专题33 正弦函数的图象和性质 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题33 正弦函数的图象和性质 一、知识梳理 1．我们用x表示自变量，y表示因变量，正弦函数可表示为y=sin x,x 2．正弦函数y=sinx,x[0,2]的图象上，起关键作用的五个点是(0,0) ，，(,0) ， (2,0)用这五个点作正弦函数简图的方法称为“五点法”. 3．正弦函数y=sin x,xR 的图象称为正弦曲线，如图所示． 4．正弦函数y=sin x,xR的性质 （1）值域：[-1,1].当 x = 时，函数有最大值1；当 x=时，函数有最小值-1. （2）周期性：正弦函数的最小正周期是2 （3）奇偶性：正弦函数是奇函数． （4）单调性：正弦函数的单调递增区间是），单调递减区间是） 二、题型精练 题型1 函数的图象 【典例1】．要得到函数y=1+sinx的图象，只需把函数y=sinx的图象 ( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 题型2 函数的性质 【典例1】．函数y=-3+sinx的最大值是 三、知识检测 1.函数y=sinx-1的最大值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.函数y=sinx+2的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2 3.函数y= - sinx是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 4.函数y=1-sinx,x[0,]的单调递增区间是 ( ) A. B. C D.[0,] 5.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是 ( ) A.y=-x B. C.y=sin x D.y=cos x 6.若，则a的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.[-1,3] C.[-2,2] D.[-1,2] 7.已知函数y=3-asin x的最大值是5，则实数a的值为 ( ) A.5 B.±5 C.2 D.±2 8.用“五点法”作y=2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 ( ) A.0， B.0， C.0， D.0， 9.正弦函数y=sinx,xR的图象的一条对称轴是 ( ) A.y轴 B.x轴 C.直线 D.直线x= 10.以下对于正弦函数 y=sin x的图象描述不正确的是 ( ) A.在x[2k,2k,+2,],kZ上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于x轴对称 C.介于直线y=1 和 y= -1之间 D.与y轴仅有一个交点 11.函数y=-sin x+1的单调递减区间是 12.函数y=|sin x|的最小正周期是 . 13.函数的定义域是 14.函数y=2sin x-3的单调递减区间是 15.函数y=lg(2sin x-1)的定义域是 . 16. 函数 的定义域为 17.已知函数y=asinx+b的最大值是5，最小值是-1，求a,b的值 18求函数y=2sin x-3,x[0,]的最值. 19.求函数的最小值. 20.求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题33 正弦函数的图象和性质 一、知识梳理 1．我们用x表示自变量，y表示因变量，正弦函数可表示为y=sin x,x 2．正弦函数y=sinx,x[0,2]的图象上，起关键作用的五个点是(0,0) ，，(,0) ， (2,0)用这五个点作正弦函数简图的方法称为“五点法”. 3．正弦函数y=sin x,xR 的图象称为正弦曲线，如图所示． 4．正弦函数y=sin x,xR的性质 （1）值域：[-1,1].当 x = 时，函数有最大值1；当 x=时，函数有最小值-1. （2）周期性：正弦函数的最小正周期是2 （3）奇偶性：正弦函数是奇函数． （4）单调性：正弦函数的单调递增区间是），单调递减区间是） 二、题型精练 题型1 函数的图象 【典例1】．要得到函数y=1+sinx的图象，只需把函数y=sinx的图象 ( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 答案：C 分析： 函数  到  是在原来的函数值基础上整体加 1，即纵坐标增加 1，对应图象向上平移 1 个单位。 详解：  表示将  的图象沿  轴正方向（向上）平移 1 个单位。 题型2 函数的性质 【典例1】．函数y=-3+sinx的最大值是 答案：最大值为 。 分析： 函数 ，其中  的最大值为 1。 所以整体最大值为： 详解： 因此最大值为 。 三、知识检测 1.函数y=sinx-1的最大值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案： B 分析： 函数 ， 的最大值为 1，所以整体最大值为： 详解： 2.函数y=sinx+2的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2 答案：D 分析： 函数  是  的纵向平移，不改变周期。 正弦函数  的最小正周期为 。 详解： 平移不改变周期，所以周期仍为 。 3.函数y= - sinx是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 答案：A 分析： 设 ，则： 满足奇函数定义 。 详解：  是奇函数，乘以  后仍为奇函数。 4.函数y=1-sinx,x[0,]的单调递增区间是 ( ) A. B. C D.[0,] 答案：C 分析：  的单调性与  相同，即与  相反。  在  和  上递增，在  上递减。 因此  在  上递增。 详解： ·  递减区间为  ·  递增，所以  也递增。 5.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是 ( ) A.y=-x B. C.y=sin x D.y=cos x 答案： C 分析： 奇函数需满足 ，且在给定区间上单调递增。 详解： A. ：奇函数，但在  上单调递减 ❌ B. ：偶函数，不是奇函数 ❌ C. ：奇函数，且在  上单调递增 ✅ D. ：偶函数，不是奇函数 ❌ 6.若，则a的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.[-1,3] C.[-2,2] D.[-1,2] 答案：B 分析： 由 ，所以： 两边乘 2： 详解： 7.已知函数y=3-asin x的最大值是5，则实数a的值为 ( ) A.5 B.±5 C.2 D.±2 答案：D 分析： 函数 ，由于 ： · 若 ，最大值在  时取得： · 若 ，最大值在  时取得： 详解： 8.用“五点法”作y=2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 ( ) A.0， B.0， C.0， D.0， 答案：B 分析： 用“五点法”作  的图象，令  取 ，对应  为： 详解： 五个关键点对应  的值为： 除以 2 得： 9.正弦函数y=sinx,xR的图象的一条对称轴是 ( ) A.y轴 B.x轴 C.直线 D.直线x= 答案：C 分析： 正弦函数  的对称轴方程为： 其中一条为 。 详解： · A. y轴（）不是正弦函数的对称轴 · B. x轴（）是水平线，不是对称轴 · C.  是正弦函数的一条对称轴 ✅ · D.  不是对称轴 10.以下对于正弦函数 y=sin x的图象描述不正确的是 ( ) A.在x[2k,2k,+2,],kZ上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于x轴对称 C.介于直线y=1 和 y= -1之间 D.与y轴仅有一个交点 答案： B 分析： 正弦函数  的图象： · 关于原点对称（奇函数），不是关于  轴对称。 · 其他选项均正确。 详解： A. 正弦函数图象在  上形状相同，只是位置平移 ✅ B. 关于  轴对称 ❌（实际上关于原点对称） C. 值域 ，图象介于  和  之间 ✅ D. 与  轴交于点 ，仅有一个交点 ✅ 11.函数y=-sin x+1的单调递减区间是 答案： 函数  的单调递减区间为： 分析：  的单调性与  相同，即与  相反。  在  上递增，所以  在此区间上递减。 详解：  递减时， 递增，即： 因此单调递减区间为 。 12.函数y=|sin x|的最小正周期是 . 答案：最小正周期是 。 分析：  是将  在  轴下方的部分翻折到上方，周期变为原来的一半。 详解：  的周期为 ，取绝对值后，负半周期变为正，因此周期缩短为 。 验证：，所以  是周期，且不存在更小的正周期。 因此最小正周期为 。 13.函数的定义域是 答案：定义域为 。 分析： 根号内需满足 ，即 。 由于 ，所以只有  时成立。 详解： 因此定义域为 。 14.函数y=2sin x-3的单调递减区间是 答案： 函数  的单调递减区间为： 分析：  的单调性与  相同。  在  上单调递减。 详解： 系数 2 和常数项 -3 不影响单调性，因此减区间与  相同： 因此单调递减区间为 。 15.函数y=lg(2sin x-1)的定义域是 . 答案： 定义域为： 分析： 对数函数真数需大于 0，即： 详解： 解 ，在  上为： 加上周期 ，得： 16. 函数 的定义域为 答案：定义域为： 分析： 函数  需满足： 1. 根号内非负： 2. 分母不为零：（因为根号在分母中，所以严格大于 0） 因此 。 详解： 解 ，在一个周期  内为： 加上周期 ，得： 17.已知函数y=asinx+b的最大值是5，最小值是-1，求a,b的值 答案： 分析： 函数  的最大值与最小值取决于 。 · 最大值：（若 ）或 （若 ） · 最小值：（若 ）或 （若 ） 由题意： 详解： 两式相加： 两式相减（最大值 - 最小值）： 所以： 因此  或 。 18求函数y=2sin x-3,x[0,]的最值. 答案：在  上，函数  的最大值为 ，最小值为 。 分析：  在  上的取值范围为 。 所以： · 最大值：，在  处取得。 · 最小值：，在  或  处取得。 详解： · ： · ： · ： 因此最大值为 ，最小值为 。 19.求函数的最小值. 答案：最小值为 。 分析： 令 ，则 ，函数化为： 在  上，当  时取最小值 。 详解： 因为 ，最小值为 ，当  时取得，即  时。 20.求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合. 答案：最大值为 ，取得最大值时  的取值集合为： 分析： 令 ，则 ，函数化为： 当  时取得最大值 。 详解： 最大值  在  时取得，即： 解得： 因此最大值为 ，取得最大值的  集合为： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $