3.5共点力的平衡 课时3 动态平衡问题（举一反三·讲义）物理人教版必修第一册

本讲义聚焦共点力平衡中的动态平衡问题，作为共点力平衡知识的延伸，通过图解法、解析法、相似三角形法构建学习支架，帮助学生掌握力的大小与方向随条件缓慢变化的规律。含知识框架图辅助梳理脉络。 资料以摩天轮、起重机等生活情景导入，激发科学探究兴趣，结合例题与变式题，通过模型建构和科学推理培养科学思维，课后作业覆盖多种情境，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

· 3.5共点力的平衡 · 课时3 动态平衡问题 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 当你乘坐摩天轮缓缓升空时，为什么无论座舱转到哪个位置，你都能安稳地坐着，而不会感觉被甩来甩去？当起重机吊着沉重的货物在空中平移时，货物为何能始终保持平稳，不发生晃动？为什么缓慢拉动一个悬挂的重物时，连接它的绳子拉力会随着角度的变化而改变？ 这些看似平常的现象，都涉及物理学中一个非常重要的模型——动态平衡。 在这些问题中，物体虽然位置在缓慢地移动，但在每一个瞬间，它都可以被看作是静止的。那么，在这种“动中有静”的状态下，物体所受的力之间究竟遵循着怎样的规律？当某个条件（如角度、位置）发生改变时，其他力的大小和方向又会如何随之变化？这就是我们本节课要探究的核心问题。 一、动态平衡 平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型 二、解决动态平衡问题的三种常用方法 1．用图解法解决动态平衡问题 物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。 (1）先画出大小、方向都不变的恒力； (2）再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些； (3）明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。 注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。 例题1、如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为θ，下列说法正确的是（     ） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为Gcosθ B．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 C．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为Gcosθ D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 变式1-1、如图所示，一艘无动力货轮C被两艘拖船A、B拉着在平静水面上沿虚线方向前行，两缆绳保持水平，拖船B的缆绳与货轮前进方向的夹角始终为30°，拖船A的缆绳与货轮前进方向的夹角为θ。已知货轮运动时所受阻力的大小f与运行速度的大小v的关系满足，其中。要保证货轮以5m/s的速度匀速前进且要求拖船A缆绳拉力最小，则此时θ及拖船A缆绳拉力大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 变式1-2、如图所示，轻质细杆上端用铰链固定在水平天花板上，下端连接一质量为m的小球。现用一方向始终与水平方向成θ角的力F缓慢拉小球，使轻杆由竖直位置逆时针缓慢转动到水平位置。此过程中轻杆对小球的作用力最小值为（     ） A．mg B．mgcosθ C．mgsinθ D．mgtanθ 变式1-3、如图所示，倾角为30°的光滑斜面静止在水平面上，现用轻绳通过小滑轮拉住质量为m的小球（小球可看成质点），初始时刻绳与竖直方向的夹角为30°，若用拉力F缓慢移动绳的端点使小球往上移动，移动到斜面顶端。此过程中拉力F的最小值为（       ） A． B．mg C． D． 2．用解析法解决动态平衡问题 解析法(数学方法）分析动态平衡问题的步骤： (1）对物体受力分析； (2）列平衡方程写出各个力之间关系的解析式； (3）根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。 例题2、消毒碗柜的金属碗架可以将碗放置于两条金属杆之间，如图甲所示。假设碗竖直放置，取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是（     ） A．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力小于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 B．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 C．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小 D．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变 变式2-1、小明在假期中去野营，如图甲所示，他将吊床的拉索固定在两棵树等高的位置上，有时他躺在吊床上休息，有时又坐在吊床中点处看书。模型简化如图乙所示，两种状态下吊床的长度视为不变，小明均处于静止且未与地面接触，下列说法正确的是（     ） A．小明躺着时受到吊床的合力小于坐着时受到吊床的合力 B．小明躺或坐，拉索的拉力大小相等 C．小明坐着时，拉索的拉力较大 D．小明躺着时，拉索的拉力较大 变式2-2、如图所示，甲、乙两人站在水平地面上，光滑圆环套在不可伸长的轻绳上，圆环下端吊一重物。两人缓慢放绳，在重物竖直向下移动一小段距离的过程中（    ） A．地面对甲的支持力保持不变 B．地面对甲的支持力逐渐变大 C．地面对乙的摩擦力保持不变 D．地面对乙的摩擦力逐渐变大 变式2-3、公园内儿童游乐设施拱形桥的截面示意图如图所示，可简化为以点为圆心的圆弧，为桥面最高点，在同一水平面上。一质量为的儿童（可视为质点）从点开始沿桥面缓慢移动至点，图中、为桥面上两点，与间的夹角，与间的夹角。已知重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．儿童从到的过程中受到的摩擦力逐渐增大 B．儿童经过点时，桥面对其支持力的大小为 C．儿童移动的整个过程中，桥面对其作用力大小不变 D．儿童经过两点时，受到的摩擦力大小之比为 3．用相似三角形解决动态平衡问题 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 (1）在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形； (2）构建与力的矢量三角形对应的几何三角形； (3）确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式； (4）结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。 例题3、A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 变式3-1、如图所示，点为固定在竖直面内半径为的圆的圆心，点为光滑圆上的最高点，将质量为的小环（视为质点）套在圆上，一段轻绳一端固定在点，另一端系在小环上，小环静止，轻绳的长度为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．轻绳上的拉力大小为 B．圆对小环的作用力大小为 C．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力增大 D．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力减小 变式3-2、固定在水平面上的光滑半球的半径为，在球心的正上方点固定一个光滑的小定滑轮，细线的一端拴接一小球，另一端绕过定滑轮，现用力将小球从如图所示位置的点缓慢地拉至点，在小球到达点前的过程中，半球对小球的弹力，细线的拉力大小变化情况是（　　） A．不变 B．变小 C．变小 D．变大 变式3-3、如图所示，A球与B球用原长为、劲度系数为的轻质弹簧相连，B球用长为的细线悬挂于点，A球固定在点的正下方，且、A间的距离也为，恰好构成一个正三角形。现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为的轻质弹簧，系统重新平衡后A、B间的距离变为。两弹簧均在弹性限度内，两小球均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力大小不变 B．弹簧的弹力变大 C． D． 模块三 课后作业 1．如图所示，球A在半球B上与竖直墙面接触，B在水平力F作用下处于静止状态，现仅改变F的大小，使B沿水平面缓慢向右移动直到A球将要落地，在此过程中，不计一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．B对地面的压力不断增大 B．A对B的压力不断减小 C．A对墙面的压力保持不变 D．水平作用力F不断增大 2．如图所示，轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端拴接重力为G的小球，开始时小球在大小为、方向水平向右的拉力F作用下保持静止。现保持F大小不变，方向沿逆时针由水平缓慢转至竖直，该过程弹簧始终处在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．弹簧弹力逐渐增大 B．弹簧弹力先减小后增大 C．弹簧与竖直方向间夹角逐渐增大 D．弹簧与竖直方向间夹角的最大值为30° 3．如图所示，斜面体放在粗糙的水平面上，物块放在粗糙的斜面体上，轻质弹簧两端分别与物块及固定在斜面体上端的挡板拴接弹簧与斜面平行，弹簧处于拉伸状态。斜面体下端有一个定滑轮与斜面体下端的挡板固定，现通过轻绳定滑轮两侧轻绳夹角保持 用一个垂直斜面的力通过定滑轮拉物块，从零开始逐渐增大，和始终未动。在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧对挡板的拉力不变，对的压力减小 B．，间摩擦力可能减小、增大，也可能不变 C．水平面对的摩擦力从零逐渐增大，方向水平向左 D．水平面对斜面体的作用力一定减小 4．如图某同学自制了一个简易动滑轮演示仪器，柔软的轻质细绳左端固定在竖直圆环上点，右端可在竖直圆环上自由移动，右端的位置比左端略高，均高于圆心且位于竖直直径的两侧，位置低于圆心。动滑轮下面悬挂了质量为的物块，不计动滑轮的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．若如图所示时绳OA上的弹力大小为 B．若绳右端缓慢下移到的过程中，绳OA上的力大于绳OB上的力 C．若绳右端缓慢左移至和左端位置A重合，则绳上张力先增大后减小 D．若保持右端在位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到点运动至最高点的过程中，当左右两端等高时绳上张力最大 5．如图所示，某自卸式货车车厢上放有一箱货物，货箱内有一倾斜隔板 ，其与货箱底部的夹角为 ，隔板与货箱右壁之间放有一光滑的圆柱状工件，货车在卸货过程中，车厢倾角 由 缓慢增大到 ， 货箱一直相对车厢底板静止，下列说法正确的是（　　） A．车厢对货箱的支持力逐渐增大 B．车厢对货箱的作用力逐渐减小 C．工件对隔板的压力不断减小 D．工件对货箱右壁的压力先增大后减小 6．如图所示，一个物体静止放在倾角为的木板上，在木板倾角逐渐增大到某一角度的过程中，物体一直静止在木板上，则下列说法中正确的是（     ） A．物体所受的支持力和摩擦力这两个力的合力逐渐增大 B．物体所受的重力、支持力和摩擦力这三个力的合力保持不变 C．物体所受的摩擦力逐渐减小 D．物体所受的支持力逐渐增大 7．如图甲是国家博物馆馆藏的西汉龙纹玉璧，可简化为图乙所示情景。承托玉璧的光滑斜面倾角，玉璧底部两个起支撑作用等高的钉子A、B与玉璧中心的连线夹角，若将钉子A、B向外移动一小段相同距离，则（     ） A．斜面对玉璧的支持力变小 B．斜面对玉璧的支持力变大 C．每个钉子对玉璧的支持力变小 D．每个钉子对玉璧的支持力变大 8．如图所示，水平光滑的地面上固定有半径为R的半圆形轨道，小球紧贴着半圆形轨道放置，小木块静置在半圆形轨道左侧的水平地面上，在圆轨道上方同一高度处固定有两个光滑定滑轮，两个定滑轮分别位于小木块和半圆形轨道圆心的正上方。现用一根跨过两个定滑轮的细线将小球和小木块连接起来，再对小木块施加水平向左的拉力，将小球沿半圆形轨道缓慢提高，在小球运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力先增大后减小 B．半圆轨道对小球的支持力先减小后增大 C．小木块对地面的压力逐渐减小 D．适当提高定滑轮的高度可以减小该过程中小球对半圆轨道的压力 9．2025年春晚节目《秧BOT》展示了国产人形机器人在运动控制、环境感知和人机协同方面的最新突破，也让观众在欣赏传统秧歌的同时感受到人工智能与艺术的交汇。某兴趣小组制作了模拟机器人“手臂”的装置，其原理简化如图所示。AB视为轻杆，可绕A点在竖直面内转动，B端系一轻绳并悬吊一质量为m的重物，另一轻绳跨过定滑轮牵拉B端。通过拉绳缓慢提升重物，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．BC绳上的拉力不断减小 B．BC绳上的拉力先减小后增大 C．AB杆受到的压力变小 D．AB杆受到的压力先减小后增大 10．如图所示，质量分布均匀的细杆中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在O1正上方，一根轻绳一端系于O点，另一端跨过定滑轮O2由水平外力F牵引，用FN表示铰链对杆的作用，现在外力F作用下，细杆从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐变小，FN大小不变 B．F逐渐变小，FN大小变大 C．F先变小后变大，FN逐渐变小 D．F先变小后变大，FN逐渐变大 11．如图所示，一轻杆两端分别固定两个小球A和B，然后用两根细线悬挂在O点，小球A、B的质量分别为和，细线OA、OB的长度分别为和。平衡时，细线OA、OB上的拉力大小分别为和，则和之比为（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，轻绳的一端连接小盒P，另一端通过光滑的轻滑轮与斜面上的物块Q连接，轻绳与斜面的上表面平行，P、Q均处于静止状态。现向P盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中P、Q一直保持静止。则下列说法正确的是（　　） A．斜面对Q的摩擦力一定增大 B．地面对斜面的支持力一定减小 C．地面对斜面的摩擦力方向向右 D．斜面对Q的作用力可能先减小后增大 13．如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为，下列说法正确的是（　　） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为 B．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为 C．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 14．如图所示，两轻绳OA、OB一端系于结点O，另一端分别系于竖直放置的圆环上，OA水平，与OB夹角为。在O点悬挂一物体M，下列关于OA、OB绳拉力的大小F1、F2的分析中，说法正确的是（　　） A．若圆环和绳OB固定不动，绳OA顺时针缓慢转动60°的过程中，F1先减小后增大 B．若圆环和绳OA固定不动，绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2逐渐增大 C．若圆环固定，保持夹角始终不变，将绳OA、OB同时顺时针缓慢转过90°的过程中，F1先增大后减小，F2逐渐减小 D．若A、B端固定在圆环上，当圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向旋转30°过程中，F2逐渐减小 15．如图所示，轻质硬杆一端与固定在地面上的光滑铰链O相连，另一端固定一个小球，站在地面上的人用轻绳绕过处在铰链正上方的小定滑轮拉住小球，此时轻绳与硬杆垂直。若该人拉住轻绳缓慢向右移动，不计轻绳与滑轮之间的摩擦，则在硬杆到达水平位置之前的过程中，下列说法正确的是（   ） A．轻绳拉力逐渐增大 B．硬杆对小球的支持力逐渐增大 C．地面对人的支持力逐渐减小 D．轻绳对滑轮的作用力逐渐增大 第4页，共27页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 3.5共点力的平衡 · 课时3 动态平衡问题 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 当你乘坐摩天轮缓缓升空时，为什么无论座舱转到哪个位置，你都能安稳地坐着，而不会感觉被甩来甩去？当起重机吊着沉重的货物在空中平移时，货物为何能始终保持平稳，不发生晃动？为什么缓慢拉动一个悬挂的重物时，连接它的绳子拉力会随着角度的变化而改变？ 这些看似平常的现象，都涉及物理学中一个非常重要的模型——动态平衡。 在这些问题中，物体虽然位置在缓慢地移动，但在每一个瞬间，它都可以被看作是静止的。那么，在这种“动中有静”的状态下，物体所受的力之间究竟遵循着怎样的规律？当某个条件（如角度、位置）发生改变时，其他力的大小和方向又会如何随之变化？这就是我们本节课要探究的核心问题。 一、动态平衡 平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型 二、解决动态平衡问题的三种常用方法 1．用图解法解决动态平衡问题 物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。 (1）先画出大小、方向都不变的恒力； (2）再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些； (3）明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。 注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。 例题1、如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为θ，下列说法正确的是（     ） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为Gcosθ B．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 C．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为Gcosθ D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 【答案】B 【详解】对篮球受力分析，如图所示 设挡板对篮球的弹力大小为，斜坡对篮球的弹力大小为，根据平衡条件可得， 缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴沿逆时针方向转一个较小角度，挡板和斜坡对篮球的弹力的合力始终与重力G等大反向，如图所示 由图解法可知、均减小，故选B。 变式1-1、如图所示，一艘无动力货轮C被两艘拖船A、B拉着在平静水面上沿虚线方向前行，两缆绳保持水平，拖船B的缆绳与货轮前进方向的夹角始终为30°，拖船A的缆绳与货轮前进方向的夹角为θ。已知货轮运动时所受阻力的大小f与运行速度的大小v的关系满足，其中。要保证货轮以5m/s的速度匀速前进且要求拖船A缆绳拉力最小，则此时θ及拖船A缆绳拉力大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 货轮C以5m/s的速度匀速前进，则所受阻力大小为 方向与速度方向相反，货轮C在阻力和拖船A、B缆绳拉力三力作用下处于平衡状态，可将货轮受到的三力平移构成一个首尾相接的矢量三角形，其中阻力的大小和方向均不变，拖船B缆绳拉力方向不变。如图所示，当两缆绳（拉力）垂直时，拖船A缆绳拉力最小，此时有，拖船A缆绳拉力大小为 故选B。 变式1-2、如图所示，轻质细杆上端用铰链固定在水平天花板上，下端连接一质量为m的小球。现用一方向始终与水平方向成θ角的力F缓慢拉小球，使轻杆由竖直位置逆时针缓慢转动到水平位置。此过程中轻杆对小球的作用力最小值为（     ） A．mg B．mgcosθ C．mgsinθ D．mgtanθ 【答案】B 【详解】小球受力的矢量三角形如图，由图可知，轻杆对小球的作用力先减小后增大。当时，最小，由几何关系可得，故选B。 变式1-3、如图所示，倾角为30°的光滑斜面静止在水平面上，现用轻绳通过小滑轮拉住质量为m的小球（小球可看成质点），初始时刻绳与竖直方向的夹角为30°，若用拉力F缓慢移动绳的端点使小球往上移动，移动到斜面顶端。此过程中拉力F的最小值为（       ） A． B．mg C． D． 【答案】A 【详解】对小球受力分析，如图 把合力与两个分力放到三角形里，如图 由于合力，合力的大小方向不变，支持力的方向不变，拉力与竖直方向的夹角一直在减小，拉力一直在增加，拉力最小的时候就在初始位置，根据平衡条件可得 解得 故选A。 2．用解析法解决动态平衡问题 解析法(数学方法）分析动态平衡问题的步骤： (1）对物体受力分析； (2）列平衡方程写出各个力之间关系的解析式； (3）根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。 例题2、消毒碗柜的金属碗架可以将碗放置于两条金属杆之间，如图甲所示。假设碗竖直放置，取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是（     ） A．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力小于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 B．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 C．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小 D．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变 【答案】B 【详解】C．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗所受的合力仍为0，故C错误； D．对碗受力分析如图所示 设b杆对碗的弹力与竖直方向的夹角为，碗的重力为G，则， 若减小a、b间距，则减小，减小，根据牛顿第三定律可知a杆受到的弹力减小，故D错误； AB．a、b杆对碗的作用力的合力与碗的重力等大反向，则将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力，故A错误，B正确。 故选B。 变式2-1、小明在假期中去野营，如图甲所示，他将吊床的拉索固定在两棵树等高的位置上，有时他躺在吊床上休息，有时又坐在吊床中点处看书。模型简化如图乙所示，两种状态下吊床的长度视为不变，小明均处于静止且未与地面接触，下列说法正确的是（     ） A．小明躺着时受到吊床的合力小于坐着时受到吊床的合力 B．小明躺或坐，拉索的拉力大小相等 C．小明坐着时，拉索的拉力较大 D．小明躺着时，拉索的拉力较大 【答案】C 【详解】A．小明在吊床上静止时，处于平衡状态，所受合力为零，因此吊床对小明的作用力大小等于小明的重力，故吊床对小明的合力大小始终相等，故A错误； BCD．设每条拉索的拉力大小为，拉索与竖直方向的夹角为，根据竖直方向平衡条件有 解得 小明坐着时，拉索与竖直方向的夹角较大，较小，所以拉力较大；小明躺着时，拉索与竖直方向的夹角较小，较大，所以拉力较小，故C正确，BD错误。 故选C。 变式2-2、如图所示，甲、乙两人站在水平地面上，光滑圆环套在不可伸长的轻绳上，圆环下端吊一重物。两人缓慢放绳，在重物竖直向下移动一小段距离的过程中（    ） A．地面对甲的支持力保持不变 B．地面对甲的支持力逐渐变大 C．地面对乙的摩擦力保持不变 D．地面对乙的摩擦力逐渐变大 【答案】A 【详解】CD．分析可知，圆环套在绳子上可视为活结模型，环两端绳子上的拉力大小相等，根据平行四边形定则，做出力的平行四边形如图所示 设绳子与竖直方向的夹角为，绳子上的拉力为，根据力的平行四边形可知，当缓慢放绳时，绳子上拉力与竖直方向的夹角减小，而根据平衡条件有 可知，当减小时，绳上的拉力减小，对乙分析，在水平方向，乙受到地面对乙的静摩擦力与绳子上的拉力在水平方向的分力而平衡，则有 在缓慢放绳时，减小，则地面对乙的摩擦力逐渐变小，故CD错误； AB．根据平衡条件可知，每段绳子上的拉力在竖直方向的分力不变，即 对甲分析，设地面对甲的支持力为，根据平衡条件有 可知地面对甲的支持力不变，故A正确，B错误。 故选A。 变式2-3、公园内儿童游乐设施拱形桥的截面示意图如图所示，可简化为以点为圆心的圆弧，为桥面最高点，在同一水平面上。一质量为的儿童（可视为质点）从点开始沿桥面缓慢移动至点，图中、为桥面上两点，与间的夹角，与间的夹角。已知重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．儿童从到的过程中受到的摩擦力逐渐增大 B．儿童经过点时，桥面对其支持力的大小为 C．儿童移动的整个过程中，桥面对其作用力大小不变 D．儿童经过两点时，受到的摩擦力大小之比为 【答案】C 【详解】A．儿童向上攀爬时受力情况，如图所示 儿童处于动态平衡，根据平衡条件有 因逐渐减小，所以逐渐减小，故A错误； B．当儿童处于点时，根据平衡条件有，，故B错误； D．同理可求得儿童处于点时，对应斜面的倾角，此时儿童受到的摩擦力 则有，故D错误： C．儿童在整个移动的过程中，受到的合力为零，即桥面对其作用力的大小始终等于儿童的重力，故C正确。 故选C。 3．用相似三角形解决动态平衡问题 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 (1）在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形； (2）构建与力的矢量三角形对应的几何三角形； (3）确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式； (4）结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。 例题3、A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】轻杆对两小球弹力大小相等，令该弹力为T，对小球A进行分析，利用相似三角形规律有 解得 对小球B进行分析，利用相似三角形规律有 解得 由于 则有 故选C。 变式3-1、如图所示，点为固定在竖直面内半径为的圆的圆心，点为光滑圆上的最高点，将质量为的小环（视为质点）套在圆上，一段轻绳一端固定在点，另一端系在小环上，小环静止，轻绳的长度为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．轻绳上的拉力大小为 B．圆对小环的作用力大小为 C．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力增大 D．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力减小 【答案】A 【详解】AB．如图所示，对小环受力分析，根据相似三角形知识可知， 即轻绳上的拉力大小 圆对小环的作用力大小，选项A正确、B错误； CD．同理可知，根据，仅减小绳长l，圆对小环的作用力大小不变，选项CD错误。 故选A。 变式3-2、固定在水平面上的光滑半球的半径为，在球心的正上方点固定一个光滑的小定滑轮，细线的一端拴接一小球，另一端绕过定滑轮，现用力将小球从如图所示位置的点缓慢地拉至点，在小球到达点前的过程中，半球对小球的弹力，细线的拉力大小变化情况是（　　） A．不变 B．变小 C．变小 D．变大 【答案】AC 【详解】在小球被拉至点前的过程中，对小球进行受力分析，小球受重力、半球对小球的弹力和细线对小球的拉力，小球在三个力作用下缓慢滑至点，小球在运动过程中可视为受力平衡。作出小球的受力示意图如图所示，故小球所受重力、半球对小球的弹力和细线对小球的拉力可以构成一个闭合的三角形，由图可知，三个力构成的三角形与图中由绳、定滑轮到水平面的高度及构成的始终相似，故有 由于小球运动过程中，和的长度不变，减小，小球所受重力不变，所以半球对小球的弹力不变，细线对小球的拉力变小。 故选AC。 变式3-3、如图所示，A球与B球用原长为、劲度系数为的轻质弹簧相连，B球用长为的细线悬挂于点，A球固定在点的正下方，且、A间的距离也为，恰好构成一个正三角形。现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为的轻质弹簧，系统重新平衡后A、B间的距离变为。两弹簧均在弹性限度内，两小球均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力大小不变 B．弹簧的弹力变大 C． D． 【答案】AC 【详解】AB．令B球的质量为，轻质弹簧劲度系数为时的受力分析图如下 由几何关系可知OAB构成的三角形与力的三角形相似，因此有， 解得， 同理轻质弹簧劲度系数为时，由受力分析图同样可以发现OAB构成的三角形与力的三角形相似，有， 解得， 因此弹簧的弹力变小，细线的拉力大小不变，故A正确，B错误； CD．对劲度系数为的弹簧，根据胡克定律 对劲度系数为的弹簧，同理有 联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 模块三 课后作业 1．如图所示，球A在半球B上与竖直墙面接触，B在水平力F作用下处于静止状态，现仅改变F的大小，使B沿水平面缓慢向右移动直到A球将要落地，在此过程中，不计一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．B对地面的压力不断增大 B．A对B的压力不断减小 C．A对墙面的压力保持不变 D．水平作用力F不断增大 【答案】D 【详解】A．以A、B整体为研究对象，B对地面的压力大小始终等于整体重力大小，故A错误； B．以A为研究对象，B沿水平面缓慢向右移动过程中，B对A的弹力与竖直方向夹角不断变大，如图所示 因弹力竖直方向的分力始终等于A的重力，故B对A弹力变大，根据牛顿第三定律可知A对B的压力不断增大，故B错误； C．B对A弹力变大，则弹力的水平分力也变大，且该水平分力大小等于A对墙面的压力大小，因此A对墙面的压力不断增大，故C错误； D．A对墙面的压力不断增大，根据牛顿第三定律可知墙面对A的弹力也不断增大，以A、B整体为研究对象，水平作用力F大小始终等于墙面对A的弹力，因此水平作用力F不断增大，故D正确。 故选D。 2．如图所示，轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端拴接重力为G的小球，开始时小球在大小为、方向水平向右的拉力F作用下保持静止。现保持F大小不变，方向沿逆时针由水平缓慢转至竖直，该过程弹簧始终处在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．弹簧弹力逐渐增大 B．弹簧弹力先减小后增大 C．弹簧与竖直方向间夹角逐渐增大 D．弹簧与竖直方向间夹角的最大值为30° 【答案】D 【详解】对小球受力分析，并作出矢量三角形，如图所示 由图可知，保持F大小不变，方向沿逆时针由水平缓慢转至竖直，弹簧弹力kx一直减小，且弹簧弹力方向与竖直方向的夹角先增大后减小，当F与kx垂直时，弹簧与竖直方向间夹角达到最大，设最大值为θ，则 所以 故选D。 3．如图所示，斜面体放在粗糙的水平面上，物块放在粗糙的斜面体上，轻质弹簧两端分别与物块及固定在斜面体上端的挡板拴接弹簧与斜面平行，弹簧处于拉伸状态。斜面体下端有一个定滑轮与斜面体下端的挡板固定，现通过轻绳定滑轮两侧轻绳夹角保持 用一个垂直斜面的力通过定滑轮拉物块，从零开始逐渐增大，和始终未动。在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧对挡板的拉力不变，对的压力减小 B．，间摩擦力可能减小、增大，也可能不变 C．水平面对的摩擦力从零逐渐增大，方向水平向左 D．水平面对斜面体的作用力一定减小 【答案】C 【详解】AB．设斜面与水平面的夹角为，物块的质量为，斜面体的质量为，根据题意，受力分析和沿斜面建立直角坐标系后正交分解可得，弹簧的形变量没变，所以弹力不变，对的压力大小始终等于；由于不知道初始状态摩擦力的方向和大小，则摩擦力可能先减小后增大或一直增大，但不可能不变，故AB错误； CD．以整体为研究对象，沿水平方向建立直角坐标系，分解，有水平方向的分力，水平面对的摩擦力大小 ，随着的增大而增大，方向水平向左； 在竖直方向上的分力，根据，随着的增大，斜面体对地面的压力逐渐减小； 但是水平面对的作用力为支持力和摩擦力的合力，根据平衡条件，这两个力的合力与整体的重力和的合力是一对平衡力，整体的重力和的合力可能变大，也可能变小，故C正确，D错误。 故选C。 4．如图某同学自制了一个简易动滑轮演示仪器，柔软的轻质细绳左端固定在竖直圆环上点，右端可在竖直圆环上自由移动，右端的位置比左端略高，均高于圆心且位于竖直直径的两侧，位置低于圆心。动滑轮下面悬挂了质量为的物块，不计动滑轮的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．若如图所示时绳OA上的弹力大小为 B．若绳右端缓慢下移到的过程中，绳OA上的力大于绳OB上的力 C．若绳右端缓慢左移至和左端位置A重合，则绳上张力先增大后减小 D．若保持右端在位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到点运动至最高点的过程中，当左右两端等高时绳上张力最大 【答案】D 【详解】A．动滑轮两侧绳子张力大小相等，设为T，夹角，竖直方向受力平衡，有 解得，故A错误； B．当绳右端缓慢下移到的过程中，两侧绳子张力大小始终相等，故B错误； C．若绳右端缓慢左移至和A重合，绳子总长度不变，圆环半径固定，两侧绳子的夹角一直减小，根据 因此绳上张力一直减小，故C错误； D．若保持右端在位置不变，直到点运动至最高点的过程中，绳子总长度不变，根据 当左右两端等高时，两侧绳子夹角最大，此时绳上张力最大，故D正确。 故选D。 5．如图所示，某自卸式货车车厢上放有一箱货物，货箱内有一倾斜隔板 ，其与货箱底部的夹角为 ，隔板与货箱右壁之间放有一光滑的圆柱状工件，货车在卸货过程中，车厢倾角 由 缓慢增大到 ， 货箱一直相对车厢底板静止，下列说法正确的是（　　） A．车厢对货箱的支持力逐渐增大 B．车厢对货箱的作用力逐渐减小 C．工件对隔板的压力不断减小 D．工件对货箱右壁的压力先增大后减小 【答案】C 【详解】A．对货箱和工件整体分析，整体受重力和车厢的作用力，垂直于车厢方向，车厢对货箱的支持力 由增大到，减小，支持力逐渐减小，故A错误； B．车厢对货箱的作用力是支持力和摩擦力的合力，根据平衡条件，该合力与整体重力等大反向，大小保持不变，故B错误； C．对工件隔离分析，工件受重力、隔板的支持力和货箱右壁的支持力，垂直于车厢底板方向有 解得 增大，减小，减小，根据牛顿第三定律，工件对隔板的压力不断减小，故C正确； D．沿车厢底板方向有 代入得 从增大到，从增大到，增大，增大，即工件对货箱右壁的压力不断增大，故D错误。 故选C。 6．如图所示，一个物体静止放在倾角为的木板上，在木板倾角逐渐增大到某一角度的过程中，物体一直静止在木板上，则下列说法中正确的是（     ） A．物体所受的支持力和摩擦力这两个力的合力逐渐增大 B．物体所受的重力、支持力和摩擦力这三个力的合力保持不变 C．物体所受的摩擦力逐渐减小 D．物体所受的支持力逐渐增大 【答案】B 【详解】A.支持力与摩擦力的合力大小为，保持不变，故A错误； B．由于物体一直静止在木板上，物体所受的重力、支持力和摩擦力的合力一直为零，保持不变，故B正确； CD．物体受力如图所示 根据受力平衡条件可得支持力 摩擦力 当增大时，减小，增大，故CD错误。 故选B。 7．如图甲是国家博物馆馆藏的西汉龙纹玉璧，可简化为图乙所示情景。承托玉璧的光滑斜面倾角，玉璧底部两个起支撑作用等高的钉子A、B与玉璧中心的连线夹角，若将钉子A、B向外移动一小段相同距离，则（     ） A．斜面对玉璧的支持力变小 B．斜面对玉璧的支持力变大 C．每个钉子对玉璧的支持力变小 D．每个钉子对玉璧的支持力变大 【答案】D 【详解】AB．对玉璧受力分析可知，垂直于斜面方向斜面对玉璧的支持力，则斜面对玉璧的支持力不变，故AB错误； CD．对玉璧进行受力分析，在斜面平面内，玉璧受到重力沿斜面向下的分力以及两个钉子对玉璧的支持力、。由对称性可知且两力方向均指向圆心，夹角为，根据平衡条件，两钉子支持力的合力与重力沿斜面向下的分力大小相等、方向相反，即 若将钉子A、B向外移动一小段相同距离，则夹角增大，增大，即每个钉子对玉璧的支持力变大，故C错误、D正确。 故选D。 8．如图所示，水平光滑的地面上固定有半径为R的半圆形轨道，小球紧贴着半圆形轨道放置，小木块静置在半圆形轨道左侧的水平地面上，在圆轨道上方同一高度处固定有两个光滑定滑轮，两个定滑轮分别位于小木块和半圆形轨道圆心的正上方。现用一根跨过两个定滑轮的细线将小球和小木块连接起来，再对小木块施加水平向左的拉力，将小球沿半圆形轨道缓慢提高，在小球运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力先增大后减小 B．半圆轨道对小球的支持力先减小后增大 C．小木块对地面的压力逐渐减小 D．适当提高定滑轮的高度可以减小该过程中小球对半圆轨道的压力 【答案】D 【详解】ABD．设小球的重力为G，细线的拉力为T，半圆轨道对小球的支持力为，连接小球的细线长为L，定滑轮到水平地面的高度为H，如图所示 由平衡条件与几何关系可得 由于H和R固定，运动过程中L不断减小，所以细线的拉力不断减小，半圆轨道对小球的支持力不变，若提高定滑轮的高度，则H变大，运动过程中小球对半圆形轨道的压力减小，故AB错误，D正确； C．运动过程中连接小木块的细线拉力逐渐减小，细线与竖直方向的夹角不断增大，所以细线对小木块在竖直方向的拉力不断减少，小木块对地面的压力逐渐增加，故C错误。 故选D。 9．2025年春晚节目《秧BOT》展示了国产人形机器人在运动控制、环境感知和人机协同方面的最新突破，也让观众在欣赏传统秧歌的同时感受到人工智能与艺术的交汇。某兴趣小组制作了模拟机器人“手臂”的装置，其原理简化如图所示。AB视为轻杆，可绕A点在竖直面内转动，B端系一轻绳并悬吊一质量为m的重物，另一轻绳跨过定滑轮牵拉B端。通过拉绳缓慢提升重物，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．BC绳上的拉力不断减小 B．BC绳上的拉力先减小后增大 C．AB杆受到的压力变小 D．AB杆受到的压力先减小后增大 【答案】A 【详解】对B点进行受力分析：竖直向下的绳的拉力 BC绳的拉力及沿杆方向的弹力，此三力组成的矢量三角形与相似，满足 在轻绳BC方向缓慢变化过程中，因AC、AB、G不变，但BC减小，所以拉力逐渐减小，不变。故A正确，BCD错误。 故选A。 10．如图所示，质量分布均匀的细杆中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在O1正上方，一根轻绳一端系于O点，另一端跨过定滑轮O2由水平外力F牵引，用FN表示铰链对杆的作用，现在外力F作用下，细杆从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐变小，FN大小不变 B．F逐渐变小，FN大小变大 C．F先变小后变大，FN逐渐变小 D．F先变小后变大，FN逐渐变大 【答案】A 【详解】画出细杆的受力分析，如下图所示 根据三角形定则及相似三角形可知 因和不变，则大小不变；随着的减小，F逐渐减小，可知A选项符合题意。 故选A。 11．如图所示，一轻杆两端分别固定两个小球A和B，然后用两根细线悬挂在O点，小球A、B的质量分别为和，细线OA、OB的长度分别为和。平衡时，细线OA、OB上的拉力大小分别为和，则和之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析两小球受力，画出受力图如下图所示 由相似三角形的关系可得， 可得 故选A。 12．如图所示，轻绳的一端连接小盒P，另一端通过光滑的轻滑轮与斜面上的物块Q连接，轻绳与斜面的上表面平行，P、Q均处于静止状态。现向P盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中P、Q一直保持静止。则下列说法正确的是（　　） A．斜面对Q的摩擦力一定增大 B．地面对斜面的支持力一定减小 C．地面对斜面的摩擦力方向向右 D．斜面对Q的作用力可能先减小后增大 【答案】BCD 【详解】A．向P盒内缓慢加入适量砂粒，可知绳子拉力增大，但是由于无法判定初始状态时Q所受摩擦力方向，所以Q受摩擦力大小如何变化不能确定，摩擦力大小可能增大，可能减小，也可能先减小后增大，故A错误； BC．将Q和斜面看成一个整体，受力分析如图所示 根据平衡条件可得 因为绳子拉力F增大，所以地面对斜面的支持力一定减小，由于绳拉力水平分力向左，所以地面对斜面的摩擦力方向向右，故BC正确； D．斜面对Q的作用力即摩擦力和支持力的合力，将这两个力合成为一个力F斜，Q相当于受到重力，绳拉力和斜面对它的作用力F斜，如图所示 根据三力平衡图解法分析可知，斜面对Q的作用力可能先减小后增大，故D正确。 故选BCD。 13．如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为，下列说法正确的是（　　） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为 B．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为 C．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 【答案】AC 【详解】AB．对篮球受力分析，如图所示 设挡板对篮球的弹力大小为F1，斜坡对篮球的弹力大小为F2，根据平衡条件可得，，故A正确，B错误； CD．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴沿逆时针方向转一个较小角度，挡板和斜坡对篮球的弹力的合力始终与重力G等大反向，如图所示 由图解法可知、均减小，故C正确，D错误。 故选AC。 14．如图所示，两轻绳OA、OB一端系于结点O，另一端分别系于竖直放置的圆环上，OA水平，与OB夹角为。在O点悬挂一物体M，下列关于OA、OB绳拉力的大小F1、F2的分析中，说法正确的是（　　） A．若圆环和绳OB固定不动，绳OA顺时针缓慢转动60°的过程中，F1先减小后增大 B．若圆环和绳OA固定不动，绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2逐渐增大 C．若圆环固定，保持夹角始终不变，将绳OA、OB同时顺时针缓慢转过90°的过程中，F1先增大后减小，F2逐渐减小 D．若A、B端固定在圆环上，当圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向旋转30°过程中，F2逐渐减小 【答案】ACD 【详解】A．对结点O受力分析，构建如图所示的矢量三角形 在将绳OA顺时针缓慢转动60°的过程中，可以看出OA绳上的力F1先减小后增大，故A正确； B．对结点O受力分析，构建如图所示的矢量三角形 在将绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2逐渐减小，故B错误； C．对结点O受力分析，构建如图所示的矢量三角形 根据图示可知顺时针转动前（实线）到转动后（虚线）过程中，转过了60°，F1一直增大，在图示位置最大（对应直径），F2一直减小。从虚线位置再继续转动30°的过程中，F1又开始减小，F2也继续减小。所以将绳OA、OB同时顺时针缓慢转过90°的过程中，F1先增大后减小，F2逐渐减小，故C正确； D.由于F1和F2的夹角始终不变，且F1和F2的合力F始终与物体M的重力平衡，在圆中作出一系列内接矢量三角形，如图所示 由图可知，当圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向旋转30°过程中，F2逐渐减小，故D正确。 故选ACD。 15．如图所示，轻质硬杆一端与固定在地面上的光滑铰链O相连，另一端固定一个小球，站在地面上的人用轻绳绕过处在铰链正上方的小定滑轮拉住小球，此时轻绳与硬杆垂直。若该人拉住轻绳缓慢向右移动，不计轻绳与滑轮之间的摩擦，则在硬杆到达水平位置之前的过程中，下列说法正确的是（   ） A．轻绳拉力逐渐增大 B．硬杆对小球的支持力逐渐增大 C．地面对人的支持力逐渐减小 D．轻绳对滑轮的作用力逐渐增大 【答案】ACD 【详解】AB．对小球受力分析如图，由相似三角形关系可知 人拉住轻绳缓慢向右移动变大，和OA都不变，则FN不变，T变大，即轻绳拉力变大，硬杆对小球的支持力不变，A正确，B错误； C．地面对人的支持力（θ为细绳与水平方向的夹角），则人拉住轻绳缓慢向右移动时θ变大，则地面对人的支持力逐渐减小，C正确；     D．开始时轻绳与硬杆垂直，则当人拉住轻绳缓慢向右移动时，滑轮两边的细绳之间的夹角减小，轻绳对滑轮的作用力，逐渐增大，D正确。 故选ACD。 第4页，共27页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $