2.1 函数的概念及其表示-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

当a=0时，x一2>0，不等式的解集为[2，十∞)； 当>0时，不等式化为(+日）水x-2)≥0，共解条为(-0， U2,+e: 当a0时，不华式化为(+）z-20. 因为2-+1=(x-）+>0, ①查-日<2，即a<-号时，不等式的解秦为[-日2]： ②当 =2,即a=-号时，不等式的解集为2： 1 由 得1x 1 ③当 >2：即-合<a<0时，不等式的解集为2-] x2-x+1 2-x+1 a 1-x 一x十1一x 1-x+1-x [例3](1)解析关于x的不等式ax2+br十c≤0的解集为{xx≤： =1, (-2+3=- 1 a 2/1-x)· -1 -2或x≥3}，故a0,且 整理得到b=一a,c= 1-x -2X3= 当且仅当1-2=己即=0时等号成主， -6a,对于Aa<0,正确；对于B,ax十c>0,即a(x-6)>0,解得 1-x x<6,正确：对于C,8a十4b+3c=8a一4a一18a=一14a>0,错 所以(2-+) =1, 误；对于D,cx2+b.x十a<0,即-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1 所以m≥1，即m的取值范围是「1，十©o). <0,解得-<<分，正瑞，故选ABD, (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x2-x+1)m十x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 答案ABD 令h(m)=(x2-x+1)m十x-3, (2)解析方法一显然a≠0： 令f(x)=a.x2+(a+2)x+9a, 因为-1=()+子0 11 当a>0时，f(1)<0,当a<0时，f(1)>0, 故af(1)<0,即a(11a+2)<0, 所以函数h(m)=(x2-x+1)m十x-3在(0,2)上单调递增， 2 则h(0)=x-3≥0，解得x≥3， 解得-<a<0. 所以x的取值范围为[3，十c∞) 方法二因为方程az2+(a十2)x十9a=0有两个不相等的实数！跟踪训练3 (1)[2,十∞）[方法一（画教法：当a=0时，原不等 根1，x2 式可化为<0，易知不合题意；当a≠0时，令f(x)=a.x2一x十a要满 所以1十2=-0十2， a0, a a0, （x1x2=9, 足题意，需 因为x1<1<x2 所以(1-1)(x2-1)<0, f(1)≥0 (>o 即1x2-(1+x2)+1<0, 则9+2+1<0，解得-异<a<0, 解得a≥之，所以实数a的取值范国是[侵十） 答案D 方法=（分离变量法）：ar2-x十a>0台ar2+a>x台a>2十 跟踪训练2(1)C[因为不等式az2+2x十c<0的解集是 00, 因为x∈(1，+o)2+1 1 <,所以a. 司)U(合+）所以-号和宁是方程a2+2z十c=0的两 x 1 2 〔2[-1,0]U[号】[变更主元法)地不等式的左瑞看浅关于a 2 =一 个实数根，由 0解得{a=12故不等式c2-2x 的函数，令g(a)=a.2-2a.x十x十3-a=(zx2-2x-1)a十x十3≥0，则 {c=2, 3 X2= 由g(a)≥0对于任意的a∈[-1,3]恒成立，得{)0，即 1g(3)0, +a≤0，即2x2-2x-12≤0，解不等式x2-x-6≤0，得-2≤x≤1 -2+3+40·解得 -1x4, 3,所求不等式的解集是[一2,3].] 3z2-5.x0, (2)(-∞，4)U[8,+∞)[因为a.z2+bhx十c>0的解集为(-2,4)，所 ≥号或0，所以实数z的取值范因为 以a<0,且对应方程的根为-2和4， -1ou[号 所以-合=-2+4=2，台=-2×4=-8，且a<0。 第二章函数 不等式是中<0可化为0如0，利g<0,印 4一x §2.1 函数的概念及其表示 ≤0，解得x<4或x≥8.] 8-2K-1或2<3[原不等式等价于2>0，必童知点整合 !1.唯一确定 {x2-x-2≤4,21)定义域对应关系值域(2)定义域 即1一20解得{≥2或-1故原不等式的解集为z 对应关系 {x2-x-6≤0,1 {-2≤x3. :3.解析法列表法 -2≤x<-1或2<x≤3}.] :[自主诊断] [例4]解(1)不等式f(x)<1, 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 即m.x2-(m-1)x十m一2<0， :2.A[根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数 当m=0时，x一20，解得x<2,不符合题意： 值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A 当m≠0时，有C0. 不是函数图象.] 1△=[-(m-1)]2-4m(m-2)<0, 3.AC[f(x)=√一x3与g(x)=x√一z的值城不同：f(x)=x与 解得m<3-2 g(x)=√=|z的对应关系不同，故BD错误，AC正确.] 3 综上所迷，m的取值范国为-，3一25) 8a4)=或0=5.年释a=1或 :4.1或-1[由题意得a≥0， 3 -1.] 395 关键能力·突破 [例1门1)解析对子A,由题意1≠0·解得x≥0，A正确； 16,ab+b=5,解得a=4,b=1或a=-4,b= 号（不合题高，含 .x≥0， 去).因此f(x)=4x十1. 对于B,由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，B解析由分段函数的定义知，(x)的定义城是（一1， 正确； 十o),所以a>0.①当0<a<1时，-1<a-1<0,则f(a)= 对于C画数y号的定义城为(-0，-1DU(-1,十)画 fa-1D可化为2a=瓜，解得a=子，所以(）=40=8 数y=x一1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数，C! ②当a≥1时，a-1≥0，则f(a)=f(a一1)可化为2a=2(a一1)， 错误； 方程无解.故选D. 对于D,函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x! 答案D 的值一定不同，D正确. (2)解析方法一当x≤一1时，x十1≤0,2x≤一2，f(x十1)= 答案ABD 1,f(2x)=1,则f(2x)>f(x+1)不成立；当一1<x0时，x+ (2)解析因为一2≤x3,所以一8≤3x一2≤7，所以f(x)的定 1>0,2x≤0，f(x+1)=3x+1,f(2x)=1,由f(2x)>f(x+1),得 义域为[一8,7]，要使f(2x十3)有意义，需满足一82x十37， 3+1<1=3°，则x<-1,与-1<x≤0矛盾，舍去；当x>0时， 解得-号<x≤2，所以函数2x+3)的定义接为[一号，2] x+1>1,2x>0,f(x+1)=3x+1,f2x)=32x,由f(2x)>f(x+1), 答案【] 得32x>3+1,则2x>x+1,得x>1.综上，满足f(2x)> f(x十1)的x的取值范围是(1，十o). 跟踪训练1(1)C[对于A,值域为[0,2]，不符合题意：对于B,值 方法二画出f(x)的大致图象，如图所示.若f(2x) y /f(x) >f(x+1),则2x>0>x+1或2x>x+1>0,解 域为1,2]，不符合题意；对于C,值域为1,2}，符合题意；对于D, 一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意.故· 得x>1.] 答案B 选C. (2)ABC[对于A,因为函数y=2x(x∈N)的定义战为N,所以 跟踪训练3(1)B[当f(x)=2时，若x0,则有 其图象是由离散的点（整点，横坐标和纵坐标都是整数）组成的，· 2x=2,解得x=一1；若x>0,则有lnx=2,解 A错误；对于B,因为要使√2一x与√x一3有意义，则 得x=e.即由f(x)=2可得x=一1或x=e2,不一定能推出x= 一1，故“f(x)=2”不是“x=一1”成立的充分条件；反之，当x=一1 2之0不等式组无解，所以由函数的定义可得f(x)= 时，代入解析式可得f(一1)=2，即“f(x)=2”是“x=一1”成立的必要 x-3≥0， 条件，综上，“f(x)=2”是“x=一1”成立的必要不充分条件.] √x一3+√2一x不是函数，B错误：对于C,由f(x)的定义域为 (-1,2)可得-1<x+1<2,即一2<x<1,故f(x+1)的定义域 2(-+） [由题意知，当x≤0时，x十1≤1，f(x)<f(x 为(-2,1)，C错误；对于D,两函数的定义域都是(-0,0)U(0, 十○)，且对应关系相同，故这两个函数是同一个函数，D正确.] +1)曰2-1<(x+1)2-1,解得-号<≤0.当0<≤1时z [例2]解(1)（换元法）设1-sinx=t,t∈[0,2]， 则sinx=1一t, +1>1,此时f(x)=x2-1≤0，f(x+1)=log2(x+1)>0.所以 'f(1-sin z)=cos2x=1-sinz. 当0<x1时，恒有f(x)<f(x十1).当x>1时，f(x)< ∴.f(t)=1-(1-t)2=2t-t,t∈[0,2] f(x+1)曰log2x<1log2(x+1)恒成立.综上可知，f(x)<f(x+1) 即f(x)=2x-x2(0x2). 的解集为(-2，+∞）] ②配法)f(2+）=+=(2+)-2 §2.2函数的单调性与最值 又2+2=2 必备知识·整合 11.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升 当且仅当x2=,即x=士1时等号成立. 下降(2)单调递增单调递减 22 2.f(r)<M f(zo)=M f(z)M f(o)=M 设1=2+3，则≥2∴0)=-2≥2. :「自主诊断] 11.(1)×(2)×(3)/(4)X .f(x)=x2-2(x≥2). 2.C[f(x)在[一4，一1门上单调递减，在[一1,1]上单调递增，[1， (3)(待定系数法)，f(x)是一次函数， 3]上单调递减，故A不正确：f(x)在(-1,3)上的最大值为3，无 可设f(x)=ax十b(a≠0)， 最小值，故B不正确：f(x)在[一4,1]上有最小值一2，有最大值 .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 3,故C正确：当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时， 即a.x+(5a十b)=2x+17, 一1t2,故D不正确.门 ∫a=2, }5a+b=17,解得二2， b=7. 3.B[令1=x2-ax+3,易知1在(-0，受）上单调递减，在[受， .f(x)=2z+7(x∈R). (4)(解方程组法)，f(x)一2f(一x)=9x+2, ①4 十c∞】上单调递增， ∴.f(-x)-2f(x)=9(-x)+2, ② 由①十2×②得一3f(x)=一9x+6, 因为y=logt为增函数，所以根据复合函数的单调性得%≥1， ∴.f(x)=3x-2(x∈R). 且1一a十3≥0（注意区间端点取不到），解得2≤a≤4，故a的最 跟踪训练2(1)x2一4x十3(x≥1)[方法一（换元法）：令t=√x+1, 大值为4.故选B.门 则t≥1，x=(t-1)2, 代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, 4合号)的定义战是o,+ej2x-1≥0，即x≥ 所以f(x)=x2-4x十3(x≥1). 又f是定义在[0，十0)上的减画数，“2x-1<号，即x< 方法二（配凑法）：fW+1)=x十2√+1-4√元-4+3=（√+1）2 一4(W/x+1)+3, 子则的取位花周为合号)门 因为√五+1≥1，所以f(x)=x2一4x十3(x≥1).] 关键能力·突破 2)-号-[为)-2(2）-=2,0 4 ,x2,x>1, [例1]解析由题意知g(x) 0,x=1,该 以代中的x,得f(）-2x)=回 -x2,x<1, 函数图象如图所示，由图象知，函数g(x)的单 ①+②×2得-3f(x)=2x+立 4 调递增区间（一∞，0），(1，十∞). 答案(-0,0)，(1，十0) 所以)=子] 2 :[例2]解方法一定义法 设-1<x1<x2<1, (3)4x十1[因为f(x)为单调递增的一次函数，所以设f(x)=a.x十 b,a>0,故ffx)=a(a.x+b)+b=a2x+ab+b=16z+5,所以a2=i 周为=a中=+小 x-1 396第二章函数 §2.1函数的概念及其表示 【课标要求】1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. D必备知识·整合 夯实基础回归教材>》> 1.函数的概念 :2.以下图形中，不是函数图象的是 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系 f,在集合B中都有 的数y和它对应，那 么就称∫：A→B为从集合A到集合B的一个函 ;; 数，记作y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： D 3.(多选)（人教A版必修第一册P72习题3.1T2 (2)如果两个函数的 相同，并且 改编)下列各组函数是同一个函数的是() 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也 A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1 相同，那么这两个函数是同一个函数， B.f(x)=√-x3与g(x)=√一元 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 C.fx)=￥与g()= D.f(x)=x与g(x)=√ 4.分段函数 4.(人教A必修一P101T7改编)已知函数f(x) 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不 x(x+4),x≥0， 若f(a)=5,则a= 同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称 x(x-4),x<0, 为分段函数 【微点提醒】 【自主诊断】 防范四个易错点 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 (1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析 “X”) 式进行变形，以免引起定义域的变化， (2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原 (1)f(x)=√x-3十√2-x是一个函数.( 函数和定义域求出新变量的范围， (2)函数就是定义域到值域的对应关系.() (3)f(p(x))的定义域是指x的取值范围而不是 (3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对 p(x)的取值范围 应是从A到B的函数， ( (4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知 (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这 函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范 两个函数是同一个函数 ( 围而出错。 19 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 口关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一函数的概念 (2)(多选)下列命题中是假命题的是 () [例1](1)（多选）下列选项中正确的是 A.函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线 A函数/)=十-G的定义城为0，十o) B.f(x)=√x-3十√2-x是函数 B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.若函数∫(x)的定义域为（一1,2），则函数 C函敢y-号与函数y一1表示同-个函数 f(x十1)的定义域为(0,3) D.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同， D.f)=x+和g)=什是同-个函数 则自变量x的值一定不同 题型二 函数的解析式 (2)(2026·邢台调研)若函数f(3x一2)的定义域为 例2](1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(x)的 [-2,3],则函数f(2x+3)的定义域为 解析式； [听课记录] (②)已知(2+)=+求f(x)的解 析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)一2f(x-1) +/思维升华/+ =2x十17，求f(x)的解析式； 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (4)若对任意实数x,均有f(x)一2f(一x)= (1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空 9x+2,求f(x)的解析式 的实数集；②第一个集合A中的每个元素在 [听课记录] 第二个集合B中有且只有一个元素与之 对应 (2)两个函数满足定义域和对应关系相同 时，才是同一个函数 跟踪训练1(1)(2026·日照模拟)已知A={x 0≤x≤2)，B={1,2},下列图形能表示以A为定 义域，B为值域的函数的是 +/思维升华/++++++++++++++ 函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法. (4)解方程组法。 精品教辅·智慧人生 20 第二章函数 跟踪训练2(1)已知（√+1）=x-2(,则 +/思维升华/++ f(x)= 分段函数的几类题型及解决方法 (2)已知f(x)满足f(x)-2f(》 =2x,则 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条 f(x)= 件选择相应区间上的解析式代入求参. (3)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足 ; (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区 f(f(x))=16.x+5,则f(x)= 间的范围对自变量进行分类讨论，再求值. 题型三分段函数与方程不等式 (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主 [例3](1)(2026·烟台模拟)函数(.x)= 要表现为解不等式，当自变量取值不确定 Wx+1,-1<x<0, 若实数a满足f(a)=f(a 时，往往要分类讨论求解；当自变量取值 2x,x≥0， 确定，但分段函数中含有参数时，只需依 D.则（日）= ( 据自变量的情况，直接代入相应解析式求 A.2 B.4 C.6 D.8 ,1,x≤0， (2)(2026·包头调研)设函数f(x) 则 2 ,x≤0， 3r,x>0, 跟踪训练3(1)已知函数(x)= (Inz,x>0, 满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是( ) 则“f(x)=2”是“x=一1”成立的 ( A.(-1,0) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(-1,1) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 [听课记录] C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2026·昆明诊断)已知函数f(x)= log2r>1, 则f(x)<f(x十1)的解集为 x2-1,x≤1， 温馨提示 请做课时分层检测（七） 21· 精品教辅·智慧人生