河南漯河市临颍县综合高中2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一下数学期中卷聚焦三角函数、向量、立体几何等核心知识，通过解三角形、动态立体几何等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，实现基础巩固与能力提升的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|解三角形（1）、复数几何意义（2）、向量共线（3）|基础考点与图像情境结合，如第5题平行四边形向量分解| |多选题|3/18|三角函数图像性质（9）、三角恒等变换（10）|多选项分层考查，如第11题正方体动态轨迹问题| |填空题|3/15|向量投影（12）、模长计算（13）|结合几何图形，如第14题三角形中点数量积| |解答题|5/77|解三角形（15）、立体几何证明与探索（17）、四棱锥线面角（19）|多问递进设计，如17题从证明线面平行到探究存在性，体现逻辑推理与空间观念|

2025-2026学年高一下学期数学期中考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 2．若复数z满足，则复数可以是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．6 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 7．已知在中,内角所对的边分别为,,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 8．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数（其中）的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．直线与图象的所有交点的横坐标之和为 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________. 13．已知，||=1，且，则______. 14．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（12分）在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16．（15分）已知单位向量，的夹角为，向量，向量． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 17．（16分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．（17分）如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点. (1)求； (2)点在边上，若，求； (3)若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值. 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 数 学 第1页，共3页 数 学 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年高一下学期数学期中考试参考答案 1．D 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 2．D 【详解】因为复数满足，即复数对应的点Z到点的距离与到点的距离相等， 记点，点，即复数对应的点一定在线段的垂直平分线上，即在直线上，所以复数的实部一定是，所以复数可以是. 3．B 【详解】，， ， 解得：， 故选：B． 4．C 【详解】A．，是以为最小正周期，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故错误； B．是以为最小正周期，且在区间上单调递减，故错误； C．是以为最小正周期，且在区间上单调递增，故正确； D．是以为最小正周期，在处没有意义，故错误； 故选：C． 5．D 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 6．A 【详解】对于函数，令，解得：. 所以对称中心的坐标为． 取，此时对称中心为. 7．C 【详解】由,正弦定理可得； ∵这样的三角形有且只有一个,∴或； 故选C． 8．B 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 9．BD 【详解】由图可知，， 因为解得，所以， 又因为， 所以,解得， 因为，所以，所以， ，所以的图象不关于点中心对称，A错误； 解得, 所以当时，，所以在区间上单调递增，B正确； ，所以的图象不关于直线对称，C错误； 令即， 所以或， 即或， 因为，所以满足条件的所有的值为 所以所有交点的横坐标之和为，D正确， 故选:BD. 10．ABC 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 11．ABD 【详解】对于A，因为为底面内（包括边界）的动点， 所以点到平面的距离是2， 所以， 即三棱锥的体积为定值，所以A正确； 对于B，设，连接，当点为的中点时，，且∥， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面， 所以平面，所以B正确， 对于C，若，则点在以为直径的球面上，球心为的中点，半径为， 因为到平面的距离为2，且， 所以以为直径的球与平面无交点， 所以不存在点，使，所以C错误， 对于D，连接，因为点是的中点，点是的中点， 所以∥，， 因为∥，所以∥， 所以经过，，三点的正方体的截面为梯形， 因为，， 所以梯形的周长为， 即经过，，三点的正方体的截面周长为，所以D正确， 故选：ABD 12． 【详解】 ，因此是直角三角形，如下图所示： 过作，垂足为，因为，所以， 又因为为的中点，所以为的中点， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 13．2 【详解】由，得，将，代入得，解得. 故答案为：2 14．4 【详解】试题分析： 15．（1）；（2） 【详解】解：（1）中，， 根据正弦定理，得， 锐角中，， 是锐角的内角，； （2），， 由余弦定理，得， 化简得， ，平方得， 两式相减，得，可得． 因此，的面积． 16．(1) (2) (3)或 【详解】（1）若，则存在实数，使得，即， 且不共线，则，解得. （2）由题意可知：，， 若，则， 即，解得. （3）若，则，可得， 即，可得，解得或. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3） 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 18．(1) (2) (3)1. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，，. ，； （2）设，则. 因为，所以， 即，解得. 所以，，； （3）设，则. ，，，. 因为，所以，即. .当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为1. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $