专题15 诱导公式（讲义）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题15 诱导公式 【复习目标】 1. 理解和掌握诱导公式的各种变形. 2. 会运用诱导公式解决问题. 【考点1 诱导公式1】 1．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 【即时训练】 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系式及诱导公式求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：C. 2．已知，且是第三象限角，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为，即， 所以. 故选：D. 3．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义以及三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】因为角的终边在直线上. 若角在第一象限，不妨设角的终边经过点. 则，所以. 若角在第三象限，不妨设角的终边经过点. 则，所以. 故选：C. 4．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】， 故选：B. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式四，求解即可. 【详解】. 故选：A. 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：D. 7．若，且是第三象限角，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系结合诱导公式求值即可. 【详解】已知， 因为是第三象限角， 所以， 则， 故选：A. 8．若角满足，则（   ） A． B．角一定是第二象限角 C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及三角函数值在各象限的符号判断. 【详解】已知，得， 所以角的终边落在第一象限或第四象限或轴的正半轴上. 选项A：当角的终边落在第一象限时，； 当角的终边落在第四象限时，； 当角的终边落在轴正半轴上时，， 所以不一定成立，A选项错误； 选项B：角的终边落在第一象限或第四象限或轴的正半轴上，角不是第二象限角，B选项错误； 选项C：当角的终边落在第一象限时，； 当角的终边落在第四象限时，； 当角的终边落在轴正半轴上时，， 所以不一定成立，C选项错误； 选项D：当角的终边落在第一象限时，，，则； 当角的终边落在第四象限时，，，则； 当角的终边落在轴正半轴上时，，，则， 综上，，D选项正确. 故选：D. 9．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，同角三角函数的平方关系，结合各象限角的三角函数值符号即可求解. 【详解】因为，又因为，解得， 所以，则， 则. 故选：C. 10．已知是第三象限角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系，即可求解. 【详解】由题意知是第三象限角，且， 所以， 所以. 故选：B. 【考点2 诱导公式2】 1．诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． 2．诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 【即时训练】 1．设函数，x∈R，则是（　　） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论． 【详解】∵函数， 所以，， 则是周期为的奇函数， 故选：B． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，即可求得的值. 【详解】因为， 由题意可得，解得， 因此，. 故选：B. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用诱导公式直接进行求解即可. 【详解】由可得：， 所以. 故选：. 4．已知角的终边上有一点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再由诱导公式即可求出. 【详解】已知角的终边上有一点， 则，则， 根据诱导公式可得. 故选：D. 5．已知，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据象限角的符号和同角三角函数基本关系式求出，然后根据诱导公式可求. 【详解】，且是第三象限角， ，． 故选：. 6．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】已知， 则， 故选：D. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由得， 又，所以，根据同角三角函数的基本关系得： ． 故选：B． 8．，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】，即，则. 故选：A. 9．设函数，则是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【分析】根据诱导公式，化简函数为，由此结合余弦函数的奇偶性和周期公式进行计算，即可求解. 【详解】由，可得函数周期为， 又因为函数，对于任意，都有， 且，所以函数为偶函数， 所以函数是最小正周期为的偶函数. 故选：B. 10．若，，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意和诱导公式可得：且，利用任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】因为，，由诱导公式可得：，，根据任意角三角函数的定义可知：角位于第四象限， 故选：. 1．(25年黑龙江省职教高考模拟)（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解. 【解析】； 故选：B . 2．(24年黑龙江省职教高考模拟)下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式即可判断. 【详解】选项A：，A错误. 选项B：，B错误. 选项C：，C错误. 选项D：，D正确. 故选：D. 3．(23年黑龙江省职教高考模拟)（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题15 诱导公式 【复习目标】 1. 理解和掌握诱导公式的各种变形. 2. 会运用诱导公式解决问题. 【考点1 诱导公式1】 1．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 【即时训练】 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，且是第三象限角，则等于（    ） A．1 B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 4．的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．若，且是第三象限角，则值为（   ） A． B． C． D． 8．若角满足，则（   ） A． B．角一定是第二象限角 C． D． 9．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．已知是第三象限角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【考点2 诱导公式2】 1．诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． 2．诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 【即时训练】 1．设函数，x∈R，则是（　　） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边上有一点，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．，则等于（   ） A． B． C． D． 9．设函数，则是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 10．若，，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．(25年黑龙江省职教高考模拟)（   ） A． B． C． D． 2．(24年黑龙江省职教高考模拟)下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(23年黑龙江省职教高考模拟)（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $