第36卷 指数函数及其应用（学生训练卷）-2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以指数函数定义为核心，通过概念辨析、图像性质、实际应用三级题型构建知识逻辑，实现讲练结合的技能备考闭环。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题（3/5/9/12）|指数函数定义判断|从定义要素（底数范围、系数）到概念应用| |图像性质|3题（4/8/11）|图像识别、单调性、定点|性质（单调性/对称性）与图像特征的对应| |实际应用|3题（1/2/6）|成本降低、细菌分裂、去污问题|建立指数模型解决增长/衰减实际问题| |计算应用|4题（10/13/14）|定义域值域、解析式求解|定义→性质→运算的逻辑递进|

编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第36卷 指数函数及其应用 学生训练卷 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．某种产品计划每年降低成本，若三年后的成本是a元，则现在的成本是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数模型求解. 【详解】设现在的成本为x元，则，所以． 故选：D． 2．某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据题目列出指数函数解析式即可解得. 【详解】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数， 经过3小时，细菌分裂6次，，细菌分裂的个数为， 故选：D． 3．若函数是指数函数，则实数的取值范围是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】由，且得且． 故选：C． 4．若，则函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数与一次函数的图象分析判断即可. 【详解】由，可得单调递增， 故排除B，D选项， 由，可得与轴的截距大于， 故A选项错误，C选项正确. 故选：C. 5．若函数是指数函数，则（    ）． A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义即可解得. 【详解】解：由指数函数的定义可得， ，解得． 故选：C 6．在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的污垢的2%，该洗衣机至少要清洗的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意列指数不等式求解即可. 【详解】设原有污垢为，漂洗次后，存留污垢为， 解不等式得． 故选：C. 2、 多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．下列说法正确的是（   ） A．指数函数的值域是 B．以10为底的对数叫自然对数 C．对数函数的图像恒过定点 D．函数与的图像关于轴对称 【答案】AD 【分析】利用常用函数的性质，逐个判断选项得到答案. 【详解】A选项，指数函数，其中且，由函数形式可知，指数函数的值域为，该选项正确； B选项，以自然底数e为底的对数叫自然对数，该选项错误； C选项，对数函数，其中且，由函数形式可知，不在定义域内，该选项错误； D选项，由于对任意的成立，故函数与的图像关于轴对称，该选项正确. 故选：AD. 8．若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对于可直接根据指数函数的性质判断；对于,也可根据性质直接判断；对于,通过验证判断；对于,可以利用性质求出值域判定. 【详解】因为　在R上单调递增，则A错误； 与的图象关于y轴对称，则B正确； 由，得的图象过点，则C错误； 由，可得，则D错误， 故选： 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．若函数是指数函数，且，则________ 【答案】 【分析】设指数函数（且），由求出的值，即可得答案. 【详解】设（且），由得， 或（舍去），． 故答案为：. 10．的定义域是__________，值域是__________． 【答案】 R 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】∵函数解析式， ∴定义域为， 值域. 故答案为：R，. 11．函数过定点__________． 【答案】 【分析】根据指数函数图像性质作答. 【详解】指数函数恒过点. 故答案为：. 12．若函数(，且)是指数函数，则______，______. 【答案】 -1 2 【分析】根据指数函数定义求解． 【详解】根据指数函数的定义，得解得 故答案为：；2． 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13．求下列函数的值域 (1)； (2)且，. 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】利用指数函数图像，结合函数的定义域和单调性求出函数的值域. 【详解】（1）在是单调减函数， 当时，， 当时，， 所以原函数的值域为. （2）当时，在上是单调增函数， 当时，， 当时，， 此时函数的值域为. 当时，在上是单调减函数， 当时，， 当时，， 此时函数的值域为. 14．已知指数函数（且），其图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入即可求解a的值. （2）根据函数解析式的单调性求解即可. 【详解】（1）将点代入指数函数， 即，解得， ∴所求函数解析式为． （2）∵， ∴， ∵为R上的减函数， ∴，解得， ∴实数m的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第36卷 指数函数及其应用 学生训练卷 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．某种产品计划每年降低成本，若三年后的成本是a元，则现在的成本是（   ） A． B． C． D． 2．某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．若函数是指数函数，则实数的取值范围是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D． 4．若，则函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．若函数是指数函数，则（    ）． A．或 B． C． D．且 6．在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的污垢的2%，该洗衣机至少要清洗的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．下列说法正确的是（   ） A．指数函数的值域是 B．以10为底的对数叫自然对数 C．对数函数的图像恒过定点 D．函数与的图像关于轴对称 8．若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．若函数是指数函数，且，则________ 10．的定义域是__________，值域是__________． 11．函数过定点__________． 12．若函数(，且)是指数函数，则______，______. 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13．求下列函数的值域 (1)； (2)且，. 14．已知指数函数（且），其图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $