第1卷 集合与充要条件 2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦集合与充要条件，以“一考一讲”模式实现检测-讲解-巩固闭环，覆盖概念、运算及条件判断，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的概念与表示|单选1-3、填空11|结合具体元素（如单词字母、方程解）考查元素特性、表示方法|从集合定义（确定性、互异性）到列举法表示，形成概念认知链| |集合间的关系与运算|单选4-7、填空12-14、解答16-17|含参数集合关系判断、交并补运算及子集个数|由集合包含关系推导参数范围，通过运算深化集合间逻辑联系| |充要条件判断|单选8-10、填空15、解答18|结合不等式、集合关系考查条件判断及参数范围|从定义出发，通过集合包含关系转化条件判断，培养推理能力|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合中只有一个元素，那么实数 的取值为（    ） A．0 B． C．0或 D．4 3．由单词student的所有字母组成的集合中的元素个数（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 4．已知集合，且，则等于（ ） A．1 B．0 C． D． 5．设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 或 6．已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 7．已知集合，集合，则等于（　　） A． B． C． D．或 8．“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．用列举法表示集合为_________. 12．已知a为常数，集合，，且，则实数a的取值范围是______． 13．已知集合，，若，则实数的取值集合是_____ 14．设集合，则集合的子集个数为____________ 15．若对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，则“”是“”的_____________条件． 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知集合，． (1)求； (2)已知全集，求． 17．已知集合，或 (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 18．已知集合， (1)当时，求， (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数集的概念和空集的概念依次判断选项即可. 【详解】A选项中，表示正整数集，，故A错误； B选项中，表示有理数集，，故B错误； C选项中，空集是不含任何元素的集合，，故C错误； D选项中，R表示实数集，，故D正确. 故选：D. 2．已知集合中只有一个元素，那么实数 的取值为（    ） A．0 B． C．0或 D．4 【答案】C 【分析】由题意，分为，两种情况分类讨论可得答案. 【详解】当时，，符合题意； 当时，若集合中只有一个元素， 则有两个相等的实根， 则，解得， 综上，实数 的取值为0或. 故选：C. 3．由单词student的所有字母组成的集合中的元素个数（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【分析】根据集合中的元素具有互异性判断即可. 【详解】因为单词student的所有不同的字母有s，t，u，d，e，n共6个， 所以组成的集合为共6个元素. 故选：B 4．已知集合，且，则等于（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由子集的概念即可计算. 【详解】由且，可得，解得. 故选:C. 5．设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 或 【答案】B 【分析】由已知得到或，求出后分别验证得答案． 【详解】∵，∴或. 当时，，此时，，，不符合题意. 当时，,时，，不符合题意，舍去. 时，，，符合题意. 所以. 故选：B. 6．已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件判断出，然后对进行分类讨论，最后结合集合元素的互异性求解. 因为，所以，即中的所有元素都必须属于， 又因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则，，不满足集合元素的互异性， 综上所述，. 故选：B. 7．已知集合，集合，则等于（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，可得，，根据补集、交集的概念及运算，先求，再求即可. 【详解】由，可得， 解得，所以； 由，可得， 解得，所以； 所以或，. 故选：A 8．“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的解法，结合充分、必要条件的定义分析求解即可. 【详解】由的解集为可得：①当时，恒成立； ②当时，则解得：， 综上，的取值范围为， 所以当 时，一定有不等式的解集为 ，即充分性满足； 但当不等式的解集为时，不一定有，还可能， 即必要性不满足； 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件. 故选：A. 9．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由已知结合集合的包含关系检验充分及必要性即可. 【详解】充分性： 当时，集合，此时满足；故“”是“”的充分条件； 必要性： 因为集合，当时，或，所以或；当时，符合题意，当时，符合题意， 故“”是“”的不必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 10．若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件与集合的包含关系，列不等式组可求解. 【详解】不等式等价于：， 由题意得：“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，且， 所以，且等号不能同时成立，解得， 即实数m的取值范围是. 故选：B 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．用列举法表示集合为_________. 【答案】 【分析】将集合用列举法表示出来即可 【详解】将集合中元素一一列举出来为：. 故答案为：. 12．已知a为常数，集合，，且，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据列不等式求解即可. 【详解】已知集合，， 由可得，，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．已知集合，，若，则实数的取值集合是_____ 【答案】 【分析】首先由一元二次不等式的解法确定集合，再分别讨论三种情况是否满足即可. 【详解】已知集合， 因为集合满足不等式，即， 当时，与无交集， 不满足， 当时，，满足， 当时，，要使，即， 则有，即，此时， 综上所述，实数的取值集合是. 故答案为：. 14．设集合，则集合的子集个数为____________ 【答案】16 【分析】根据常见数集求出集合的元素，再根据元素的个数求出子集的个数即可. 【详解】要使为自然数，必须是12的正约数， 而12的正约数有1，2，3，4，6，12， 又因为，所以，因此可取3，4，6，12，对应， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 因此集合，进而集合的子集个数为. 故答案为：16. 15．若对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，则“”是“”的_____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】取，满足“”，但，即，充分性不成立； 如果，则且，那么和的整数部分是相同的， 所以，所以必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知集合，． (1)求； (2)已知全集，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）解一元二次不等式，可得集合，再根据并集的概念及运算可求解； （2）根据交集、补集的概念及运算可求解. 【详解】（1）由，可得， 解得或， 所以或； 由，可得， 解得， 所以. 所以或或； （2）由（1）可得， 或. 又， 所以或. 17．已知集合，或 (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据列不等式求解即可. （2）由得，，再由包含的关系列不等等式求解即可. 【详解】（1）已知集合，或， 由，得，解得， 所以a的取值范围为. （2）由得，， 则或， 解得或. 所以a的取值范围为或. 18．已知集合， (1)当时，求， (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)将代入，根据交集、并集的定义求解即可； (2)由题意可得集合是集合的真子集，又因为，列出不等式组，求解即可. （1）解：当时，, 因为, 所以, ； （2）解：因为是成立的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 因为， 所以恒成立， 所以集合， 所以解得， 故实数的取值范围为 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $