专题25 换底公式 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题25 换底公式 一、知识梳理 1. 换底公式 且a≠1,b>0且b≠1) 2. 常用推论(a>0且a≠1,b>0且b≠1) (1)1 (2) 二、题型精练 题型1 换底公式 【典例1】．计算：等于 ( ) A.2 B. C. D.4 【典例2】．若lg2=0.3010,lg7=0.8451，则lg35等于 ( ) A.1.544 1 B.0.544 1 C.1.146 1 D.1 题型2 换底公式推论的应用 【典例1】．若，则等于 ( ) A. B.0 C.1 D.ab 【典例2】．求证 三、知识检测 1. 计算：16等于 ( ) A. B.128 C. D. 2. 若lg3=a， lg5=b，则等于 ( ) A. B. C. D.b 3.计算等于( ) A. B.2 C. D. 4. 式子的值为 ( A.18 B. C. D. 5. 已知ln3=a,ln5=b，那么用含a,b的代数式表示为 ( ) A.a-b B.ab C. D.a+b 6. 计算：等于 ( ) A.3 B.-3 C. D. 7. 已知，用含x,y的代数式表示lg2等于 ( ) A.xy B. D. 8. 已知=a，=b，则 A. B. C. D. 9. 已知lg a和lg b分别是的两个根，则ab等于 ( ) A.10 B.1 C.100 D. 10. 已知，则log6 11. 把对数且a≠1)换成以c(c>0且c≠1)为底的对数应是 . 12. 计算： 13. 已知，则 .（用a,b表示） 14. 计算： 15. 已知，试用p表示的值. 16. 计算： 17. 已知，求m的值. 18已知，求 19. 已知方程的两个根分别是a,b，求的值. 20. 计算． (1) (2) 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 JP.ZXXK.COM 专题25换底公式 一、知识梳理 1.换底公式 logk N=l0g N a>0且a≠1，b>0且b≠1) log b 2.常用推论(a0且a≠1，b>0且b≠1) (1)1ogcb×logp a=1 (2)log b"=log b. m 二、题型精练 题型1换底公式 【典例1】.计算：10g48等于() A.2 B时 C. 3 答案：C 分析： 利用换底公式或幂的运算： 1og48=1og22=31og22=3 详解： 42=(22=2=8 所以： s8= ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权： AI职教 zhijiao.xkw.com D.4 11 侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例2】.若1g2-0.3010,lg7=0.8451,则lg35等于（) A.1.5441 B.0.5441 C.1.1461 D.1 答案：A 分析： lg35=lg(5×7)=lg5+lg7 且 g5=g9=g10-92=1-0.3010=0.690. 详解： 1g35=0.6990+0.8451=1.5441 题型2换底公式推论的应用 +1 【典例1】.若2=3=6，则 6等于 () A.60+b B.0 C.1 D.ab 答案：C 分析： 由2=6得a=10g26,由3=6得b=10g36。 则： a6ls26s。3 a log,6 相加： l0g 62+l0g 63=l0g 66=1 详解： 6,b=l0g360g62,10g632+10g2+1o%63o8 a a b 【典例2】.求证：l1og881=号1og23. 3 答案： 1b881-号a63度立 分析： 22 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 利用换底公式将左式化为以2为底，再化简。 详解： l0g281 log 881= 1og28 因为81=34,8=2，所以： log,81=l0g,3=4l0g 3l0g,8=l0g,2=3 所以： 1og81=4log3-号1og3 33 因此等式成立。 三、知识检测 1计算：1o816等于() A.2 D.- 4 B.128 3 答案：D 分析： 利用换底公式或幂的运算： 1og116=l0g224=4=. 4 -33 详解： -2号-2=16 所以： 33 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com l0g116=- 4 3 2.若g3=a,lg5-b,则l0g53等于 () A号 B C.a D.b 答案：A 分析： 利用换底公式： l0g s3=1g3_a 1g5 b 详解：l0g53=lg3=Q 1g5 b log49 3.计算1og3等（） A.3 B.2 c D吗 答案：B 分析： 利用换底公式或对数性质： log a9 log 43 =log39=2 详解： log 49 log 3 =log39=log332=2 4.式子logg16×1og881的值为 44 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 JP.ZXXK.COM A.18 B I 18 答案：D 分析： 利用换底公式，将各项化为以2或3为底的对数。 详解： log16-log 2log 32=2log 32log a81=log23 乘积： 21o82×等1og3-号×1l82-1og31-g 3 5.已知ln3-a,ln5b,那么log35用含a,b的代数式表示为 A.a-b B.ab Q 答案：C 分析： 利用换底公式，将10g35化为自然对数形式： g5=h5-6 In3 a 详解： log35=In5_b In3 a 6.计算： 等于（) 10 A.3 B.-3 c 答案：C 分析： ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权， AI职教 zhijiao.xkw.com 83 g,3 () D.a+b D.- 55 侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 利用指数与对数的恒等式：1093=3，而 0=(1013=1093=1=1 1g3 1093=3 详解： 1 =1093=1-1 10 10933 7.已知log72=x,log75=y,用含xy的代数式表示g2等于 () A.xy B.x C.-Y D.1-x x+y x+y x+y 答案：B 分析： g2是以10为底的对数，而已知的是以7为底的对数。 利用换底公式： log 72 1g2=1og7101og70 而： 1og710=log7（2×5)=log72+log75=x+y 所以： lg 2=-x x+y 详解： x 02=1og,1010g72+10g,5*+ 8已知lg2-a,lg3=b,则log36等于() A.Q+b B.a+b C.a D、b a b a+b a+b 答案：B 66 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 分析： 利用换底公式和对数运算法则： 1og:6=g6-92×3-lg2+lg3 1g3 lg3 1g3 详解： l1og,6=g6=92+g3a+b 1g 3 1g3 b 9.已知ga和gb分别是x+x-3=0的两个根，则b等于 () 1 A.10 B.1 C.100 0 答案：D 分析： 由韦达定理，方程x2+x-3=0的两根之和为-1，两根之积为-3。 这里两根分别为lga和lgb,所以： lg a+lg b=-1,lg a.lg b=-3 而lg(ab)=lga+gb=-1,所以ab=101= -10° 详解： ga+lgb=-1→lg(ab=-1→ab=101=1 10 36 10.己知log65=a,1og67=b,则1og635- 36=2-a-b 答案：10g6 分析： 利用对数运算法则： 36=1og636-log635=log662-log6(5×7) 1og6 详解： 77 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 36=1og636-l1og635=2-(log65+log67)-=2-a-b 10g6 11.把对数log。b(a>0且a≠1)换成以c(c>0且c+1)为底的对数应是 logb 答案：log ab=i gca 分析： 这是对数的换底公式，用于将对数从一个底数转换为另一个底数。 详解： 由换底公式： log b log。b= logca 其中a,b,c>0,且a≠1，c≠1。 log b 因此填： log ca 12.计算：1og:32×10g227=_ 答案：10g332×1og227=15 分析： 利用换底公式或幂的对数性质，将各数化为同底后相乘。 详解： 10g332=log32°=5log32log227=log233=31og23 乘积： 5log32×31og23=15×(1og32·1og23)=15×1=15 结果为15。 88 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 13.已知3°=5，log32=b,则log3V30=·(用a,b表示) 答案：log,830=a+bt+1 分析： 由3=5得a=l0g35,又已知b=l0g32。 而： 1og,830=21g30=log3+1og32+1og5)=1+b+a 详解： 1g330=log3×2×5)=log:3+log2+lg5j)1+b+a 因此结果为 2a+b+1. 14.计算：1og27×1og73×log35×log516. 答案：l0g27×log73×log35×log516=4 分析： 利用换底公式或对数恒等式：log ab×log bc=log ac,依次化简。 详解： log27×log73=log231og23×log35=log25 1og25×1og516=log216=log224=4 结果为4。 15.已知log35=p,试用p表示og:27的值 答案：l0g127=.3 5 p 分析： 99 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 利用换底公式将 log127 化为以3或5为底的对数。 详解： 10g127=10g327 3 3=.3 5 1 log 35-1 -10g35p 1o35 3 因此结果为 16.计算：1og23×log35×log57×log732. 答案：log23×log35×l0g57×log732=5 分析： 利用对数恒等式log。b×log6c=log ac,依次化简。 详解： log23×log35=log25log25×logs7=l1og27 log27×log732=log232=log22°=5 结果为5。 17.己知log34×1og48~log8m=2,求m的值， 答案：m=9。 分析： 利用对数恒等式log。b×logc=log。c依次化简。 详解： 1og34×log48=log38log38×log am=log3m 由题意： 1og3m=2→m=32=9 因此m=9。 1010 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 18已知log29=m.log25=n,求log245. 答案：l0g245=m+n 分析： 利用对数的乘法法则： 10g 245=l0g 2(9x5)=l0g29+l0g25 详解： log 245=l0g 29+l0g 25=m+n 因此结果为m+n。 19.已知方程gx+2gx-3=0的两个根分别是ab,求log。b+10g的值， 答案：logb+log6a=.10 3 分析： 先解方程lgx+2lgx-3=0,求出两个根对应的a,b,再计 算log。b+log pa。 详解： 设t=lgx,则方程化为： t2+2t-3=0t+3)(t-1)=0 得： t=-3或t=1 所以： a=103,b=10 计算： o3:6=legn10=3=30g6a=logn10-3 和： 1111 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3-31- 3 10 因此结果为 3。 20.计算， (1)log427×1og2s8×1og95;(2)lg5)2+lg2×lg25+(lg22 答案： 号 (2)1 分析： ()利用换底公式和对数运算法则化简。 (2)利用完全平方公式和lg2+lg5=1。 详解： (1) l1og427×log258×logg5 用换底公式（以10为底）： =lg27×lg8×lg5=3lg3×3g2×lg5 1g4 1g25 1g9 21g 2 21g 5 21g 3 约分： .3×3-9 2×2×28 (2) lg52+1g2·lg25+(lg2P 因为lg25=2lg5,所以： =(lg52+2lg2·lg5+(lg2)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1 1212 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！