1.3 等式性质与不等式性质-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §1.3等式性质与不等式性质 【课标要求】1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用. 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 1.两个实数比较大小的方法 (2)若2>1，则b>a. a-b>0a b, (1)作差法 a-b=0台a b,(a,b∈R). a-b<0-a b >1(a∈R,b>0)a (4)若a<b<0,则1<1 a2m6(n∈N*). b :2.(多选)下列命题为真命题的是 (a∈R,b>0), A.若ac2>bc2,则a>b (2)作商法 a=1-a b(a,b≠0)， B.若a>b>0,则a2>b2 <1(a∈R,b>0)=a C.若a<b<0,则a2<ab<b b (a∈R,b>0). D.若a<b<0,则1>1 2.等式的性质 3.设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与 性质1对称性：如果a=b,那么 N的大小关系为 ( 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 A.MN B.M=N 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a士c= C.M<N D.无法确定 b士c; 4.(人教B必修一P81习题2一2BT3改编)已知 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; a∈(1,3)，b∈(2,3)，则a-2b的取值范围是 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么 3.不等式的性质 【微点提醒】 性质1对称性：a>台→ 1.熟练应用两个倒数性质 性质2传递性：a>b,b>c→ 性质3可加性：a>b台a十c>b十c; (1)a<0<b1<1 性质4可乘性：a>b,c>0→ ;a>b;c 0→ ； 2a>0a>td<6 性质5同向可加性：a>b,c>d→ :2.牢记四个常用不等式 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ 若a>b>0,m>0,则： (1)b<b+m 性质7同正可乘方性：a>b>0→a">b"(n∈N, 'aa十m n≥2). (2)2>b-m(6-m>0): a a-m 【自主诊断】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 (3)a+m bb十m “X”) (1)若a>b,则ac2>bc2. (④号<8bm>0. 精品教辅·智慧人生 8 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 D关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一数（式）的大小比较 11 C.若<a<0,则 a [例1](1)若a>b>1,P=aeb,Q=be“,则P,Q D.若a>b,c>d,则ac<bd 的大小关系是 ( A.P>Q B.P=Q (2)2025·全国卷，4,5分，易)不等式二>2的 C.P<Q D.不能确定 解集是 (2)(2025·衡阳联考)已知M= e202+1,N= A.{x|-2≤x≤1} e2025+1 B.{xx≤-2} 。25+1,则M,N的大小关系为 e2026+1 C.{x|-2≤x<1} D.fl>13 [听课记录] [听课记录] +/思维升华/++++++ +/思维升华/++ 比较大小的常用方法 判断不等式的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出 (1)利用不等式的性质逐个验证. 结论。 (2)利用特殊值法排除错误选项， (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的 (3)作差法. 大小关系；④得出结论. (4)构造函数，利用函数的单调性。 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小 十+十++++++十++十+十+十+十++十+ 跟踪训练2(1)设a,b∈R,则“a<b<0”是 跟踪训练1(1)已知c>1,且x=√+I-√， y=一√-1，则x,y之间的大小关系是( >的 A.x>y A.充分不必要条件 B.x=y B.必要不充分条件 C.x<y C.充要条件 D.x,y的关系随c而定 D.既不充分也不必要条件 (2)(2026·上海调研)如果x<0,0<y<1,那么 (2)(多选)(2025·毫州联考)若<<0，则下 兰名，的大小美系是 列不等式正确的是 ( 题型二不等式的基本性质 A.- 11 :a-b-ab [例2](1)（多选）已知实数a,b,c,d,则下列命题 B.|a|+b>0 中错误的是 A.若a>b,则ac>bc C.a-- >6 a B.若a>b,c>d,则a-c>b-d D.In a2>In 62 9 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 题型三不等式性质的综合应用 +/思维升华/++++++++++++++ [例3](1)（多选）(2026·济宁摸底)已知-2< 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 a+b<4,2<2a-b<8,则下列不等式不正确 (1)必须严格运用不等式的性质 的是 (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大 A.0<a<4 变量的取值范围，解决途径是先建立所求范 B.0<b<2 围的整体与已知范围的整体的等量关系，然 C.-6<a+2b<6 后通过“一次性”不等关系的运算求解范围， D.0<a+2b<8 跟踪训练3(1)已知2<a<3,-2<b<-1,则 (2)(2026·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园 2a一b的取值范围是 () 的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积 A.[6,7] B.(2,5) 之比.已知某公园的面积为am2,绿化面积为 C.[4,7] D.(5,8) bm2(0<b<a),现对该公园再扩建2xm2,其中 (2)(2026·浙江丽水期末)为了加强家校联系， 绿化面积为xm2,则扩建后公园的绿化率与原来 王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的 公园的绿化率相比 QQ群，已知该群中男学生人数多于女学生人数， A.变大 B.变小 女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人 C.不变 D.不确定 数，教师人数的两倍多于男学生人数，则该QQ [听课记录] 群教师人数的最小值为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 温馨提示 请做课时分层检测（三） §1.4 基本不等式 【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题， 必备知识·整合 夯实基础回归教材> 1.基本不等式Wab≤0+b :2.几个重要的不等式 2 (1)a2+b2>2ab(a,b∈R)； (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号 (2)2+公≥2(a,b同号且均不为零)： 当且仅当 成立 3ab≤（a,bR: a=b时 (3)其中 叫做正数a,b的算术平均数， 等号成立 叫做正数a,b的几何平均数， 9 精品教辅·智慧人生 10S1.2常用逻辑用语 解析因为命题p:Hx∈R,a.x2十2x十3>0为真命题， [自主诊断] 所以不等式ax2+2x十3>0的解集为R. 1.(1)/(2)/(3)√(4)X 若a=0,则不等式ax2+2x十3>0可化为2.x十3>0→x>一 3 2.C[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p: Hn∈N*,n2>n-1的否定力为“3n∈N*,n2≤n-1”.] 不等式的解集不是R:若a≠0，则有之0： 解得 3.C[根据x>0,y>0,由不等式的性质，“x2>y2”能推出“x>y”,即 、 1△=22-12a<0, 充分性成立：反过来，“x>y”能推出“x2>y2”,即必要性成立.] 4.[3,十o)[x∈A是x∈B的必要不充分条件，.BA,.a≥ a73 3,即a的取值范围为3，十o). 关键能力·突破 综上可知，>子故选D [例1](1)解析由a十b=0,得a十b=0,.a=一b,即a∥b: 答案D 由a∥b得a与b的方向相同或相反，且模不一定相等， (2)解析由题意得不等式a.x2-az十1>0对Hx∈R恒成立. .a十b=0不一定成立 ①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意： ∴.“|a十b=0”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A ②当a≠0时，若不等式ax2-a.x十1>0对x∈R恒成立，则 答案A 4=a2-4a<0,解得0<a<4, a>0, (2)解析已知A,B为两个等高的几何体，由祖胞原理知q→，： 而饣不能推出g,可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒· 综上，实数a的取值范围是L0,4) 置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不 答案「0,4) 一定相等，则力是g的必要不充分条件。 1跟踪训练3(1)AD[对于A,“Hx∈R,3.x2一2≥0”的否定是 答案C “3x∈R,3z2-2<0”,故A正确；对于B,log3（2x+1)>2即 跟踪训练1(1)AC[由ab十b一a一1=0，可得(a+1)(b-1)=0, log3(2x+1)>log39,解得x>4,因为x>4→x>3,且x>3力x> 解得a=一1或b=1.故选AC.] 4,所以“z>3”是“log3（2x十1)>2”的必要不充分条件，故B错误； (2)C[由定义在R上的函数f(x)满足f(一x)一f(x)=0,得函： 对于C,命题的否定是假命题，则命题“3x∈R,x2十(a一1)x十1< 数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，十)上单调递减，因此 0”是真命题，即△=(a-1)2一4>0，解得a>3或a<-1,故C错 fa)>f(b)台f|a)>f(|b)台|a<|bl台a2<b,所以“a2< b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件.] 误：对于D,因国为“Yz∈R,2a2十ax-尽≤0”是真命题，即2a2 [例2](1)解由不等式x2-x一12=(x-4)(x十3)≤0，解得-3≤1 十ax一 x4,可得A={xx一3x4}, ≤0对Yx∈R恒成立.当a=0时，命题成立；当a≠0 8 由不等式x2-2x十1-m2=(x-m-1)(x十m-1)≤0(m>0),解得： 时，∫a<0, 1一m≤r1+m, {4=2+3a≤0，解得-3≤a<0,综上可得，-3≤a≤0，故D 正确.门 所以B={x1-mx1+m,m>0}. 11一m-3, (2)(一4,0)[方法一若p为真命题，即3x∈R,z2一mx一m≤0， 若选择条件①，则集合A是B的真子集，得)m十1≥4，解得 所以△=m2十4m≥0，所以m≥0或m≤一4，所以当力为假命题 （7m0, 时，一4<m0. 7m≥4. 方法二因为力为假命题，所以？p:Hx∈R,x2-m.x一m>0为 当m=4时，B={x-3≤x≤5}，A年B,符合题意. 真命题，即△=m2+4m<0,所以-4<m<0.] /1-m≥-3， §1.3等式性质与不等式性质 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得)m十1≤4，解得 m>0, 必备知识·整合 0<m3. 1.(1)> =(2)>= 当m=3时，B={x一2≤x≤4}，则B手A,符合题意. 2.b=aa=c 若选择条件③，则集合A=B,得 1-m=-3, 3.b<aa>c ac>bc ac<bc a+c>b+d m十1=4，无解，所以不存在满足条件③的实数. ac>bd (m>0. :[自主诊断] (2)解析由已知得7p:一3≤x≤1,7q:x≤a :1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 设A={x-3≤x≤1}，B={xx≤a}, ;2.ABDC中，若a=-2,b=-1,则a2>ab>,故C错误.] 若7p是？g的充分不必要条件，则一→一q,一中7力， :3.A[因为M-N=(2a2+5a+4)-(a+1)(a+3)=a2+a+1= 所以集合A={x一3≤x1}是集合B=《x|z≤a}的真子集， (a+2)+>0,所以MDN] 11 所以a≥1. 答案[1，十∞) !4.(-5,-1)[由b∈(2,3)得-6<-2b-4,又1<a<3,故-5 跟踪训练2”1)A[由1og(红-1)<m,得0<x-1<2,即1<关键能力，突破 <a-2b<-1.] <2"十1.由二>1，得0<2<2.若p是g的充分不必要条件，则 2m十1≤2，解得m≤0.故选A.] [例解析p,Q作商可得。令)上三则 Q bea x (2)(一∞，0)[因为a是B的充分不必要条件，所以{x|-1< x<0}是{xm-1<<-3m的真子集，则{m1.1,(不同时 -3m≥0 f(x)=c(D,当x>1时，f(x)>0,所以f(x)=g在(1， 取等号)，解得m<0,所以实数m的取值范围是（一c,0).] 22 [例3]解析对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方！ 十∞)上单调递增，因为a>b>1,所以g 形”是全称量词命题，故A正确； <号又>0，>0 对于B,由全称量词命题的否定知其否定是“3x,y∈R,x2十y2< e 0”,故B正确： 所以 P=b<1,所以P<Q.故选C 对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数！ Q ea 都能被3整除”，故C错误： 对于D,因为A=B时，sinA=sinB成立，而sinA=sinB时， 答案C A=B不-定成立，如A=音，B=号，放A=B是“sinA=inB （2)解折方法-M-N=三0士1脑+！ e2025+1e2026+7 的充分不必要条件，故D错误. (e2024+1)(e2026+1)-(e2025+1)2 答案AB (e2025+1)(e2026+1) 390 =-e204+e2025-2g202s b)十n(2a-b),则a十2b=(m+2n)a+(m-n)b,所以 (e2025+1)(e2026+1) 5 e2024(e-1)2 (m=3' 1=m+2所以) (e2025+1)(e2026+1) >0, 2=m-n, 1 .M>N. n=-3' 方法二令f(x)=c+1 所以a十2b= 号(a+b)-}(2a-b),因为-2<a+6<4,所以 e+1+1 (c+1+1)+1-1 9<号a+6<号因为2<2a-K8,所以-号<-子(2a 、e e e+1+1 0<-号所以-6<a+2b=号a+0-子(2a-0<6:故C正 1- 1 确、D错误.故选BD. =1 e 答案BD ee+1+ 显然f(x)是R上的减函数， (2)解析原来公回的绿化率为名，扩建后公四的绿化率为 ∴.f(2024)>f(2025),即M>N. 答案M>N 则h叶工6=6十a十22a2器，所以 a+2.x a+2x a(a+2x) 跟踪训练1(1)C[方法一由题设，易知x>0,y>0,又名=； y 什二与么的大小与a,2b的大小有关，故扩建后公国的绿化率 a+2x 年-E-E+巨<1，…x<y 与原来公园的绿化率的变化情况不确定. WE-√c-I√/e+I+√E 答案D 方法二设f(x)=√五-√-I,定义域为[1，十∞)，则f(x)= 跟踪训练3(1)D[由题意可知4<2a<6,1<-b<2,所以5< 2a-b8. 厅+后，故f代)为减函数，又c+1>c>1,则f(c+1D)< (2)B[设男学生、女学生人数分别为x,y,教师人数为，家长人 T>y: f(c),即z<y.] 2)2>2>1 数为m,其中，y,,m都是正整教，由题意，得y之m·即<m [方法一因为三个式子的值很明显都是负： m义， x 2x>x, y <y<x<2之.由于m,x,y,必，都是正整数，所以22之一≥4，即≥ 教，且三-)(01，听以兰>士：同里子=y01.所以兰> 4.当之=4时，m=5,y=6,x=7,2x=8,满足不等式，所以教师人 数的最小值为4.] x 2 §1.4基本不等式 上<< x x 必备知识·整合 方法=周为兰--y>0,所以兰>义：因为义 1 √ab x x 1.(2)a=b(3)a+b 2 =>0,所以>所以兰>义>] x 3.12D(2)4S [例2](1)解析对于A,当c=0时，ac=bc,故A错误； :[自主诊断] 对于B,不妨取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但：1.(1)×(2)×(3)×(4)× a-c=b-d,故B错误； 时于C,若6<0，则-b>a>0,所以号b。则方> 2.C[当x>2时，x-2>0,f(x)=（x-2)+-2+2≥ 故C正确： 2-2》:+2=4,著且仅当x-2=2x>2)甲x 对于D,取a=3,b=一5，c=1,d= 2,此时ac>bd,故D错误. 3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x=3,即a=3.] 答案ABD :3.BC[当<0时，A不成立：当b<0时，D不成立.] (2)解析 由号≥2，得导≥0，当≤0，所45+6+-（仕+》2+）=5++号≥5+ x-1 以0x十2)(x-1)≤0， x y x一1≠0， 解科-2之1，所以原不等式的解集为一2≤x<1.故选C关键能力·突破 26,当且仅当-号即xy=3时等号成立门 y 3 答案C 跟踪训练2(1)D[充分性：由a<b<0,可得-a>-b>0,则[例1](1)解析对于A,因为a,b为正实数，a2十2≥2ab,所以 ()2>(-02>0,即a2>0>0.两边同泰可得}<， 2G+)≥a+6,故≥a+,即空≤√号产. 1a2+62 2>，但不 不满足充分性；必要性：取特殊值a=1,b=2,满足马>1 当且仅当a=b时取等号，故A正确；对于B,由于a>0,b>0,所 满足a<b<0,不满足必要性，所以“a<b<0"是“1>号"的既不 以a+日≥2，当且仅当a=日脚a=1时取等号，6叶古≥2，当 充分也不必要条件.门 且仅当6=6，即6=1时取等号：故(+日)·(b+合)≥，当 (2)AC[由是<石<0.可知bCa<0.A中，因为a+0,a6> 且仅当a=b=1时取等号，故B正确；对于C,a,b为正实数，则a2十 60,b>0,则 0,所以1 方二1，故A正确B中·因为 ≥2.故a+b≥a6,即a+0a+b≥ad,故中。<中. ab 当且仅当a=b时取等号，故C错误：对于D,因为a,b为正实数， a<0,所以一b>-a>0,故-b>|a,即|a|+b<0,故B错误；C! 中，因为6a<0,又日<<0，则-合>->0，所以a- 所以兰十>26，号+6≥2，两个不等式均当且仅当a=6时，等号 a >6-方，故C正确D中，因为a<0,根搭y=2在(-00,0) 成立，收会+号+6叶≥2叶2a,脚会+号≥a+6故D正确， a 答案ABD 上单调递减，可得仔>a2>0,而y=lnx在定义城(0，十o)上单 (2)解析0<a<b,∴.2b>a十b, 调递增，所以ln仔>lna2,故D错误.] b>十√a而. [例3](1)解析对于A,因为一2<a十b<4,2<2a一b<8,所以 2 -2+2<a+b+2a-b<4+8,所以0<3a<12,所以0<a<4,故 b>a>0:.ab>a2,..aba. A正确；对于B,因为2<2a一b<8,所以一8<b一2a<一2，因为 -2<a+K,所以-长2☑+2<8，因为{8名28所以 故b>ab>√ab>a. 答案C 123b<6,所以一4<b<2,故B错误；对于CD,设a+2b=m(a+1 391