第5章特殊平行四边形 假期自主提升综合练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过概念辨析、动态探究等题型，融合几何直观、推理能力与运算能力，构建从基础到综合的知识逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1|概念记忆与辨析|从菱形/矩形/正方形定义到性质推导| |性质应用|单选2、填空8、10|勾股定理与分类讨论|性质与几何计算的结合| |综合证明|解答15、16|全等证明与判定定理|性质与判定的综合应用| |动态探究|单选5、6、7|折叠性质与最值思想|静态性质到动态问题的拓展|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》 假期自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列说法不正确的是（     ） A．菱形的对角线互相垂直 B．矩形的四个角相等 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 2．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．15 C．20 D． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 4．将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（     ） A．1.5 B．1 C．2 D．2.5 5．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 6．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为9的正方形中，动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点落在边上的点处（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．如图，长方形中，，，点Q是的中点，点P在边上运动，当是等腰三角形时，的长为_____． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为______． 10．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____． 11．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 12．如图，在菱形中，，，，分别为，，，的中点，连接，，，，若，，则菱形两条对角线的和为__________． 13．如图，在矩形中，E是的中点，将折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点H，若，，则的长为_________． 14．如图，在矩形中，点，，，分别在边，，，上，点在矩形内．若，，，，四边形的面积为5 cm²，则四边形的面积为__________ cm²． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，，平分，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 16．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边、交于点，连接、，若． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 17．如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)已知_________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：； 条件②：． 18．如图，在中，分别是、的中点，分别是对角线上的四等分点，顺次连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当__________度时，四边形是菱形； (3)若，四边形是什么特殊的四边形，并说明理由． 19．在正方形中，点E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E在边上时，__________； (2)如图2，连接，若，求证：点E是的中点； (3)若，当时，请直接写出的面积． 20．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 参考答案 1．C 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，选项A说法正确，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，则矩形的四个角相等，选项B说法正确，不符合题意； C、菱形的对角相等，邻角互补，四个角不一定相等，只有特殊的菱形（正方形）才满足四个角相等，选项C说法错误，符合题意； D、正方形兼具菱形和矩形的对角线性质，对角线互相垂直平分且相等，选项D说法正确，不符合题意． 2．D 【分析】连接，交于点O，由菱形可得，由勾股定理可得，即可解得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 3．A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 4．A 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 则． 5．A 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短和等积法进行求解即可. 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴， ∴， 连接， ∵于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为边上一动点， ∴当时，的值最小，即的值最小， 此时：， ∴， 解得， ∴的最小值为. 6．B 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合矩形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵点是对角线的垂直平分线上的一动点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是． 7．C 【分析】利用对称的性质，通过等边对等角，找到与的关系，通过等量代换即可证明①的结论；作，利用①的结论，证明和，从而求出的周长等于，证明②的结论；作，利用正方形的十字模型全等，得到，通过等量代换即可说明③的结论；通过比例关系得到和的值，通过勾股定理列方程求出，利用③的结论求出，面积公式求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 由折叠的性质，可知，， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴，①正确； 如图，作，连接， ∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴的周长为，②正确； 如图，作， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 由折叠的性质，，， ∴，③正确； 若， 又， ∴，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，④错误． 8．解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵点Q是的中点， ∴， 当是等腰三角形时， ①当时，过P作于点M，则，如图1所示： ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ②当时， 在中，， ∴； ③当时，以点Q为圆心，为半径作圆，与交于P、S两点，连接，如图2所示，过Q作，交于点N， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， 则，， 即P、S为满足条件的P点的位置， ∴或． 综上所述，的长为4或5或6或16． 9．解：延长交轴于点， 菱形中，轴， 又轴轴， 轴， 点的坐标为， ，， 在中，， 菱形中，， ， 即． 10．6 【分析】设交于点，根据矩形的性质证明，证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：设交于点， 矩形， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ． 11． 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．12 【分析】连接菱形的对角线，，根据三角形中位线定理得对角线，长度，求和即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别为，，，的中点， ，分别是，的中位线， ，， ，， ， 即菱形两条对角线的和为12． 13． 【分析】连接，先可证明，可得，设，则，，在中，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即． 14．8 【分析】由于四边形和四边形均为不规则图形，因此把它们先分割成规则图形，故连接，，而分割后的三角形的高也未知，因此分别设出和的高，进而四边形中的两个三角形的高也可以表示出来，最后借助四边形的面积求出四边形的面积即可． 【详解】解：如图，连接，，设在上的高，在边上的高，则在边上的高，在边上的高为． ，， ． ， ， 即． ， 　　　　　 　 　 　． 15．(1)证明见解析 (2)的长为10 【分析】（1）根据，平分，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质，得到，．利用勾股定理即可得到的长，再结合三角形中位线性质，可得四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点，如图， 由题意得，菱形的边长为13，对角线， ， 点、分别是边、的中点， ， 、是菱形的对角线， ， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ． 16．(1)四边形是菱形； (2)． 【分析】先根据矩形的性质和平行线的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形是平行四边形，然后通过垂直平分线的性质可得，所以四边形是菱形； 由得四边形为菱形，通过，，，，然后在中根据勾股定理求的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形，为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵，为对角线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（）得四边形为菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴的长为． 17．(1)见解析 (2)①，四边形是矩形；②，四边形是菱形 【分析】（1）证明即可； （2）选择条件①可证明四边形是矩形，选择条件②可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， E为的中点， ， ， ； （2）解：， 四边形是平行四边形， 若选择条件①：， 在中，， ， 平行四边形是矩形； 若选择条件②：， 在中，， ， 平行四边形是菱形． 18．(1)证明：连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的中点在上， ∵分别是对角线上的四等分点， ∴分别是的中点， ∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)； (3)四边形是矩形． 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，则的中点在上，又分别是对角线上的四等分点，所以分别是的中点，故为的中位线，通过中位线的性质可得，，同理可得，，然后通过平行四边形的判定方法即可求证； 连接，由四边形是平行四边形，可得，再证明四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，即有，再由菱形的判定方法即可求证； 由分别是对角线上的四等分点，则，，从而可得是的中位线，所以，则有，然后通过矩形的判定方法即可求证． 【详解】（1）略； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：四边形是矩形，理由如下： ∵分别是对角线上的四等分点， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 19．(1) (2)证明：由（1）可知：，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 作，则， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，即点是的中点. (3) 【分析】（1）证明，得到，证明为等腰直角三角形，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结果； （2）先证明为等腰直角三角形，作，三线合一，得到，证明四边形为矩形，得到，进而得到，得到，即可得证； （3）利用（1）中的部分结论，结合三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：作交的延长线于点，则， ∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴的面积. 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $