专题30 任意角三角函数的定义 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题30 任意角三角函数的定义 一、知识梳理 1．任意角的三角函数 在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角α终边上任意一点，r=|OP|=(r>0)，则sin= ,cos= ,tan= 2．三角函数在各象限的符号 （1）正弦函数在第一、二、三、四象限的符号分别为 +、+、-、-。 （2）余弦函数在第一、二、三、四象限的符号分别为 +、-、-、+。 （3）正切函数在第一、二、三、四象限的符号分别为+、-、+、-。 3．单位圆与三角函数线 （1）半径为1的圆称为单位圆．角的终边与单位圆的交点坐标是(cos,sin) （2）在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆相交于点P(x,y)过点P向x轴引垂线，垂足为M，则分别叫作余弦线，正弦线;单位圆与x轴的正半轴相交于点A，过点A的圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T，则叫作正切线，如图所示． 二、题型精练 题型1 任意三角函数的定义 【典例1】．已知角的终边经过点P(-3,4)，求sin,cos 和tan的值 答案：，， 分析： 点  到原点距离 。 由三角函数定义： 详解： 【典例2】．已知角的终边经过点P(-3,m)，若，则m= 答案： 分析： 由 cos α=，其中 x=−3，r=。 已知  cos α=，所以： = 解得 r=5，进而求 m。 详解： 题型2 三角函数在各象限的符号 【典例1】．已知sin >0,tan<0，则角的终边所在的象限是 答案：第二象限 分析： sin >0 ⇒ 第一或第二象限。 tan<0⇒ 第二或第四象限。 同时满足的只有 第二象限。 详解： sin >0 ⇒ 第一或第二象限。 tan<0⇒ 第二或第四象限。 同时满足的只有 第二象限。 题型3 单位圆与三角函数线 【典例1】．已知，则角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标是 答案：交点坐标为  分析： 角  的终边与单位圆的交点坐标为 。 详解： 所以交点坐标为 。 三、知识检测 1.已知角终边上一点P(0,2)，则sin ,cos 的值分别为 ( ) A.0,1 B.1,0 C.0,-1 D.-1,0 答案：B 分析： 点  在  轴正半轴上，到原点距离 。 由定义： 详解： 2.已知角的终边经过点P(m,-6)，若，则cos 等于 () A. B. C. D. 答案：D 分析： 点 ，，解出 ，再求  和 。 详解： 点 ，到原点距离： 所以  3.已知角的终边经过点P(m,-m)(m≠0)，则sin 等于 ( ) A. B. C.士 D.±1 答案： C 分析： 点 ，到原点距离： 由定义： 详解： · 若 ， · 若 ， 4.已知cos>0,tan<0，则角终边所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 分析： 根据三角函数在各象限的符号： · 第一象限：， · 第二象限：， · 第三象限：， · 第四象限：， 详解： 已知  且 ，符合第四象限的符号特征。 5.若，则角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标是 ( ) A. B. C. D. 答案：B 分析： 角  的终边与单位圆的交点坐标为 。 详解： 所以交点坐标为 。 6.已知角的终边经过点P(2m,-4m)(m≠0)，则tan 等于 ( ) A.-2 B.2 C. D. 答案：A 分析： 点 ，由定义： 与  的符号无关。 详解： 7.设是第二象限角，则等于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：A 分析：  是第二象限角，则： ·  ⇒  ·  ⇒  ·  ⇒  代入原式： 8.已知角的终边过点P(-1,2)，则tan=( ) A.2 B.-2 C. D. 答案：B 分析： 点 ，由正切定义： 详解： 9.若，则点Q(cos ,sin)位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 A.第三象限 B.第四象限 答案：D 分析： 当  时， 在第四象限角范围内。 此时： 因此点  的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限。 详解： · （x 正） · （y 负） 所以点在第四象限。 10.在直角坐标系xOy中，已知 5．利用，那么角的终边与单位圆的交点O的坐标为 ( ) A. B. C. D. 答案：A 分析： 单位圆上角  对应的点坐标为 。 详解： 已知： 所以交点坐标为 。 11.已知角的终边经过点P(5,-12)，则cos -sin = 答案： 分析： 点 ，到原点距离： 由定义： 详解： 12.若点P(sin ,cos ）是第四象限内的点，则角终边所在的象限是 . 答案：角  的终边在 第二象限 分析： 点  在第四象限，意味着： 在四个象限中， 且  对应第二象限。 详解： · 第四象限点坐标满足  · 所以  且  · 在第一象限  都正；第二象限  正， 负；第三象限都负；第四象限  负， 正。 因此  的终边在 第二象限。 13.已知角的终边经过点P(5,-10)，则tan= 答案：。 分析： 点 ，由正切定义： 详解： 14. 若角的终边在直线y=2x上，则角的终边与单位圆的交点坐标为 答案：交点坐标为 ，具体为： · 当终边在第一象限（）时： · 当终边在第三象限（）时： 分析： 直线  上点与单位圆交点满足： 代入得： 对应 。 详解： ·  时，，在第一象限： ·  时，，在第三象限： 15.若 sintan<0且，则角所在的象限是 . 答案：角  在 第三象限。 分析：由  知  与  异号。 由  知  与  异号。 因此  与  同号（都与  异号）。 同号时，角在第一或第三象限。 再结合 ，若  与  同号，则 ，且  意味着 ，所以 ，即在第三象限。 详解： · 由  ⇒  与  异号 · 由  ⇒  与  异号 · 所以  与  同号 · 又 ， ⇒  ⇒ 第三象限 16.如果的终边过点（2sin 30°,-2cos 30°)，那么sin 答案： 分析： 点 ，先化简坐标，再求 。 详解： 点 ，到原点距离： 17.已知角的终边在直线y=-3x上，求cos的值 答案： 分析： 直线  过原点，角  的终边可能在第二象限（）或第四象限（）。 设终边上一点为 ，到原点距离： 由定义： 详解： · 若终边在第二象限（），，取负； · 若终边在第四象限（），，取正。 因此： 18已知角的终边经过点，求实数m的值. 答案：。 分析： 点 ，到原点距离： 由 ，得： 详解： 两边平方： 因为 ，且 ，角  在第一象限，，所以 。 19.已知角的终边经过点P(3,m)，且，求： （1）实数m的值； （2)cos和tan 的值. 答案： (1)  (2) ， 分析： 点 ，到原点距离： 由 ，可求 ，再求其他三角函数值。 详解： (1) 两边平方： 因为 ，且 ，角  在第四象限，所以 ，故 。 (2) 20.已知角 的终边经过点P(-1,3)，求 的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标. 答案：交点坐标为  分析： 角  的终边经过点 ，先求该点到原点的距离 ，然后将坐标除以  得到单位圆上的交点。 详解： 单位圆上交点坐标为： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 任意角三角函数的定义 一、知识梳理 1．任意角的三角函数 在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角α终边上任意一点，r=|OP|=(r>0)，则sin= ,cos= ,tan= 2．三角函数在各象限的符号 （1）正弦函数在第一、二、三、四象限的符号分别为 +、+、-、-。 （2）余弦函数在第一、二、三、四象限的符号分别为 +、-、-、+。 （3）正切函数在第一、二、三、四象限的符号分别为+、-、+、-。 3．单位圆与三角函数线 （1）半径为1的圆称为单位圆．角的终边与单位圆的交点坐标是(cos,sin) （2）在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆相交于点P(x,y)过点P向x轴引垂线，垂足为M，则分别叫作余弦线，正弦线;单位圆与x轴的正半轴相交于点A，过点A的圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T，则叫作正切线，如图所示． 二、题型精练 题型1 任意三角函数的定义 【典例1】．已知角的终边经过点P(-3,4)，求sin,cos 和tan的值 【典例2】．已知角的终边经过点P(-3,m)，若，则m= 题型2 三角函数在各象限的符号 【典例1】．已知sin >0,tan<0，则角的终边所在的象限是 题型3 单位圆与三角函数线 【典例1】．已知，则角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标是 三、知识检测 1.已知角终边上一点P(0,2)，则sin ,cos 的值分别为 ( ) A.0,1 B.1,0 C.0,-1 D.-1,0 2.已知角的终边经过点P(m,-6)，若，则cos 等于 () A. B. C. D. 3.已知角的终边经过点P(m,-m)(m≠0)，则sin 等于 ( ) A. B. C.士 D.±1 4.已知cos>0,tan<0，则角终边所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若，则角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标是 ( ) A. B. C. D. 6.已知角的终边经过点P(2m,-4m)(m≠0)，则tan 等于 ( ) A.-2 B.2 C. D. 7.设是第二象限角，则等于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 8.已知角的终边过点P(-1,2)，则tan=( ) A.2 B.-2 C. D. 9.若，则点Q(cos ,sin)位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 A.第三象限 B.第四象限 10.在直角坐标系xOy中，已知 5．利用，那么角的终边与单位圆的交点O的坐标为 ( ) A. B. C. D. 11.已知角的终边经过点P(5,-12)，则cos -sin = 12.若点P(sin ,cos ）是第四象限内的点，则角终边所在的象限是 . 13.已知角的终边经过点P(5,-10)，则tan= 14. 若角的终边在直线y=2x上，则角的终边与单位圆的交点坐标为 15.若 sintan<0且，则角所在的象限是 . 16.如果的终边过点（2sin 30°,-2cos 30°)，那么sin 17.已知角的终边在直线y=-3x上，求cos的值 18已知角的终边经过点，求实数m的值.. 19.已知角的终边经过点P(3,m)，且，求： （1）实数m的值； （2)cos和tan 的值. 20.已知角 的终边经过点P(-1,3)，求 的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $