交于，两点，则等于（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，最后结合弦长公式计算弦长即可. 【详解】圆的标准方程，所以圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离. 因此. 故选：D. 4．圆上的点到直线的距离最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】圆化为标准方程为，则圆的圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离最大值为. 故选：A. 5．已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，再点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆可化为，因此圆心为. 圆心到直线的距离. 因为，所以，进而. 故选：C. 6．已知直线是圆的切线，则实数的值是（    ） A．1或3 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，列方程可求解. 【详解】将圆配方，可得， 所以圆心坐标为，半径. 由题可知，圆心到直线的距离， 即，解得或. 故选：C. 7．圆截直线所得的弦长为8，则的值是（    ） A．10 B．或 C．5或 D． 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准方程确定圆心和半径，再由弦长公式列方程求解即可. 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心是，半径是5， 圆心到直线的距离是， 因为截得的弦长为8，所以， 即，得， 解得或. 故选：B. 8．若直线与圆相切，则等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径，利用相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆，则圆心坐标为，半径为， 直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得， 又，所以， 故选：C． 9．若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 10．已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】首先求得圆心到直线的距离为，结合图像由题意可知. 【详解】圆圆心， 则圆心到直线的距离， 要想圆上到直线的距离为的点恰有一个， 由图得：. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．直线与圆的位置关系是______.（填“相交、相切或相离”） 【答案】相交 【分析】根据题意，结合圆的标准方程求得圆心坐标和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可判断求解. 【详解】因为圆，所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离为，所以， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交. 12．圆截直线所得的弦长是_______. 【答案】/ 【分析】先根据圆的方程得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离，即可求解弦长. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 13．圆与圆关于直线对称，则实数的值为________． 【答案】 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，结合对称的关系即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆的圆心坐标为， 所以与关于直线对称， 则两个圆心的中点在直线上， 即在直线上，，解得， 故答案为：. 14．圆上的点到直线的距离的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】结合圆的方程求出圆心和半径，进而求出圆心到直线的距离，圆上一点到直线的最小距离为圆心到该直线的距离与圆半径之差. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离最小值，等于圆心到直线的距离减去圆的半径， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 15．过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为__________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，直线经过圆的圆心，且过点，利用斜率公式求解直线的斜率. 【详解】圆的标准方程为， 其圆心为，半径， 过点的直线被圆截得的弦长为2， 则直线经过圆的圆心， 故直线的斜率. 故答案为：. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知圆直线 (1)若直线与圆相交于两点，且，求实数的值； (2)过点 作圆的切线，求切线方程. 【答案】(1) 或 (2) 和 【分析】（1）根据圆的弦长公式，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得解； （2）分两种情况，当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出直线方程；当直线斜率不存在时，检验也符合题意. 【详解】（1）由可知，圆心，半径， 由弦长公式：，则 ， 因为圆心到直线的距离为：， 所以， 解得或； （2）设切线斜率为，则切线方程为：， 由题可知，圆心到切线的距离等于半径3， 即， 解得，即切线方程为. 当斜率不存在时，过的直线方程为也符合题意. 综上所述，切线方程为和. 17．已知圆的圆心坐标为，且圆经过坐标原点，直线的斜率为，且过点． (1)求圆的标准方程与直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系．若相离，写出圆上的点到直线的最短距离；若相交，求出相交弦的长度． 【答案】(1)圆的标准方程为，直线的方程为； (2)直线与圆相交，相交弦的长度为10 【分析】（1）通过两点间距离公式求圆的半径，进而得到圆的标准方程，利用点斜式求解直线的方程， （2）计算圆心到直线的距离与半径比较判断位置关系，进而求解对应弦长. 【详解】（1）已知圆心，因为圆经过原点， 可得半径， 所以圆的标准方程为. 已知直线的斜率为，且过点， 可得直线的方程为：，即. （2）圆心到直线：的距离， 因为，所以直线与圆相交. 相交弦的长度. 18．如图，已知点及圆，求： (1)圆的圆心坐标与半径； (2)过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为2 (2)或 【分析】（1）由圆的一般方程直接得出圆的圆心坐标与半径； （2）由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，由此列方程求解. 【详解】（1）由得，，， 圆心坐标为， 半径. （2）①当切线斜率存在时，设斜率为， 则过点的切线方程为，整理得， 由圆心到切线的距离等于半径得， ， 等式两边平方得， 整理得，解得， 切线方程为，整理得， ②当切线斜率不存在时，， 圆心到的距离为，等于半径，满足题意， 综上，切线方程为或. 19．已知圆C的圆心在直线上，且过圆C上一点M的切线方程为. (1)求圆C的方程； (2)设过点M的直线l与圆C交于另一点N，以MN为直径的圆过原点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系，求出过点M的直径所在直线方程，将之与联立，可得圆心坐标，进而求出半径，据此可得解； （2）由题可得，据此求出直线ON方程，将之与圆的方程联立，可得N点坐标，再利用点斜式方程可求解. 【详解】（1）因为过圆C上一点的切线方程为， 所以过点M的直径所在直线方程为：. 由，可得， 所以圆心坐标为，， 所以圆C的方程为； （2）因为以MN为直径的圆过原点，所以． 又，直线ON方程为. 由，可得,即N点坐标为， 所以，直线MN方程为， 即直线l的方程为. 20．已知圆，直线l过定点． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆C相交于两点，求面积的最大值及取得最大值时直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，结合圆的标准方程求得圆心和半径，分类讨论切线斜率是否存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径，即可求得斜率，继而求解； （2）根据题意，先表示出圆心到直线的距离，结合三角形面积公式表示出面积，结合正弦函数的值域，即可求得面积的最大值，继而求得取最大值时圆心到直线的距离，结合距离即可求得直线的斜率，继而求解. 【详解】（1）因为圆的圆心坐标为，半径， 当直线l的斜率存在时，设方程为，即， 又直线l与圆C相切，所以圆心到直线l的距离， 解得，所以切线方程为，即； 当直线l的斜率不存在时，过点的直线方程为， 此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 综上，直线l的方程为或； （2）    由（1）知，当点的直线斜率不存在时，直线与圆C相切， 又直线l与圆C相交于两点，故直线l与的斜率一定存在， 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 又面积， 故当，即时，面积取得最大值2， 此时，圆心到直线l的距离，故， 解得或， 所以直线l的方程为或. 21．已知过点且斜率为的直线与圆交于两，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系分析求解即可； （2）设，，将直线和圆的方程联立方程组，得到的值，再结合向量的坐标表示，求出的值，最后利用直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】（1）因为直线过点且斜率， 所以直线的方程为，即， 又因为圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交，所以，即， 解得：， 所以的范围是. （2）设，， 将直线代入圆方程得：， 所以，， 所以， 又因为， 所以，解得：， 所以直线的方程为，当时，，即圆心在直线上， 所以直线过圆心，即两点间的距离就是圆的直径， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第44卷 直线与圆的方程 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．点与圆的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内 D．不能确定 2．已知圆，直线，则直线和圆的位置关系为（   ）． A．相切 B．相离 C．相交过圆心 D．相交不过圆心 3．直线与圆相交于，两点，则等于（     ） A．1 B． C． D． 4．圆上的点到直线的距离最大值是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线是圆的切线，则实数的值是（    ） A．1或3 B．1或 C．或3 D．或 7．圆截直线所得的弦长为8，则的值是（    ） A．10 B．或 C．5或 D． 8．若直线与圆相切，则等于（   ） A． B． C．2 D． 9．若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A．1 B． C． D． 10．已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（ ） A． B． C．2 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．直线与圆的位置关系是______.（填“相交、相切或相离”） 12．圆截直线所得的弦长是_______. 13．圆与圆关于直线对称，则实数的值为________． 14．圆上的点到直线的距离的最小值为_____． 15．过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为__________． 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知圆直线 (1)若直线与圆相交于两点，且，求实数的值； (2)过点 作圆的切线，求切线方程. 17．已知圆的圆心坐标为，且圆经过坐标原点，直线的斜率为，且过点． (1)求圆的标准方程与直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系．若相离，写出圆上的点到直线的最短距离；若相交，求出相交弦的长度． 18．如图，已知点及圆，求： (1)圆的圆心坐标与半径； (2)过点且与圆相切的直线方程. 19．已知圆C的圆心在直线上，且过圆C上一点M的切线方程为. (1)求圆C的方程； (2)设过点M的直线l与圆C交于另一点N，以MN为直径的圆过原点，求直线l的方程. 20．已知圆，直线l过定点． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆C相交于两点，求面积的最大值及取得最大值时直线l的方程. 21．已知过点且斜率为的直线与圆交于两，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $