第八章 排列组合（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣中职数学拓展模块下册第八章排列组合，设A/B卷分层训练，B卷聚焦知识整合与能力提升，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|排列组合、二项式定理、概率|结合“节约粮食”“六艺文化”等情境，考查分类分步计数| |填空|5/15|组合数性质、莱布尼茨三角形、实际应用|融入文化传承（杨辉三角）与科技热点（云采访安排）| |解答|4/40|综合应用（产品抽法、辩论赛选法）|分层设问，强化逻辑推理与数学语言表达|

学 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若 ，则等于（ ） A．1 B．-1 C．0 D．2 2．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．利用组合数性质计算的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A．216 B．480 C．504 D．624 6．二项式的展开式的常数项为60，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 7．在的展开式中，的系数等于（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 8．一个数学兴趣小组有3名男生，2名女生，从中任选2位参加数学竞赛，恰有一位女生参加的概率是（   ） A． B． C． D． 9．用 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，要求偶数不相邻（偶数为 2、4），不同的五位数有（    ） A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．72 种 10．的展开式中，各二项式系数和为，各项系数和为，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 11．已知二项式的展开式中二项式系数之和等于，则展开式中常数项等于（   ） A． B． C． D． 12．若的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含项的系数为（（    ） A．1 B．5 C．10 D．20 13．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 14．5 名学生和 2 位老师站成一排拍照，要求 2 位老师相邻，不同的排法有（     ） A．1440种 B．720种 C．360种 D．120种 15．已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若，则正整数x的值是_______. 17．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是______． 18．的二项展开式中共有8项，第3项的系数为_______. 19．在等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态.现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________. 20．从4名男生和3名女生中任选2人参加知识竞赛，至少有1名女生的选法有________种. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知，其中，且. (1)求实数的值； (2)求． 22．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 23．已知，且展开式中项的系数为. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 24．某班级要从5名男生和4名女生中选2人参加学校辩论赛. (1)恰好选1名男生和1名女生，有多少种不同的选法？ (2)至少选1名女生，有多少种不同的选法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 学 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若 ，则等于（ ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据完全平方公式展开二项式，再分别求解即可. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：A. 2．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法； 第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法， 根据分步计数原理，共有种不同的选取方法， 故选：B. 3．利用组合数性质计算的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数的性质可求解. 【详解】由组合数的性质可知： . 故选：B. 4．已知，则的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据组合数的性质可求解. 【详解】由可得：，解得. 故选：C. 5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A．216 B．480 C．504 D．624 【答案】C 【分析】先将课程“御”排在第一周，得到排列方案数，再考虑“御”“乐”均不排在第一周时排列方案数，根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】当课程“御”排在第一周时，则共有种； 当课程“御”“乐”均不排在第一周时，则共有种； 则. 故选：C. 6．二项式的展开式的常数项为60，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项为 ， 因为展开式的常数项为， 令，即， 解得， 故选：C. 7．在的展开式中，的系数等于（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【分析】先求出展开式通项，再令即可求解. 【详解】展开式通项为， 令时，的系数为. 故选：C. 8．一个数学兴趣小组有3名男生，2名女生，从中任选2位参加数学竞赛，恰有一位女生参加的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数的计算，求解即可. 【详解】从3名男生，2名女生中任选两人共有种不同的组合， 恰有一位女生参加的组合有种， 所以恰有一位女生参加的概率是. 故选：A. 9．用 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，要求偶数不相邻（偶数为 2、4），不同的五位数有（    ） A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．72 种 【答案】D 【分析】先排奇数，再在奇数空位插入偶数求解即可. 【详解】①排奇数：1、3、5 为奇数，全排列有种排法； ②插偶数：从4个空位选2个排列 2、4，有种排法. 总五位数个数为种. 故选：D. 10．的展开式中，各二项式系数和为，各项系数和为，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】D 【分析】先由题意结合二项式系数的性质求出和的值，再利用二项式展开式求出的系数. 【详解】因为的展开式中，各二项式系数和为，所以. 再令，可得各项系数和为，所以， 则展开式中的通项公式为， 令，可得，故展开式中的系数为. 故选：D. 11．已知二项式的展开式中二项式系数之和等于，则展开式中常数项等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数之和确定的值，再列出二项展开式的通项，并使的指数为0，得出的值，再代回二项展开式的通项公式中即可. 【详解】已知二项式的展开式中二项式系数之和等于， 即，解得， 则展开式的通项为， 令，即， 解得，则， 所以展开式中常数项等于， 故选：A. 12．若的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含项的系数为（（    ） A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】由二项式展开式各项的系数和求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式令x的指数等于1即可得解. 【详解】的展开式中各项的系数和为32， 令，则，解得， 所以的通项公式为， 令，解得， 故该展开式中含项的系数为. 故选：B. 13．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】根据题意，利用间接法求解，先由分步计数原理计算4个不同的小球放入3个不同的盒子的放法，再计算出红球和蓝球放到同一个盒子的放法，相减得到结果. 【详解】将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组， 再将其与其它2个小球对应3个盒子，共有种情况. 若红球和蓝球放到同一个盒子， 则黑、黄球放进其余的盒子里，有种情况， 则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法为30种. 故选：C. 14．5 名学生和 2 位老师站成一排拍照，要求 2 位老师相邻，不同的排法有（     ） A．1440种 B．720种 C．360种 D．120种 【答案】A 【分析】采用捆绑法，即将相邻元素视为1个整体（元素），与其它元素一起进行全排列，再内部排列即可求解. 【详解】第一步：捆绑2位老师，视为 1 个“整体”，与5 名学生组成6 个元素，对这6 个元素全排列，有种排法； 第二步：老师内部排列，2 位老师有种排法， 根据分步乘法原理，所以不同的排法有种. 故选：A. 15．已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由二项式展开式的通项公式列出第5项与第3项的系数，再由系数之比是列方程求出的值，然后设，并使的指数等于0，求出的值代回通项公式即可. 【详解】已知的展开式中， 则，， 所以第5项的系数为和， 则有，即， 整理得， 解答或（舍去）， 则设， 令，解得， 则当时，取到常数项，即. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若，则正整数x的值是_______. 【答案】1或5 【分析】应用组合数公式列出关于x的方程，即可求正整数的值. 【详解】解：由题意得或，解得或. 故答案为：1或5. 17．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是______． 【答案】 【分析】根据杨辉三角形的特征可得第9行第4个数为，结合“莱布尼茨三角形”的定义即可得出结果. 【详解】因为杨辉三角的第9行第4个数为， 所以“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是． 故答案为：. 18．的二项展开式中共有8项，第3项的系数为_______. 【答案】 【分析】先由二项式定理求出的值，再由二项式的通项公式即可求解. 【详解】解：∵的二项展开式中共有8项， ∴，的第3项是，即第3项的系数为. 故答案为：. 19．在等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态.现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________. 【答案】36 【分析】由排列组合和分步计数原理即可得解. 【详解】依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有种方法， 再将其进行全排列共有种方法， 由分步乘法计数原理得，共有（种）安排方法. 故答案为：36. 20．从4名男生和3名女生中任选2人参加知识竞赛，至少有1名女生的选法有________种. 【答案】15 【分析】根据组合计数原理，采用间接法，即用 “任选2人的选法数”减去“全是男生的选法数”可求解. 【详解】因为从7人中选 2 人，共有种选法；而任选2人全是男生的选法有种， 所以至少1名女生的选法数为（种）. 故答案为：15. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知，其中，且. (1)求实数的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项展开式的通项求解； （2）分别令，，利用赋值法求解. 【详解】（1）的展开式的通项为， 所以，， 依题意得，即， 整理得， 因为，所以， 所以． （2）由（）得，所以． 令，得①， 令，得②， ①+②得， 即，又， 所以． 22．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【答案】(1)161700 (2)9506 (3)9604 【分析】（1）根据组合数的计算即可求解. （2）根据组合数的计算即可求解. （3）根据组合数的计算结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数， 即种，所以有161700种不同的抽法. （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种， 从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则种. 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种. （3）抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由（2）得，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种. 由分类加法计数原理得：种. 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种. 23．已知，且展开式中项的系数为. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)7 (2)1 (3)1 【分析】（1）利用二项式展开式的特征求解； （2）利用二项式展开式的通项求解； （3）利用赋值法求解. 【详解】（1）因为展开式中的最高次为7，所以. （2）由（1）知，则展开式的通项为， 令，解得， 所以项的系数为， 已知项的系数为， 所以，解得. （3）已知， 令，可得，即， 令，可得，即， 可得， 所以. 24．某班级要从5名男生和4名女生中选2人参加学校辩论赛. (1)恰好选1名男生和1名女生，有多少种不同的选法？ (2)至少选1名女生，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)20种 (2)26种 【分析】（1）根据分步乘法与组合的综合，分别选男生和女生再相乘即可求解； （2）用总选法数减全男生选法数即可求解. 【详解】（1）恰好1男1女：①选1名男生：种；②选1名女生：种， 根据分步乘法原理，总选法数为种. （2）至少1名女生：①总选法数：从9人中选2人，种； ②全是男生的选法数：种， 则至少1名女生的选法数为种. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $