专题21 指数函数（讲义）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 指数函数 【复习目标】 1. 理解指数函数的定义. 2. 掌握指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. 【考点1 指数函数的有关概念】 指数函数的有关概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 【即时训练】 1．下列是指数函数的是（       ） A． B． C． D． 2．已知函数且过点，则函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．函数是指数函数，则（ ） A．或 B． C． D．且 4．设，且，则（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 5．某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 7．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知当 时，函数 的值总大于 1，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．给定下列函数：①；②；③，且；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中是指数函数的有 　 　．（填序号） 10．已知函数是指数函数. （1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式； （2）解关于的不等式：； 【考点2 指数函数的图象与性质】 指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 1．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系式成立的是（    ）    A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（       ） A． B． C． D． 4．指数函数与的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（ ） A． B． C． D． 6．若，则函数的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知，，，则　　 A． B． C． D． 8．已知，则实数a的取值范围为 . 9．若幂函数在上单调递增，求函数且恒过哪个定点. 10．已知函数的图像经过点. (1)求实数的m值. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第20题）已知则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第15题）已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第20题）已知 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第3题）下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第22题）函数的定义域是_____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 指数函数 【复习目标】 1. 理解指数函数的定义. 2. 掌握指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. 【考点1 指数函数的有关概念】 指数函数的有关概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 【即时训练】 1．下列是指数函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：，因为不满足底数且，故不是指数函数，故选项A不正确； 对于选项B：不满足指数函数前系数等于，故不是指数函数，故选项B不正确； 对于选项C：没有指出的范围，当且时才是指数函数，故选项C不正确； 对于选项D：是指数函数，故选项D正确， 故选：D． 2．已知函数且过点，则函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数表达式求出a的值即可得到函数表达式． 【详解】因为函数且过点，则，所以，即． 故选：C． 3．函数是指数函数，则（ ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】由指数函数定义知， 同时，且，所以解得， 故选：C 4．设，且，则（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】先由题意求出函数的解析式，再代入求值即可. 【详解】因为，且， 所以，故， 所以. 故选：C. 5．某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数， 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6，细菌分裂的个数为y＝26＝64， 故选：D． 6．下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】形如（且）的函数为指数函数， 观察选项可知，只有选项B符合题意． 故选：B． 7．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ③中的系数是-1，所以不是指数函数； ④中底数-4﹤0，所以不是指数函数. 故选：B. 8．已知当 时，函数 的值总大于 1，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性以及图像求解即可. 【详解】因为函数    时 ，且在 时总大于 1， 所以函数函数 是单调递增的，进而底数 ， 解得. 故选：A. 9．给定下列函数：①；②；③，且；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中是指数函数的有 　 　．（填序号） 【答案】②⑤ 【解析】对于①，，是幂函数，不是指数函数； 对于②，，是指数函数； 对于③，，且才是指数函数，不是指数函数； 对于④，，，不是指数函数； 对于⑤，，是指数函数； 对于⑥，，不是指数函数； 对于⑦，，不是指数函数； 对于⑧，，不是指数函数，所以是指数函数的有②⑤， 故答案为：②⑤． 10．已知函数是指数函数. （1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式； （2）解关于的不等式：； 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】解：（1）由题设，可得，所以. （2）由， 当时，在定义域上递减，则，可得，解集为； 当时，在定义域上递增，则，可得，解集为； 【考点2 指数函数的图象与性质】 指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 1．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数性质知，解得， 故选：C． 2．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的图象及性质即可求解. 【详解】由图象可知，为减函数，故；为增函数，故. 故选：B. 3．函数的图象大致为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以单调递增，且恒过点，故A为正确答案， 故选：A． 4．指数函数与的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像的单调性判断指数函数底数范围即可. 【详解】由图可知，在上单调递增，则； 且在R上单调递减，则. 故选：B. 5．如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 则，解得， 故选：B. 6．若，则函数的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数的图像与性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以在区间上单调递增且过点，因为， 则函数图像一定不过第四象限， 故选：D. 7．已知，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， 又在上单调递减，所以， 则， 故选：． 8．已知，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】， ∴a∈， 故答案为：. 9．若幂函数在上单调递增，求函数且恒过哪个定点. 【答案】 【解析】解：因为是幂函数， 所以或， 又因为该幂函数在上单调递增，所以，即， 因为，所以函数过定点. 10．已知函数的图像经过点. (1)求实数的m值. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)是奇函数，理由见详解 【分析】（1）将点代入函数解析式求解m的值即可. （2）先求出函数的定义域，再根据与的关系判断奇偶性即可. 【详解】（1）因为函数的图像经过点， 所以，解得. （2）因为函数的定义域为，解得， 即定义域为，定义域关于原点对称， 且， ， 所以，因此是奇函数. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第20题）已知则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第15题）已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】利用赋值法求函数值即可. 【详解】令，则，， 则； 故选：C. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第20题）已知 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，可得，，据此可得结果. 【详解】因为在上单调递减， 所以，即； 又因为在上单调递减， 所以， 所以. 故选：A 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第3题）下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数单调性即可求解. 【详解】对A：因为函数在定义域范围内为减函数，所以，故A项错误； 对B：因为函数在定义域范围内为增函数，所以，故B项正确； 对C：因为函数在定义域范围内为减函数，所以，故C项错误； 对D：因为函数在定义域范围内为增函数，所以，故D项错误. 故选：B. 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第22题）函数的定义域是_____． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零且分母不为零，即可求解. 【详解】要使有意义，则且， 由解得， 由解得， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $