专题13 任意角的三角函数（练习）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过知识拆解整合与分层训练，构建从概念到应用的完整进阶路径，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|8题|任意角终边判断、弧度角度互化|从角的概念生成到弧度制转换，构建三角函数基础| |公式应用|6题|扇形弧长计算、三角函数定义应用|结合定义推导公式，形成“概念-公式-计算”逻辑链| |综合应用|4题|象限角性质、单位圆坐标问题|整合多知识点，体现知识迁移与数学语言表达| |真题再现|6题|高考原题改编，聚焦高频考点|对接考情，强化应试能力与数学眼光的现实应用|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》练习 专题13 任意角的三角函数 一、选择题 1．下列各角的终边与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 2． 用角度制可表示为（ ） A． B． C． D． 3．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 4．方程，的实根为（    ） A． B． C． 或 D．以上都不是 5．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 7．弧度化为角度是 . 8．分针一小时所转过的角是 . 9．“角为第一象限角”是“”的 条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选一个填写)  10．求值： . 三、解答题 11．已知角. （1）把改写成的形式，并指出它是第几象限角； （2）求，使与终边相同，且. 12．如图，已知角的终边上有一点，求：    (1) (2)与的值. 13．假定此时12点整，那么1个小时后时针与分针的夹角是（ ） A.0 B. C. D. 14．已知，且，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（ ） A． B．为钝角 C． D．点在第四象限 17．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A． B． C． D． 18．下列选项中，正确的是（ ） A. 第一象限的角都是锐角 B. C. 三角函数，都是奇函数 D. 二、填空题 19．已知角的终边经过，且,，则实数的取值范围是 . 20．点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 . 21．若为第一象限的角，则为第 象限的角． 22．代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 ． 三、解答题 23．计算. (1)， (2). 24．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点，点坐标为，. (1)求点坐标; (2)求阴影部分面积. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第8题）设，则是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第8题）的值为（ ） A. B. C. D. 3．（2023年·黑龙江省对口升学高考第9题）若是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 4．（2022年·黑龙江省对口升学高考第8题）若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5．（2022年·黑龙江省对口升学高考第9题）若角的终边在第二象限且经过点，则（ ） A. B. C D. 6．（2020年·黑龙江省对口升学高考第8题）若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》练习 专题13 任意角的三角函数 一、选择题 1．下列各角的终边与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的定义，角度制度与弧度制的转换即可求解. 【详解】由题意得，与角终边相同的角的集合为. 对A，当时，，故A错误. 对B，D，当时，，故B错误，D正确. 对C，当时，，故C错误. 故选：D. 2． 用角度制可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由弧度制和角度制的换算规则进行计算即可. 【解析】. 所以用角度制可表示为. 故选：C. 3．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵圆心角为，∴ 圆心角的弧度数为， 又扇形的半径为2，∴该扇形的弧长， 故选：B. 4．方程，的实根为（    ） A． B． C． 或 D．以上都不是 【答案】C 【分析】结合正弦函数根的性质求解. 【详解】方程，则： 或，， 因为，所以或， 故选：C. 5．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边上一点的坐标求解三角函数值即可； 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以； 所以， 故选：C 6．已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】角的终边过点，故可得， 解得，故. 故选：D. 二、填空题 7． 弧度化为角度是 . 【答案】 【分析】根据弧度转换为角度的公式计算. 【解析】弧度化为角度为， 故答案为：. 8．分针一小时所转过的角是 . 【答案】 【解析】因为一小时等于六十分，即分针顺时针走了一圈，所以分针一小时所转过的角是 故答案为：. 9．“角为第一象限角”是“”的 条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选一个填写)  【答案】充分不必要 【解析】当角为第一象限角时，，，所以. 当时，，或，. 若，，则角为第一象限角； 若，，则角为第四象限角. 所以“角为第一象限角”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 10．求值： . 【答案】/ 【分析】由特殊角的函数值计算即可. 【详解】原式. 故答案为：. 三、解答题 11．已知角. （1）把改写成的形式，并指出它是第几象限角； （2）求，使与终边相同，且. 【答案】（1），为第三象限角；（2）角的值为，220°，580°. 【解析】解：（1）2020°除以360°，商为5，余数为220°，∴，∴， 又是第三象限角，∴为第三象限角. （2）由（1）知，所以， 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意， 综上，角的值为，220°，580°． 12．如图，已知角的终边上有一点，求：    (1) (2)与的值. 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）由勾股定理可得. （2）由三角函数的定义可得与的值. 【详解】（1） （2）根据三角函数的定义：    13．假定此时12点整，那么1个小时后时针与分针的夹角是（ ） A.0 B. C. D. 【答案】D 【解析】1个小时后，时针指在1点整的位置，分针指在12点整的位置，时针与分针的夹角为， 故选：D. 14．已知，且，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据正弦及正切函数值在各象限的正负情况判断即可. 【解析】由可知，角的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴， 由可知，角的终边在第一象限或第三象限， 综上，角的终边第三象限. 故选：. 15．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单位圆的概念和三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点，单位圆的半径， 故， 故选：A. 16．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（ ） A． B．为钝角 C． D．点在第四象限 【答案】B 【分析】由已知条件可知角为第三象限角，由三角函数的定义求得的值，逐一分析选项即可. 【解析】选项：角的终边经过点，则，故正确； 选项：为第三象限角，不一定为钝角，故错误； 选项：，故正确； 选项：因为，所以点在第四象限，故正确． 故选：. 17．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为，则底面圆面积为 ，底面圆周长为 ； 又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为 ； 由圆锥的侧面积是底面积的2倍得： ，所以 ， 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ， 故选：C. 18．下列选项中，正确的是（ ） A. 第一象限的角都是锐角 B. C. 三角函数，都是奇函数 D. 【答案】B 【分析】根据象限角的范围，诱导公式化简求值，三角函数奇偶性，同角三角函数平方关系逐项判断即可. 【解析】第一象限的角不一定是锐角，如角在第一象限，但不是锐角，A错误； ，B正确； 三角函数是奇函数，是偶函数，C错误； 角在第二象限，则，，D错误. 故选：B. 二、填空题 19．已知角的终边经过，且,，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义列式可求出结果. 【详解】， 由，得，得， 由，得，得， 综上所述：. 故答案为： 20．点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 . 【答案】 【解析】点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点， 所以点Q是角的终边与单位圆的交点，所以Q， 又角的终边与的终边是相同的， 所以，，所以， 故答案为：. 21．若为第一象限的角，则为第 象限的角． 【答案】四 【分析】根据象限角范围推断出范围即可. 【详解】依题意可得，， 则，， 所以为第四象限的角． 故答案为：四． 22．代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合弧度制的定义，弧长公式即可得解. 【详解】如图， 依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为， 则，则，即， 因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数， 故答案为：． 三、解答题 23．计算. (1)， (2). 【答案】(1)8 (2)0 【分析】由特殊角的三角值计算即可. 【详解】（1） . （2） . 24．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点，点坐标为，. (1)求点坐标; (2)求阴影部分面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意分析可得，再根据圆与轴相切于原点及，可得，进而可得点的坐标； （2）由（1）可知，可求得以为圆心角的扇形面积，再过点作垂直于交于点，求出梯形的面积，最后根据阴影部分的面积梯形的面积以为圆心角的扇形面积求解即可. 【详解】（1）四边形为等腰梯形，，， ，又，， ， 以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点， ， 点的坐标为. （2）由（1）知，， 以为圆心角的扇形面积， 过点作垂直于交于点，如图：   四边形为等腰梯形， ， ， 梯形的面积， 阴影部分的面积梯形的面积以为圆心角的扇形面积 . 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第8题）设，则是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】D 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第8题）的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用特殊角的三角函数值可求. 【详解】. 故选：C. 3．（2023年·黑龙江省对口升学高考第9题）若是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，求角的度数. 【详解】∵是锐角，， ∴,∴， 解得. 故选：B. 4．（2022年·黑龙江省对口升学高考第8题）若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【分析】根据三角函数值的正负即可判断角所在象限. 【详解】因为，所以和异号， 所以是第二象限角或第四象限角， 又因为，所以和异号， 所以是第二象限角或第三象限角， 综上，是第二象限角. 故选:B. 5．（2022年·黑龙江省对口升学高考第9题）若角的终边在第二象限且经过点，则（ ） A. B. C D. 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义求值即可. 【详解】角的终边在第二象限且经过点， 则，， 所以， 故选：A. 6．（2020年·黑龙江省对口升学高考第8题）若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数值的符号判定所在象限角即可. 【详解】根据题意有， 所以可能为第二或第三象限角或在x轴负半轴上， 又因为， 所以可能为第二或第四象限角， 所以为第二象限角. 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $