专题6 函数--3.1函数的概念及表示（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的概念及表示 【复习目标】 1.理解函数的概念及其表示方法. 2.会求常见函数的定义域，会根据对应法则求函数值. 3.理解分段函数的概念. 【知识梳理内容】 考点1 函数的概念 1.函数的定义:设集合A是一个非空的实数集,对A内任意实数x,按照某个确定的对应法则f,有唯一确定的实数值与它对应,则称这种对应法则为集合A上的一个函数,记作y=f(x),其中x为自变量,y为因变量.自变量x的取值集合A称为函数的定义域,对应的因变量y的取值集合称为函数的值域. 2.函数的两要素:定义域、对应法则.由于值域是由定义域和对应法则决定的,因此,判断两个函数是否为同一函数主要看它们的定义域和对应法则是否相同. 【即时训练】 1.下列关系中是函数关系的是(  ) A.等边三角形的边长和周长关系 B.电脑的销售额和利润的关系 C.玉米的产量和施肥量的关系 D.日光灯的产量和单位生产成本关系 【答案】A 【分析】根据函数关系的定义，即当一个变量取一定的值时，另外一个变量有唯一确定的值与其对应，则符合函数关系，依次可判断. 【详解】对A选项，设等边三角形的边长为x，周长为y，则，是函数关系，其中边长是自变量，周长为因变量； 对B选项，电脑销售额和利润的关系具有依赖关系，但两者之间与很多因素有关，所以两个变量不是函数关系; 对C选项，施肥量取值一定时，玉米的产量还受其它因素的影响，取值不确定，带有一定随机性，两个变量之间的关系不是函数关系； 对D选项，日光灯的产量与单位生产成本不存在直接关系，所以两个变量不是函数关系. 故选:A 2.下列各点不在函数图象上的是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将各点横坐标代入求解对应的纵坐标即可. 【详解】， 当时，，则点在函数图象上； 当时，，则点在函数图象上； 当时，，则点不在函数图象上； 当时，，则点在函数图象上. 故选:C. 3.若，则等于(  ) A.2 B.4 C.22 D.10 【答案】A 【分析】将代入解析式求值即可. 【详解】； 故选:A. 4.若，则等于(  ) A.1 B. C.3 D. 【答案】C 【分析】根据函数解析式由内到外，求解即可； 【详解】因为，所以， 即， 故选:C 5.若函数，则(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意将整体替换即可得解. 【详解】因为，则， 故选:. 6.下列函数中，与函数表示同一函数的是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】判断两个函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】函数的定义域为R， 选项A，，与已知函数的对应法则不同，不是同一函数； 选项B，，定义域为R， 与已知函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项C，的定义域为，与已知函数的定义域不同，不是同一函数； 选项D，的定义域为，与已知函数的定义域不同，不是同一函数. 故选:B. 7.已知函数，则等于_______． 【答案】11 【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可. 【详解】令，则， 所以. 故答案为:11. 8.已知二次函数，且，则的解集为________. 【答案】 【分析】根据，代入解析式，求出参数a的值，继而确定函数解析式，结合二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意得， 所以， ，即， 得到. 即的解集为. 故答案为:. 【知识梳理内容】 考点2 函数的表示方法 函数的表示方法有解析法、列表法和图象法三种. 【即时训练】 9.下列可以表示函数图像的是(  ) A. B.  C.  D.   【答案】C 【分析】根据函数的定义即可求解． 【详解】因为函数对于任意的x只有一个y的值与之对应， A选项，如图，作出垂直轴的直线，    此时一个x有2个y的值与之对应，故不符合， B选项，如图，作出垂直轴的直线，    此时一个x有4个y的值与之对应，故不符合， C选项，对于任意的x只有一个y的值与之对应，故符合题意， D选项，如图，作出垂直轴的直线，    此时一个x有2个y的值与之对应，故不符合， 故选:C． 10.下列四个图象中，是函数图象的是(  )      A.① B.①③④ C.①②③ D.③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义结合函数图象的特点分析即可. 【详解】①中，每确定一个都有唯一与之对应，所以该图象是函数图象， ②中，确定一个，存在两个与之对应，所以该图象不是函数图象， ③中，每确定一个都有唯一与之对应，所以该图象是函数图象， ④中，每确定一个都有唯一与之对应，所以该图象是函数图象， 所以是函数图象的是①③④. 故选:B. 11.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应即可，而不管这个对应的法则是公式､图像､表格还是其他形式.函数由下表给出，则的值为(  ) 表 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】根据表格求出函数值即可得解. 【详解】根据表格可知，， ， 故选:. 12.已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为(  ) 1 2 3 4 3 -1      A.-1 B.0 C.3 D.4 【答案】A 【分析】根据函数的定义及图表计算即可. 【详解】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选:A 13.十一期间某地区出现强降雨天气，一场典型的对流雨雨强(单位:毫米/小时，指每小时降雨量)与降雨时间(单位:小时)的关系如图所示，则下列说法正确的是(  )    A.降雨开始后1小时，雨强为4毫米/小时 B.这场大雨的最大雨强为6毫米/小时 C.降雨开始后2小时与5小时的雨强相等 D.降雨持续时间为5小时 【答案】B 【分析】根据图像即可求解. 【详解】对A，降雨开始后1小时，雨强为2毫米/小时，故A错误. 对B，由图可得，这场大雨的最大雨强为6毫米/小时，故B正确. 对C，降雨开始后2小时雨强为4毫米/小时，降雨5小时的雨强为2毫米/小时，故C错误. 对D，降雨持续时间为6小时，故D错误. 故选:B. 14.对于函数，部分与的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 7 4 5 8 1 3 4 则的值为_________． 【答案】4 【分析】首先由表格求出的值，再将代入查找表格得出的值即可. 【详解】由表格可知，， 所以， 故答案为:4. 【知识梳理内容】 考点3 常见函数的定义域 1.函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.定义域必须用集合或区间表示,若用区间表示数集时,不能用“或”连接,要用并集符号“U”连接. 2.常见函数的定义域. ①整式函数y=f(x)的定义域为R. ②分式函数的定义域要求g(x)≠0. ③函数的定义域要求f(x)≥0. ④函数的定义域为 R . ⑤指数函数的定义域为 R . ⑥对数函数的定义域为. ⑦函数的定义域要求. ⑧如果函数是由一些基本初等函数通过有限次四则运算结合而成的,那么定义域为这些初等函数定义域的交集(或公共部分). ⑨实际问题中的函数变量要满足实际意义. 注:函数的定义域要写成集合或区间的形式. 【即时训练】 15.函数的定义域是(  ) A. B. C.且 D.无法确定 【答案】C 【分析】依据分母不为零，偶次根号下大于等于零，可求定义域. 【详解】由函数可知，， 解得，即且； 故选:. 16.函数的定义域为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据分母不等于0，偶次根式被开方数大于等于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则有，即， 解得， 所以函数的定义域为， 故选:D. 17.函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据算术平方根底数为非负且分母不为零，即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故选:D. 18.的定义域是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组即可得解. 【详解】， 则，解得， 所以定义域为， 故选:. 19.函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据函数的解析式列出不等式求解. 【详解】函数有意义，则， 解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为:. 20.函数的定义域是______. 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使函数解析式有意义，则 ，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为:. 21.若函数的定义域是，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由分母不为零列式分析，讨论分母为关于的常数及一元二次方程两种情况下实数的取值范围即可. 【详解】易知对任意恒成立， 当时，满足题意， 当时，是关于的一元二次方程， 即，解得， 综上，实数的取值范围是，即， 故答案为:. 【知识梳理内容】 考点4 分段函数 1.定义:在函数的定义域内,对于x不同的取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数通常称为分段函数. 2.图像:函数图像既可以是连续的曲线,也可以是直线,折线,离散的点等. 【即时训练】 22.已知函数，则(  ) A.2 B. C.1 D. 【答案】B 【分析】根据分段函数求函数值，结合题意，代入即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以． 故选:B． 23.设函数，则(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】运用分段函数知识，分别计算和的值即可求得结果. 【详解】根据题意，函数， 则， ， 则. 故选:B 24.若函数，则______. 【答案】0 【分析】利用的范围代入相应解析式求值即可 【详解】因为，则； 故答案为:. 1.(2024年山东省春季高考数学真题)某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】某人驾驶汽车出行，随着时间增加路程也增加，所以图像上升， 在途中休息时，随着时间增加，路程不变，故图像为一条直线； 继续行驶以后随着时间增长路程也持续增加，故图像上升. 故选:A. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示,在平面直角坐标系中,分别给出甲、乙同学在1500m比赛中所跑的路程关于时间的函数图像,其中为起跑阶段,为冲刺阶段,则下列结论正确的是(  ) A.起跑阶段，甲跑得比乙快 B.起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C.冲刺阶段，甲跑得比乙快 D.冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 【答案】A 【分析】根据图像观察同一时间段内的路程增量即可求解. 【详解】设甲乙的速度分别为. 对由图像可知， 在阶段， 即. 所以起跑阶段甲跑得比乙快. 对在阶段， 所以因此冲刺阶段甲跑得比乙慢． 故选:A． 3.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为(不计厚度)，设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积公式判断函数的类型即单调性即可. 【详解】解:根据圆柱的体积公式可得，. 则是关于的正比例函数，且在区间上单调递增. 故选:A. 4.(2025年山东省春季高考数学真题)下列函数中与函数为同一个函数的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义即可求解. 【详解】函数定义域为. 对于选项A:定义域为，所以与不是同一函数，故选项A错误. 对于选项B:，所以与不是同一函数，故B错误. 对于选项C:定义域为，所以与不是同一函数，故C错误. 对于选项D:，且定义域为，所以与是同一函数，故D正确. 故选:D. 5.(2026年山东省春季高考数学真题)函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数大于等于零列式求解即可. 【详解】函数，则有，即且. 故函数的定义域是. 故选:C. 6.(2023年山东省春季高考数学真题)函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由具体函数的定义域即可得解. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得或， 则函数的定义域为． 故选:D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的概念及表示 【复习目标】 1.理解函数的概念及其表示方法. 2.会求常见函数的定义域，会根据对应法则求函数值. 3.理解分段函数的概念. 【知识梳理内容】 考点1 函数的概念 1.函数的定义:设集合A是一个非空的实数集,对A内任意实数x,按照某个确定的对应法则f,有 的实数值与它对应,则称这种对应法则为集合A上的一个函数,记作 ,其中 为自变量, 为因变量.自变量 的取值集合A称为函数的 ,对应的因变量y的取值集合称为函数的 . 2.函数的两要素: 、 .由于值域是由定义域和对应法则决定的,因此,判断两个函数是否为同一函数主要看它们的 和 是否相同. 【即时训练】 1.下列关系中是函数关系的是(  ) A.等边三角形的边长和周长关系 B.电脑的销售额和利润的关系 C.玉米的产量和施肥量的关系 D.日光灯的产量和单位生产成本关系 2.下列各点不在函数图象上的是(  ) A. B. C. D. 3.若，则等于(  ) A.2 B.4 C.22 D.10 4.若，则等于(  ) A.1 B. C.3 D. 5.若函数，则(  ) A. B. C. D. 6.下列函数中，与函数表示同一函数的是(  ) A. B. C. D. 7.已知函数，则等于_______． 8.已知二次函数，且，则的解集为________. 【知识梳理内容】 考点2 函数的表示方法 函数的表示方法有 、 和 三种. 【即时训练】 9.下列可以表示函数图像的是(  ) A. B.  C.  D.   10.下列四个图象中，是函数图象的是(  )      A.① B.①③④ C.①②③ D.③④ 11.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应即可，而不管这个对应的法则是公式､图像､表格还是其他形式.函数由下表给出，则的值为(  ) 表 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 12.已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为(  ) 1 2 3 4 3 -1      A.-1 B.0 C.3 D.4 13.十一期间某地区出现强降雨天气，一场典型的对流雨雨强(单位:毫米/小时，指每小时降雨量)与降雨时间(单位:小时)的关系如图所示，则下列说法正确的是(  )    A.降雨开始后1小时，雨强为4毫米/小时 B.这场大雨的最大雨强为6毫米/小时 C.降雨开始后2小时与5小时的雨强相等 D.降雨持续时间为5小时 14.对于函数，部分与的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 7 4 5 8 1 3 4 则的值为_________． 【知识梳理内容】 考点3 常见函数的定义域 1.函数的定义域是指使函数有意义的 的取值范围.定义域必须用 或 表示,若用 表示数集时,不能用“或”连接,要用并集符号 连接. 2.常见函数的定义域. ①整式函数y=f(x)的定义域为 . ②分式函数的定义域要求 . ③函数的定义域要求 . ④函数的定义域为 . ⑤指数函数的定义域为 . ⑥对数函数的定义域为 . ⑦函数的定义域要求 . ⑧如果函数是由一些基本初等函数通过有限次四则运算结合而成的,那么定义域为这些初等函数定义域的 (或 ). ⑨实际问题中的函数变量要满足实际意义. 注:函数的定义域要写成 或 的形式. 【即时训练】 15.函数的定义域是(  ) A. B. C.且 D.无法确定 16.函数的定义域为(  ) A. B. C. D. 17.函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 18.的定义域是(  ) A. B. C. D. 19.函数的定义域是__________. 20.函数的定义域是______. 21.若函数的定义域是，则实数的取值范围是________. 【知识梳理内容】 考点4 分段函数 1.定义:在函数的定义域内,对于x不同的取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数通常称为分段函数. 2.图像:函数图像既可以是连续的曲线,也可以是直线,折线,离散的点等. 【即时训练】 22.已知函数，则(  ) A.2 B. C.1 D. 23.设函数，则(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 24.若函数，则______. 1.(2024年山东省春季高考数学真题)某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是(  ) A. B. C. D. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示,在平面直角坐标系中,分别给出甲、乙同学在1500m比赛中所跑的路程关于时间的函数图像,其中为起跑阶段,为冲刺阶段,则下列结论正确的是(  ) A.起跑阶段，甲跑得比乙快 B.起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C.冲刺阶段，甲跑得比乙快 D.冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 3.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为(不计厚度)，设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是(  ) A. B. C. D. 4.(2025年山东省春季高考数学真题)下列函数中与函数为同一个函数的是(  ) A. B. C. D. 5.(2026年山东省春季高考数学真题)函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 6.(2023年山东省春季高考数学真题)函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $