综合测试卷（四）-《数学》人教版（幼儿师范）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 基于人教版中职数学教材，采用AB卷分层巩固与综合卷实战模拟的系统化训练，覆盖代数、几何、概率统计核心模块，强化知识网络构建与解题能力提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|单选1-9、14，填空16-17，解答22、26|基础概念辨析与运算（集合、函数、数列）|从集合关系到函数性质，再到数列递推，形成“概念-性质-应用”逻辑链，体现数学思维的推理能力| |几何|单选10-13，填空18-20，解答24-25|空间位置判断与解析几何应用（立体几何、抛物线）|从空间几何体旋转到曲线方程建立，融合几何直观与代数表达，培养数学眼光的空间观念| |概率统计|单选15，填空21，解答23|实际问题的计数与概率计算|结合生活情境（志愿者选派、纪念品赠送），通过数据分析解决问题，落实数学语言的应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．已知角的终边上有一点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 7．已知是两个单位向量，则下列结论中正确的是（   ）. A． B． C． D． 8．设是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．5 B．12 C．3 D．15 9．在等比数列中，，则等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 10．在下列命题中，错误的命题是（    ）. A．在空间中，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．已知异面直线a、b，过不在a、b上的任意一点都可以作一个同时平行于a、b的平面 C．过直线外一点可以作无数条直线与这条直线垂直 D．过已知平面的斜线的平面一定不会垂直于这个平面 11．垂直于同一个平面的两个平面一定（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．前三种情况都有可能 12．过点垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 13．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 14．已知的展开式的各项系数的和是1024，那么n的值是（   ） A．5 B．4 C．6 D．10 15．已知一组数据为 0，2，4，6，8，其方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．若函数在区间上的最大值与最小值的和为，则_______. 17．已知对数函数的图像经过点和，则________． 18．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则__________. 19．已知，，则向量，的夹角的余弦值为________. 20．圆心为且与直线相切的圆的标准方程为________． 21．从0，1，2，3，4，5这6个数字中随机抽取2个不同的数字，则这两个数字都是奇数的概率______. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知函数（，）的图像经过点．求： (1)a的值及函数定义域； (2)不等式的解集． 23．某学校计算机专业计划在七一举办“红歌献给党”歌唱活动，为使活动顺利开展，需要从3名男生，4名女生的学生会成员中选派3人作为志愿者进行协助，求： (1)选派1名男生，2名女生，共有几种选派方法； (2)活动结束后，拟从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件，共有几种送法． 24．如图所示，某抛物线形拱桥，经测量，水面宽6米，拱顶距水面4.5米，以拱顶为原点建立平面直角坐标系.    (1)求出该抛物线的标准方程； (2)求水面上升1.5米后，水面的宽度. 25．已知：如图一个等边三角形的边长为a，这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周． (1)求所得旋转体的表面积； (2)求所得旋转体的体积． 26．递增等比数列中，，. (1)求； (2)若，求数列的前n项的和. 27．在中，三个内角，，的对边分别为a，b，c，三条边满足. (1)求. (2)若，，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解二元一次不等式根据充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【详解】解不等式得， 即或. 当时满足或. 当或时不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式结合对数函数的单调性，利用交集的定义即可得解. 【详解】，解得或， 因为函数，底数，所以函数在上为增函数， 又因为，所以函数，即， 所以，， 则， 故选：. 3．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项的正确性. 【详解】选项A和B，因为，所以函数在上单调递增， 已知，所以，故选项A错误，选项B正确， 选项C，因为，所以函数在上单调递增， 已知，所以，故选项C错误， 选项D，因为，所以函数在上单调递减， 已知，所以，故选项D错误， 故选：B. 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数的定义域结合条件得到的定义域，进而求得的定义域，从而得解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以在中，，则， 则的定义域为， 所以对于，有，解得， 所以的定义域为. 故选：D. 5．已知角的终边上有一点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数诱导公式化简式子，再根据角终边上的点求出，进而代入化简后的式子计算. 【详解】由角的终边上有一点，可知. 根据诱导公式有， 分子分母同时除以得. 故选：A. 6．已知，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为，， 则. 故选：D. 7．已知是两个单位向量，则下列结论中正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的概念求解即可. 【详解】选项A，单位向量是模长为1，方向不确定的向量， 所以不一定成立，错误， 选项B，，不一定等于1，错误， 选项C，，错误， 选项D，，正确. 故选：D. 8．设是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．5 B．12 C．3 D．15 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，即，解得， 所以. 故选：A. 9．在等比数列中，，则等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】等比数列中，， ， 则，即，， . 故选：A. 10．在下列命题中，错误的命题是（    ）. A．在空间中，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．已知异面直线a、b，过不在a、b上的任意一点都可以作一个同时平行于a、b的平面 C．过直线外一点可以作无数条直线与这条直线垂直 D．过已知平面的斜线的平面一定不会垂直于这个平面 【答案】D 【分析】利用线面位置关系，与面面垂直的判定定理进行判断即可. 【详解】对于A，一组对边平行且相等得四边形为平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故A正确； 对于B，过不在异面直线a、b上的任意一点都可以作同时平行于a、b的平面，故B正确； 对于C，过直线外一点可以做无数条直线与这条直线垂直，这是基本事实，故C正确； 对于D，当过已知平面的斜线的平面，同时经过已知平面的垂线时，这两个平面垂直，故D错误. 故选：D. 11．垂直于同一个平面的两个平面一定（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可. 【详解】   如图，在长方体中，平面是底面， 平面和平面都垂直于平面，平面和平面平行， 平面和平面都垂直于平面，平面和平面垂直， 平面和平面都垂直于平面，平面和平面相交但不垂直， 综上可知，垂直于同一个平面的两个平面可能平行、垂直、相交但不垂直； 故选：D 12．过点垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线垂直设出直线方程，再将点代入直线方程即可求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为. 因为过点. 所以，解得. 所以. 故选：. 13．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将双曲线方程化为标准方程求出值，代入渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线化为标准方程为， 所以，， 因为双曲线焦点在轴上， 所以渐近线方程为. 故选：. 14．已知的展开式的各项系数的和是1024，那么n的值是（   ） A．5 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】求各项系数和令求解. 【详解】已知的展开式的各项系数的和是1024， 令，则各项系数的和是， 解得． 故选：A. 15．已知一组数据为 0，2，4，6，8，其方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据方差的计算公式即可求解. 【详解】数据 0，2，4，6，8的平均数为， 所以方差为. 故选: C . 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．若函数在区间上的最大值与最小值的和为，则_______. 【答案】3 【分析】分类讨论指数函数在和时函数的单调性即可求解的值. 【详解】当时函数为增函数. 所以当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为. 所以有，即，满足. 当时函数为减函数. 所以当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为. 所以有，即，不满足，故舍去. 综上. 故答案为：3. 17．已知对数函数的图像经过点和，则________． 【答案】4 【分析】设出对数函数的解析式，代入求解即可. 【详解】设. 因为对数函数的图像经过点，所以，解得. 继而. 故答案为：4. 18．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则__________. 【答案】 【分析】利用三角函数图象平移变换求出解析式. 【详解】将函数的图象向左平移后，得到的图象， 所以. 故答案为： 19．已知，，则向量，的夹角的余弦值为________. 【答案】 【分析】先求解及，，再按公式求解即可 【详解】因为，， 所以， ，， 所以. 故答案为：. 20．圆心为且与直线相切的圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出半径即可得解. 【详解】圆心为的圆与直线相切， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 故答案为：. 21．从0，1，2，3，4，5这6个数字中随机抽取2个不同的数字，则这两个数字都是奇数的概率______. 【答案】/ 【分析】利用组合的知识，结合古典概型的概率公式即可得解. 【详解】设“抽取的这2个数字都是奇数”为事件A， 从0，1，2，3，4，5这6个数字中随机抽取2个不同的数字， 其基本事件的总数为：（个）， 其中事件A包含的基本事件的种数有（个）， 所以. 故答案为： 3、 解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知函数（，）的图像经过点．求： (1)a的值及函数定义域； (2)不等式的解集． 【答案】(1)，定义域为. (2). 【分析】（）将点代入函数中即可求出值，利用真数大于零列出不等式即可得解. （）根据对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）函数（，）的图像经过点， 则，所以， 所以函数，， 综上所述，，定义域为. （2）函数定义域内为增函数， ， 所以，解得， 所以解集为. 23．某学校计算机专业计划在七一举办“红歌献给党”歌唱活动，为使活动顺利开展，需要从3名男生，4名女生的学生会成员中选派3人作为志愿者进行协助，求： (1)选派1名男生，2名女生，共有几种选派方法； (2)活动结束后，拟从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件，共有几种送法． 【答案】(1)18 (2)60 【分析】（1）根据组合以及分步计数原理求解即可. （2）根据排列以及排列数的计算求解即可. 【详解】（1）选派1名男生，2名女生的方法有. 即选派1名男生，2名女生共有18种方法． （2）从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件的方法有 即从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件，共有60种送法． 24．如图所示，某抛物线形拱桥，经测量，水面宽6米，拱顶距水面4.5米，以拱顶为原点建立平面直角坐标系.    (1)求出该抛物线的标准方程； (2)求水面上升1.5米后，水面的宽度. 【答案】(1). (2)米. 【分析】（）根据题意设出抛物线方程，由题意可知抛物线过点，将点代入抛物线方程中即可得解. （）令，代入抛物线方程中即可得解. 【详解】（1）由图像可知，抛物线的焦点在轴负半轴上， 设抛物线标准方程为， 由已知得，抛物线过点，代入抛物线方程得， 解得， 所以抛物线标准方程为. （2）水面上升1.5米后，拱顶距水面3米， 所以当时，，解得， 所以水面宽度为米. 25．已知：如图一个等边三角形的边长为a，这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周． (1)求所得旋转体的表面积； (2)求所得旋转体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，旋转体可以看作两个圆锥的组合体，再根据圆锥的侧面积公式求值即可. （2）根据圆锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）由等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得两个圆锥的组合体， 且圆锥的底面半径为， 圆锥的高为，母线长为， 所以所得旋转体的表面积为. （2）由（1）可知， 圆锥的底面半径为， 圆锥的高为， 所以所得旋转体的体积为. 26．递增等比数列中，，. (1)求； (2)若，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的性质得到，，进而求出公比和首项，得到通项公式； （2）得到是等比数列，利用等比数列求和公式求出答案 【详解】（1）在递增等比数列中，， 解得，， 设公比为q，则， 又因为为递增数列，故，所以，， 所以. （2）由题，则且， 所以数列是等比数列， 故. 27．在中，三个内角，，的对边分别为a，b，c，三条边满足. (1)求. (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）已知， 所以， 在中，，所以. （2）已知，，， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $