1.2 二次函数的图象(课件)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数图象，从y=ax²入手，通过描点法、平移规律，逐步过渡到y=a(x-m)²、y=a(x-m)²+k及一般式，以从特殊到一般的学习支架连接知识，帮助学生掌握图象特征与转化方法。 其亮点在于融入数形结合与转化思想，通过典例（如平移规律“左加右减”、配方法转化一般式）培养几何直观与推理意识。采用描点法与对比归纳，学生能提升数学表达能力，教师可借助系统知识点高效教学。

第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 九上数学 ZJ 1 1.会用描点法画出二次函数的图象,掌握二次函数图象特征,知道二 次函数系数与图象形状和对称轴的关系,体会数形结合思想,增强几 何直观。 2.了解, , 三类二次函数的图象之间的关系,掌握二次函数图象的平移 规律,体会从特殊到一般的类比与归纳思想。 3.会用配方法将二次函数的一般形式化为顶点式 ,并据此确定二次函数 的图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标,感悟转化思想。 学习目标 2 1.二次函数的图象是一条关于 轴对称、过坐标原 点并向上（或向下）伸展的曲线，像这样的曲线叫作抛物线。抛物 线与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。例如，抛物线 的 顶点是坐标原点。 新知探究 知识点1 二次函数的图象 3 2.用描点法画二次函数 的图象的一般步骤 （1）列表：让取一些有代表性的值，求出对应的 值，列出表 格。 （2）描点：在平面直角坐标系内，以自变量 的值为横坐标，以 相应的函数值 为纵坐标，描出相应的点。 （3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连结各点。 新知探究 知识点1 二次函数的图象 4 典例1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和 的图象。 解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … … 0 … 新知探究 知识点1 二次函数的图象 5 然后描点、连线，得到函数和 的图象,如图所示。 用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，由于 可取一切实数,所以图象在对称轴两侧应是无限延伸的。#9 新知探究 知识点1 二次函数的图象 6 图象 ______________________ 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线x=0） 顶点 原点(0,0) （抛物线的最低点） 原点(0,0) （抛物线的最高点） 3.二次函数 的图象特征 #9 新知探究 知识点1 二次函数的图象 7 新知探究 知识点1 二次函数的图象 8 典例2 已知抛物线与直线交于点 。 （1）求和 的值，并写出该抛物线的表达式； 解：将代入，得 ， 所以抛物线与直线的交点坐标为 。 将代入，得 ， 所以该抛物线的表达式为 。 新知探究 知识点1 二次函数的图象 9 （2）说出该抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向和抛物线的位置； 解：顶点坐标为，对称轴为轴（或直线 ）。 因为 ，所以这个抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最 高点，抛物线在 轴的下方（除顶点外）。 新知探究 知识点1 二次函数的图象 10 （3）判断点， 是否在此抛物线上。 解：当，时，左边，右边 ，左 边右边，所以点不在抛物线 上。 当，时，左边，右边，左边 右边， 所以点在抛物线 上。 新知探究 知识点1 二次函数的图象 11 1.二次函数与 的图象间的关系 函数的图象与函数 的图象只是位置 不同，它可由的图象向右（当）或向左（当 ） 平移 个单位得到。 新知探究 知识点2 二次函数的图象 12 （简记为“左加右减自变量”） 新知探究 知识点2 二次函数的图象 13 二次函数 图象 2.二次函数 的图象特征 新知探究 知识点2 二次函数的图象 14 二次函数 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 新知探究 知识点2 二次函数的图象 15 典例3 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象。 ，， 。 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标。 解：分别列表： … 0 1 2 … … 0 … 新知探究 知识点2 二次函数的图象 16 … … … 0 … … 1 2 3 4 5 … … 0 … 新知探究 知识点2 二次函数的图象 17 然后描点、连线，得函数， ， 的图象，如图所示。 将抛物线向左平移3个单位得到抛物线 ， 向右平移3个单位得到抛物线 。 新知探究 知识点2 二次函数的图象 18 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 轴（直线 ） 向下 直线 向下 直线 新知探究 知识点2 二次函数的图象 19 1.二次函数与 的图象间的关系 函数的图象，可以由函数 的图象 先向右（当）或向左（当）平移 个单位，再向上 （当）或向下（当）平移 个单位得到。 #6.1 新知探究 知识点3 二次函数的图象 20 具体的平移过程如下： （抛物线左右平移时，只有常数 发生变化；上下平移时，只有常数 发生变化）#6.2.1 新知探究 知识点3 二次函数的图象 21 2.二次函数 的图象特征 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 新知探究 知识点3 二次函数的图象 22 典例4 对于抛物线 ，给出下列结论：①抛物线开 口向上；②抛物线可由抛物线 先向左平 移2个单位，再向上平移3个单位得到；③对称轴为直线 ；④ 顶点坐标为 。其中正确结论的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 新知探究 知识点3 二次函数的图象 23 解析：画出抛物线 ，如图所示， 故①②④正确。 新知探究 知识点3 二次函数的图象 24 1.二次函数<m></m>的图象 问题提出 我们已经认识了二次函数<m></m>的图象和性质， 那么如何研究一般形式的二次函数<m></m>的图象和性质？ 如何确定它的对称轴和顶点坐标？ 问题解决 将<m></m>的右边配方，化成<m></m>的 形式，即将二次函数的一般式转化为我们熟悉的顶点式： 新知探究 知识点4 二次函数的图象 25 化二次函数的一 般式为顶点式 二次函数 归纳总结 二次函数<m></m>的图象的对称轴是直线<m></m>， 顶点坐标是<m></m> 。 新知探究 知识点4 二次函数的图象 26 2.二次函数<m></m>的图象的画法 二次函数的图象是一条抛物线，画二次函数图象的常见方法有两种: 描点法和平移法。 （1）描点法 ①把二次函数<m></m>化成<m></m>的形 式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；#10.2.1 新知探究 知识点4 二次函数的图象 27 ②一般地，选取的五个点为:顶点，与轴的交点以及 关 于对称轴对称的点，与轴的交点， ，若与 轴 没有交点，则取两个关于对称轴对称的点； ③用光滑的曲线将描出的点顺次连结。 示例： #10.2.3 新知探究 知识点4 二次函数的图象 28 （2）平移法 ①把二次函数<m></m>化成<m></m>的形 式； ②画出二次函数<m></m>的图象； ③将二次函数<m></m>的图象平移，使其顶点平移到点<m></m>的位 置。#10.3.3 新知探究 知识点4 二次函数的图象 29 3.二次函数 的图象特征 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 ， 对称轴 直线 新知探究 知识点4 二次函数的图象 30 典例5 已知二次函数 。 （1）说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 解：因为， ， 所以该函数图象的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 新知探究 知识点4 二次函数的图象 31 （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象， 并指出函数的图象是由函数 的图象经过怎样 的平移得到的。 新知探究 知识点4 二次函数的图象 32 描点、连线，二次函数 的图象如 图所示。 函数的图象可由函数 的图 象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到。 解：列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 新知探究 知识点4 二次函数的图象 33 （3）观察函数图象并回答下列问题： 该抛物线与轴的交点坐标为____________；当时， 的取值 范围是__________；当时， 的取值范围是____________。 ， 新知探究 知识点4 二次函数的图象 34 4.二次函数的图象特征与,, 的关系 . . 二次函数中， 的符号决定抛物线的开口 方向，的符号决定抛物线对称轴的大致位置， 的符号决定抛物 线与 轴交点的大致位置。#2.1 新知探究 知识点4 二次函数的图象 35 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 轴 同号 对称轴在 轴左侧______（简记为“左同右异”） 异号 对称轴在 轴右侧（简记为“左同右异”） 𝑐 𝑐=0 图象过原点 𝑐>0 与𝑦 轴正半轴相交 𝑐<0 与𝑦 轴负半轴相交 新知探究 知识点4 二次函数的图象 36 典例6 二次函数 的图象如图所示。给出下列结论： ；； ； 。其中正确的个数是 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 新知探究 知识点4 二次函数的图象 37 解析： 序号 分析 判断 ① ② 抛物线与轴交于正半轴上 √ ③ 观察图象 当时， √ ④ 观察图象 当时， √ 新知探究 知识点4 二次函数的图象 38 课堂小结 39 $