2026-2027学年高一上学期1.1 集合的概念 云南省高一暑期数学巩固提升

**基本信息** 以基础巩固为核心，通过"概念认知-理解应用-综合拓展"三层设计，构建从单一知识点到逻辑推理的递进路径，适配暑假预习中概念深化与能力初步培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|集合元素特征、表示法、常见数集记法|知识清单填空+单选题，强化符号意识与抽象能力| |理解应用|集合关系、元素性质、表示法辨析|多选题（伙伴关系集合）+填空题（集合运算），培养推理意识| |综合拓展|集合概念综合证明、实际问题建模|解答题（奇数归属证明、五边形边长问题），发展模型意识与创新意识|

1.1集合的概念 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 一、单选题 1．（26-27高一·全国·暑假作业）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】根据集合相等关系进行计算、利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 3．（26-27高一·全国·初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 二、多选题 4．（26-27高一·全国·暑假作业）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 5．（26-27高一·全国·暑假作业）直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求直线交点坐标、列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案. 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 6．（26-27高一·全国·暑假作业）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合是否相等、判断元素能否构成集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 7．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 三、填空题 8．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 9．（26-27高一·全国·暑假作业）设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 10．（2026高三下·吉林·竞赛）设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】以集合为基础，通过线性组合构造集合，分析该组合的取值范围与连续性，即可最终确定集合的元素个数. 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 11．（2026年全国高中数学联赛江西省预赛试题）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 12．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 【答案】14，15，16，16，17 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】分析可知有两条边长度相等，且5个和值的总和必为4的倍数，进而可得相等的和值为62，即可得结果. 【详解】设这个五边形的边长分别为，，，，，任取其中四条边求长度之和共可得5个和值， 但集合中只有4个元素，所以必有两个和值相等，可知有两条边长度相等. 5个和值的总和为，必为4的倍数. 因为， 又因为，，，， 只有为4的倍数，所以相等的和值为62. 所以，. 由，，，， 可得这个五边形的边长分别是14，15，16，16，17. 四、解答题 13．（26-27高一·全国·暑假作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法表示集合 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 14．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、自然语言表示集合 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 15．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【答案】(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. (4) 【知识点】判断元素与集合的关系、整数与整除 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1集合的概念 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、 、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、 、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 一、单选题 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 3．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 5．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 7．下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 三、填空题 8．已知集合，，则__________． 9．设，集合，若，则______. 10．设，则集合中的元素个数为______． 11．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 12．已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 四、解答题 13．用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 14．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 15．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $