专题34 余弦函数的图象和性质 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题34 余弦函数的图象和性质 一、知识梳理 1．我们用x表示自变量，y表示因变量，余弦函数可表示为y=cos x,x 2．余弦函数y=cos x,x[0,2]的图象上，起关键作用的五个点是(0,1)，(2,1) 3．余弦函数y=cos x,xR 的图象称为余弦曲线，是由正弦曲线向左平移个单位得到的如图所示． 4．余弦函数y=cos x ,xR的性质 （1）值域：[-1,1].当 x = 2k,kZ时，函数有最大值1；当 x=时，函数有最小值-1. （2）周期性：余弦函数的最小正周期是2 （3）奇偶性：余弦函数是偶函数． （4）单调性：余弦函数的单调递增区间是），单调递减区间是） 二、题型精练 题型1 函数的图象 【典例1】．要得到函数y=cos x的图象，只需把函数y=sin x的图象 ( ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向上平移个单位 D.向下平移个单位 题型2 函数的性质 【典例1】．函数的定义域是 三、知识检测 1.函数y=cosx+1的最大值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.函数y=cos x-2的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2 3.函数y=3+cos x是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 4.函数y=-cos x,x[0,]的单调递增区间是 ( ) A. B. C D.[0,] 5.函数y=cos x的图象与y=-cos x的图象关于 ( ) A.x轴和原点对称 B.直线y=x对称 C.y轴对称 D.直线y=对称 6.若，则a的取值范围是 ( ) A.[-1,3] B.[1,4] C.[2,5] D.[3,6] 7.已知函数y=-4+acos x的最大值是-2，则实数a的值为 ( ) A.3 B.±3 C.2 D.±2 8.已知点在余弦曲线上，则m= ( ) A. B. C. D. 9.函数y=cos 2x的奇偶性为 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 10.在区间上，下列说法正确的是 ( ) A.y=sinx是增函数，且 y=cosx是减函数 B.y=sinx是减函数，且 y=cosx是增函数 C.y=sinx是增函数，且 y=cosx是增函数 D.y=sinx是减函数，且 y=cosx是减函数 11.已知函数f(x)=2cos x+1，若f(x)=3，则实数x的取值集合是 12.函数y=-cos x+3的单调递增区间是 . 13.设M和m分别是函数y=3cos x-1的最大值和最小值，则M+m= 14.函数的定义域是 15.函数取得最小值时的自变量的取值集合是 . 16. 函数f(x)=-cos x+3的值域是 17.已知函数y=acos x+b的最大值是4，最小值是-3，求a,b的值 18求函数y=2cos x-3,x[0,]的最值. 19.求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题34 余弦函数的图象和性质 一、知识梳理 1．我们用x表示自变量，y表示因变量，余弦函数可表示为y=cos x,x 2．余弦函数y=cos x,x[0,2]的图象上，起关键作用的五个点是(0,1)，(2,1) 3．余弦函数y=cos x,xR 的图象称为余弦曲线，是由正弦曲线向左平移个单位得到的如图所示． 4．余弦函数y=cos x ,xR的性质 （1）值域：[-1,1].当 x = 2k,kZ时，函数有最大值1；当 x=时，函数有最小值-1. （2）周期性：余弦函数的最小正周期是2 （3）奇偶性：余弦函数是偶函数． （4）单调性：余弦函数的单调递增区间是），单调递减区间是） 二、题型精练 题型1 函数的图象 【典例1】．要得到函数y=cos x的图象，只需把函数y=sin x的图象 ( ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向上平移个单位 D.向下平移个单位 答案：A 分析： 由诱导公式： 所以  的图象可由  向左平移  个单位得到。 详解： 因此平移方向为向左，距离为 。 题型2 函数的性质 【典例1】．函数的定义域是 答案：定义域为 。 分析： 函数  的分母不能为零，即： 详解：  时，。 所以定义域为所有不等于  的实数： 三、知识检测 1.函数y=cosx+1的最大值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：D 分析： 函数 ， 的最大值为 1，所以整体最大值为： 详解： 2.函数y=cos x-2的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2 答案：D 分析： 函数  是  的纵向平移，不改变周期。 余弦函数  的最小正周期为 。 详解： 平移不改变周期，所以周期仍为 。 3.函数y=3+cos x是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 答案：B 分析： 设 ，则： 满足偶函数定义 。 详解：  是偶函数，加常数 3 后仍为偶函数。 4.函数y=-cos x,x[0,]的单调递增区间是 ( ) A. B. C D.[0,] 答案：D 分析：  的单调性与  相反。  在  上递减，在  上递增。 因此  在  上递增，在  上递减。 详解： ·  递减区间为 ，所以  递增区间为  5.函数y=cos x的图象与y=-cos x的图象关于 ( ) A.x轴和原点对称 B.直线y=x对称 C.y轴对称 D.直线y=对称 答案：A 分析： 若两个函数图象关于  轴对称，则对于任意 ，纵坐标互为相反数。  与  的纵坐标互为相反数，因此关于  轴对称。 同时关于原点对称也成立（因为余弦函数是偶函数，图象关于 y 轴对称，但  和  的关系主要是 x 轴反射）。 详解： ·  与  关于  轴对称，原点对称 6.若，则a的取值范围是 ( ) A.[-1,3] B.[1,4] C.[2,5] D.[3,6] 答案：B 分析： 由 ，所以： 两边乘 3： 详解： 7.已知函数y=-4+acos x的最大值是-2，则实数a的值为 ( ) A.3 B.±3 C.2 D.±2 答案：D 分析： 函数 ，： · 若 ，最大值在  时取得： · 若 ，最大值在  时取得： 详解： 8.已知点在余弦曲线上，则m= ( ) A. B. C. D. 答案：B 分析： 余弦曲线上点的纵坐标即为 ，所以： 详解： 9.函数y=cos 2x的奇偶性为 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案：B 分析： 设 ，则： 满足偶函数定义。 详解：  是偶函数， 也是偶函数（因为余弦函数的复合仍为偶函数）。 10.在区间上，下列说法正确的是 ( ) A.y=sinx是增函数，且 y=cosx是减函数 B.y=sinx是减函数，且 y=cosx是增函数 C.y=sinx是增函数，且 y=cosx是增函数 D.y=sinx是减函数，且 y=cosx是减函数 答案： A 分析： 在区间  上： ·  从 0 增加到 1，单调递增； ·  从 1 减小到 0，单调递减。 详解： · ， ⇒ 递增 · ， ⇒ 递减 11.已知函数f(x)=2cos x+1，若f(x)=3，则实数x的取值集合是 答案： 实数  的取值集合为： 分析： 由  得： 详解：  时，。 因此集合为 。 12.函数y=-cos x+3的单调递增区间是 . 答案：单调递增区间为： 分析：  在  上递减，在  上递增。 所以  在  上递增，在  上递减。 详解： ·  递减区间为  · 所以  递增区间为  即： 13.设M和m分别是函数y=3cos x-1的最大值和最小值，则M+m= 答案：。 分析： 函数 ，： · 最大值： · 最小值： 详解： 14.函数的定义域是 答案：定义域为 。 分析：  对所有实数  都成立，所以根号内始终非负。 详解： 而  的最小值恰好为 ，所以不等式恒成立，定义域为全体实数 。 15.函数取得最小值时的自变量的取值集合是 . 答案： 自变量  的取值集合为： 分析： 函数  的最小值在  取最小值时取得，即 。 详解： 此时： 因此取得最小值的  集合为 。 16. 函数f(x)=-cos x+3的值域是 答案：值域为 。 分析： 函数 ，，所以： 加 3 得： 详解： · 当  时，（最小值） · 当  时，（最大值） 17.已知函数y=acos x+b的最大值是4，最小值是-3，求a,b的值 答案： 分析： 函数  的最大值与最小值分别为： · 最大值：（若 ）或 （若 ） · 最小值：（若 ）或 （若 ） 由题意： 详解： 两式相加： 两式相减（最大值 - 最小值）： 所以： 因此  或 。 18求函数y=2cos x-3,x[0,]的最值. 答案：在  上，函数  的最大值为 ，最小值为 。 分析：  在  上单调递减，从  降到 。 因此： · 最大值在  处取得： · 最小值在  处取得： 详解： · ： · ： 因此最大值为 ，最小值为 。 19.求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合. 答案：最大值为 1，取得最大值时  的取值集合为： 分析： 令 ，则 ，且 。 原函数化为： 这是开口向上的二次函数，对称轴为 ，在区间  上，最小值在对称轴处，最大值在端点处取得。 详解： 端点值： · ： · ： 因此最大值为 1，在  时取得，即： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $