专题48 二项分布与正态分布（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题48 二项分布与正态分布 【复习目标】 1.掌握两点分布的定义与适用条件，明确其为单次独立试验、仅有两种对立结果（成功、失败）的概率模型 2.掌握n次独立重复试验的三大核心特征：试验重复、每次试验相互独立、每次仅有两种结果、单次试验成功概率恒定； 3.理解二项分布的定义及符号标记，熟记二项分布概率计算公式、数学期望公式，明确公式中（试验次数）、（单次成功概率）的实际含义 4.掌握超几何分布的适用场景：总体含两类有限个体、不放回抽样、抽取数量有限；理解超几何分布的模型定义； 5.了解正态分布的概念及适用场景（连续型随机变量分布），区别于前三种离散型分布；认识正态曲线的图像特征：对称性、单峰性、两端无限趋近轴；明确参数（均值）、（标准差）的几何意义； 6.熟记中职考纲要求的正态分布3原则，掌握常用区间概率数值，无需复杂推导，重点识记、直接应用。 1、 【知识清单】 知识点1：两点分布 1.两点分布的定义：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从 两点分布 ，并称p＝P(X＝1)为成功概率． X 0 1 P 1－p p 2.两点分布的试验结果只有 两个 可能性，且其概率之和为 ； 3.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则 ， 知识点2：次独立重复试验 1.定义：一般地，在 相同 条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 独立重复试验的条件： 1 每次试验在同样条件下进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2. 次独立重复试验特点： （1）每次试验中，事件发生的概率是 相同的 ； （2）每次试验中的事件是 相互独立 的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点3：二项分布 1.定义：一般地，在次 独立重复 试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列： … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 2.二项分布的期望、方差：若，则 , 注意：由二项分布的定义可以发现， 两点分布 是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 3.二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是 相互独立的 ； ②每次试验只有 两种 结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是 放回 抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 知识点4：超几何分布 1.超几何分布定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2.超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是 不放回 抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识点5：正态曲线 1.定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为 正态分布密度曲线 ，简称正态曲线．正态曲线呈 钟 形， 即 中间 高， 两边 低． 2.正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与 不相交 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在处达到 峰值（最大值） ； （4）曲线与轴之间的面积为 ； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越 “高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越 “矮胖” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 知识点6：正态分布 1.正态分布定义：随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间 的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从 正态分布 ．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．其中，参数是反映随机变量取值的 平均水平 的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体 波动大小 的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则：若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明 越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的 概率 越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 2、 【技巧归纳】 1.二项分布的解题步骤 1、定型 “独立”、“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参 确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表 根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列 4、求值 根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知)，则（，，，…，），，． 2.利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个常用结论： (1)对任意的，有. (2). (3)). 三、【考点清单】 考点1 二项分布 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据题意结合期望公式即可得解. 【详解】，， 故选：. 【即时训练】 1. 每次试验的成功率为，则在6次试验中，前4次成功，后2次失败的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意，结合独立重复实验的概率的计算，即可求解. 【详解】因为每次试验的成功率为， 所以在6次试验中，前4次成功，后2次失败的概率为. 故选：D. 2. （2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模试卷）某篮球爱好者每次投篮投中的概率是0.8，他连续投5次，恰有3次投中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意得出没投中的概率为，结合独立重复试验的概率性质即可得解. 【详解】篮球爱好者每次投篮投中的概率是0.8，则没投中的概率为， 连续投5次，恰有3次投中的概率是， 故选：. 3. 已知随机变量服从二项分布，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布. 所以. 故选：A. 4. 设，且 ，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】二项分布的方差 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得：或， 因为，所以或均满足题意. 故选：D. 5. 某射手每次射击命中目标的概率为，现该射手进行3次独立射击.设随机变量表示3次射击中命中的次数，则服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据二项分布的概率公式求值即可. 【详解】已知射手每次射击命中目标的概率为， 且进行3次独立射击，则有次命中的概率， 即， 故选：A. 6. 随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的方差、离散型随机变量的方差 【分析】根据二项分布的方差公式以及对立事件的概率求解即可. 【详解】，， 故方差， 故选:C． 7. 若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A．39 B．65 C．50 D．63 【答案】D 【知识点】排列数的计算、独立重复试验的概率问题、组合数的计算 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D 8. 已知随机变量，则_______. 【答案】2 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据题意，结合服从二项分布的变量的期望的计算，即可求解. 【详解】因为随机变量， 所以. 故答案为：2. 9. 随机变量X服从，若，，则n为______. 【答案】10 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求解. 【详解】随机变量X服从， 已知，即①； ，即②， 将①代入②可得：，则， 再把代入①式中，可得，解得， 故答案为：10. 10.（2022届浙江省职业教育-中职联盟职高高三联考试卷）2020年全国范围爆发了大面积的新冠肺炎，国家积极研发药物治疗该突发疾病，假设一个病人服用该药后被治愈的概率为0.9，则服用这种药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________（用数字作答）. 【答案】0.9477 【知识点】利用二项分布求分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件的概率公式与二项分布求概率即可得解. 【详解】由题意可知，每个病人被治愈的概率均为0.9， 所以服用这种药的4个病人中至少3人被治愈的概率为. 故答案为：0.9477. 11. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率分别为和，且各次射击的结果互不影响.则甲射击5次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______. 【答案】 4 /0.9975 【知识点】二项分布的均值、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】直接利用二项分布数学期望公式即可求解；利用“至少有1人击中目标”的对立事件“没有人击中目标”的概率即可求解. 【详解】依题意， 甲射击5次符合二项分布，设甲击中目标次数为， 则有； 设事件“至少有1人击中目标”为，事件“没有人击中目标”为， 则互为对立事件， 所以， 所以； 故答案为：；. 12. 袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是___________.有3个人参与这个游戏，则至少有1人获奖的概率是___________. 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据计数原理，所有的取球方法共有种，而三种球各有一个共包含个，故获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X,则，求出都不获奖的概率，故至少有1人获奖的概率可求. 【详解】设中奖为事件A,则事件A包含的基本事件个数为， 所有的基本事件共有个，所以中奖概率为； 有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X，则， ， 所以至少有1人获奖的概率为 故答案为：；. 13. 甲投篮的命中率为0.6，现投篮3次．设命中的次数为X． (1)求X满足什么分布，并求X的值； (2)求和． 【答案】(1)X满足二项分布，X的值可能是0，1，2，3 (2)1.8，0.72 【知识点】二项分布的均值、二项分布的实际应用、二项分布的方差 【分析】（1）重复3次投篮，互相独立，说明X服从二项分布； （2）由二项分布的期望公式和方差公式即可求解. 【详解】（1）X满足二项分布，即， 命中的次数为X，则X的值可能是0，1，2，3. （2）， . 14. 某篮球运动员投篮的命中率为，现投篮次.设命中的次数为. (1)求满足什么分布，并求的值及其分布列； (2)求和. 【答案】(1)二项分布，分布列见解析 (2)， 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、利用二项分布求分布列 【分析】（1）根据投篮只有两种结果判断为二项分布，由随机变量的二项分布可求概率，根据结果可作分布列； （2）根据二项分布的期望方差公式可求. 【详解】（1）因为投篮只有命中和不命中两种情况，所以满足二项分布； 投篮三次，可能中0次，可能中1次，可能中2次，可能中3次； 故，， ，； （2）因为， 所以； . 考点2 正态分布 【典例2】（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市高三高职模拟考试）某中职学校高三年级1000名男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，且，学校篮球队选拔身高不低于的男生，则估计该校高三满足身高要求的男生人数为（   ）． A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】A 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率 【分析】根据题意结合正态分布的性质即可得解. 【详解】高三年级1000名男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布， 则，， 因为，根据对称性可知， 则， 所以高三满足身高不低于的男生人数为， 故选：. 【即时训练】 15. 已知随机变量服从正态分布，则其正态曲线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据题意，结合正态分布，即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以正态曲线的对称轴是. 故选：A. 16. 已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布曲线的对称性直接求解即可. 【详解】，，. 故选：B. 17. 已知随机变量服从正态分布，且，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为， 又，所以， 则， 所以， 所以. 故选：C. 18. 若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性即可解答. 【详解】已知随机变量服从正态分布， 由于标准正态分布关于对称， 且，所以， 所以， 由对称性可 ， 故选：D. 19. 如图是当取三个不同值的三种正态曲线的图象，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、概率分布曲线的认识 【分析】根据正态分布曲线的特征，通过观察曲线的宽度和在y轴上的值来判断的大小关系. 【详解】当时，正态曲线， 在时，取得最大值，故． 由正态曲线的特征，当一定时，曲线的形状由确定． 越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”， 于是有． 故选：D. 20. 某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（    ）附：若，则. A．23 B．46 C．159 D．317 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】依题意，计算数据后乘以总人数即可. 【详解】由，得， 则， 估计优秀的学生人数约为. 故选：C 21.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）已知随机变量，若，则__________． 【答案】0.3 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量，所以. 因为，则． 故答案为：0.3. 22. 若随机变量服从正态分布，则____．（注：，，） 【答案】 【知识点】指定区间的概率 【分析】先由随机变量服从正态分布，可得服从正态分布，再由概率密度函数曲线的性质求概率即可. 【详解】已知服从正态分布，所以服从正态分布， 则， 故答案为：. 23. 已知随机变量，如图所示，若，则________. 【答案】0.36 【知识点】指定区间的概率 【分析】由正态分布图像的对称性即可得解. 【详解】由正态分布图像可得曲线关于对称， 因为， 所以. 故答案为：. 24. 随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 【答案】 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【详解】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 25．随机变量，，则实数的值为____________. 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】随机变量，则正态曲线关于对称， ∵， ∴，解得， 故答案为：. 26. 设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则=______． 【答案】0.4 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正太分布密度曲线的对称性即可求解. 【详解】由题可知， . 故答案为：0.4. 27. 若随机变量，且，则______． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率 【分析】利用正态曲线的对称性求出的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出，代值计算即可得解. 【详解】因为，且，则， 所以，. 故答案为：. 28. 已知随机变量，求： （附：若，则 ） (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质 【分析】由正态分布的准则及正态曲线的性质即可求解. 【详解】（1）随机变量， 由正态曲线的性质可得， ， 而， 所以 （2）随机变量， 由（1）得，， 由正态曲线的性质可得， 则. （3）随机变量， 由（2）得， 由正态曲线的性质可得， . （4）随机变量， 由（1）得，， 所以. 29. 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； （2）求此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数百分比. 【答案】（1）P(x)=，x∈(-∞，+∞)；（2）34.135%. 【知识点】指定区间的概率、正态密度函数、正态分布的实际应用 【分析】（1）由密度函数图象得和，从而可得密度函数． （2）由正态分布的概率公式可得． 【详解】解：设农民工年均收入ξ~N(μ，σ2)，结合图象可知μ=8000，σ=500. （1）此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式 P(x)=＝，x∈(-∞，+∞). （2）因为P(7500≤ξ≤8500)=P(8000-500≤ξ≤8000+500)=0.6827， 所以P(8000≤ξ≤8500)=P(7500≤ξ≤8500)=0.34135. 即此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数占总体的34.135%. 30. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且. (1)求或的概率； (2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二项分布求分布列、根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率 【分析】（1）由正态分布的对称性求解； （2）利用X服从二项分布求解. 【详解】（1）因为零件尺寸z服从正态分布， 所以， 因为，所以. 故或的概率为. （2）依题意可得， 所以. 一、【模拟真题溯源】 1. （2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）已知某射击运动员每次射击命中目标的概率是0.7，该运动员连续射击10次，则恰有6次命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意利用二项分布求出概率即可得解. 【详解】射击运动员每次射击命中目标的概率是0.7，没有命中的概率为， 该运动员连续射击10次，恰有6次命中目标的概率为， 故选：. 2. （2026届浙江省新昌技师学院高三高职单独考试摸底测试）设随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称的性质求解即可. 【详解】因为随机变量，正态曲线关于直线 对称， 又， 所以， 故选：B. 3. （2026届浙江省职教高考研究联合体高三第二调研考试）已知随机变量和的正态曲线如图所示，下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D．这两条正态曲线均为标准正态曲线 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的性质，即正态曲线关于直线对称，且越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”，由此判断选项即可. 【详解】∵正态曲线关于直线对称， ∴由图中可知，，故A错误； ∵Y对应的正态曲线更“瘦高”，X对应的正态曲线更“矮胖”， ∴，故B正确，C错误； ∵标准正态曲线是，故D选项错误. 故选：B. 二、【考向感知】 1.考纲定位：2026 年起浙江中职单招数学取消官方考纲，命题完全依据《中等职业学校数学课程标准（2020 版）》+高教版中职数学拓展模块一（下册）第九章《随机变量及其分布》。浙江中职单招数学概率板块二项分布为绝对核心，承载解答大题、高分值、区分度；正态分布仅作为连续型随机变量入门概念，以基础小题送分为主。命题整体贴合中职课标，不超纲、不深挖复杂拓展，复习重心完全放在二项分布模型识别、分布列书写、期望计算，正态分布仅需掌握图像对称基础性质即可。 2.2027命题预测（取消考纲后） 二项分布：分值不变，应用题情境更生活化、职业化； 正态分布：只考小题基础考法，不会新增复杂计算； 命题导向：侧重数据分析核心素养，建模能力、实际问题转化为数学模型是得分关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题48 二项分布与正态分布 【复习目标】 1.掌握两点分布的定义与适用条件，明确其为单次独立试验、仅有两种对立结果（成功、失败）的概率模型 2.掌握n次独立重复试验的三大核心特征：试验重复、每次试验相互独立、每次仅有两种结果、单次试验成功概率恒定； 3.理解二项分布的定义及符号标记，熟记二项分布概率计算公式、数学期望公式，明确公式中（试验次数）、（单次成功概率）的实际含义 4.掌握超几何分布的适用场景：总体含两类有限个体、不放回抽样、抽取数量有限；理解超几何分布的模型定义； 5.了解正态分布的概念及适用场景（连续型随机变量分布），区别于前三种离散型分布；认识正态曲线的图像特征：对称性、单峰性、两端无限趋近轴；明确参数（均值）、（标准差）的几何意义； 6.熟记中职考纲要求的正态分布3原则，掌握常用区间概率数值，无需复杂推导，重点识记、直接应用。 1、 【知识清单】 知识点1：两点分布 1.两点分布的定义：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从 ，并称p＝P(X＝1)为成功概率． X 0 1 P 1－p p 2.两点分布的试验结果只有 可能性，且其概率之和为 ； 3.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则 ， 知识点2：次独立重复试验 1.定义：一般地，在 条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 独立重复试验的条件： 1 每次试验在同样条件下进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2. 次独立重复试验特点： （1）每次试验中，事件发生的概率是 ； （2）每次试验中的事件是 的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点3：二项分布 1.定义：一般地，在次 试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列： … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 2.二项分布的期望、方差：若，则 , 注意：由二项分布的定义可以发现， 是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 3.二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是 ； ②每次试验只有 结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是 抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 知识点4：超几何分布 1.超几何分布定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2.超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是 抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识点5：正态曲线 1.定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为 ，简称正态曲线．正态曲线呈 形， 即 高， 低． 2.正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在处达到 ； （4）曲线与轴之间的面积为 ； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越 ，表示总体的分布越集中；越大，曲线越 ，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 知识点6：正态分布 1.正态分布定义：随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间 的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从 ．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．其中，参数是反映随机变量取值的 的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体 的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则：若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大． 这说明 越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的 越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 2、 【技巧归纳】 1.二项分布的解题步骤 1、定型 “独立”、“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参 确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表 根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列 4、求值 根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知)，则（，，，…，），，． 2.利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个常用结论： (1)对任意的，有. (2). (3)). 三、【考点清单】 考点1 二项分布 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 1. 每次试验的成功率为，则在6次试验中，前4次成功，后2次失败的概率为（   ） A． B． C． D． 2. （2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模试卷）某篮球爱好者每次投篮投中的概率是0.8，他连续投5次，恰有3次投中的概率是（    ） A． B． C． D． 3. 已知随机变量服从二项分布，则（    ）． A． B． C． D． 4. 设，且 ，则的值为（    ） A． B． C． D．或 5. 某射手每次射击命中目标的概率为，现该射手进行3次独立射击.设随机变量表示3次射击中命中的次数，则服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. 随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 7. 若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A．39 B．65 C．50 D．63 8. 已知随机变量，则_______. 9. 随机变量X服从，若，，则n为______. 10.（2022届浙江省职业教育-中职联盟职高高三联考试卷）2020年全国范围爆发了大面积的新冠肺炎，国家积极研发药物治疗该突发疾病，假设一个病人服用该药后被治愈的概率为0.9，则服用这种药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________（用数字作答）. 11. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率分别为和，且各次射击的结果互不影响.则甲射击5次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______. 12. 袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是___________.有3个人参与这个游戏，则至少有1人获奖的概率是___________. 13. 甲投篮的命中率为0.6，现投篮3次．设命中的次数为X． (1)求X满足什么分布，并求X的值； (2)求和． 14. 某篮球运动员投篮的命中率为，现投篮次.设命中的次数为. (1)求满足什么分布，并求的值及其分布列； (2)求和. 考点2 正态分布 【典例2】（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市高三高职模拟考试）某中职学校高三年级1000名男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，且，学校篮球队选拔身高不低于的男生，则估计该校高三满足身高要求的男生人数为（   ）． A．200 B．300 C．400 D．500 【即时训练】 15. 已知随机变量服从正态分布，则其正态曲线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 16. 已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 17. 已知随机变量服从正态分布，且，则（   ）. A． B． C． D． 18. 若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 19. 如图是当取三个不同值的三种正态曲线的图象，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 20. 某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（    ）附：若，则. A．23 B．46 C．159 D．317 21.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）已知随机变量，若，则__________． 22. 若随机变量服从正态分布，则____．（注：，，） 23. 已知随机变量，如图所示，若，则________. 24. 随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 25．随机变量，，则实数的值为____________. 26. 设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则=______． 27. 若随机变量，且，则______． 28. 已知随机变量，求： （附：若，则 ） (1)； (2)； (3)； (4). 29. 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； （2）求此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数百分比. 30. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且. (1)求或的概率； (2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率. 一、【模拟真题溯源】 1. （2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）已知某射击运动员每次射击命中目标的概率是0.7，该运动员连续射击10次，则恰有6次命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 2. （2026届浙江省新昌技师学院高三高职单独考试摸底测试）设随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 3. （2026届浙江省职教高考研究联合体高三第二调研考试）已知随机变量和的正态曲线如图所示，下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D．这两条正态曲线均为标准正态曲线 二、【考向感知】 1.考纲定位：2026 年起浙江中职单招数学取消官方考纲，命题完全依据《中等职业学校数学课程标准（2020 版）》+高教版中职数学拓展模块一（下册）第九章《随机变量及其分布》。浙江中职单招数学概率板块二项分布为绝对核心，承载解答大题、高分值、区分度；正态分布仅作为连续型随机变量入门概念，以基础小题送分为主。命题整体贴合中职课标，不超纲、不深挖复杂拓展，复习重心完全放在二项分布模型识别、分布列书写、期望计算，正态分布仅需掌握图像对称基础性质即可。 2.2027命题预测（取消考纲后） 二项分布：分值不变，应用题情境更生活化、职业化； 正态分布：只考小题基础考法，不会新增复杂计算； 命题导向：侧重数据分析核心素养，建模能力、实际问题转化为数学模型是得分关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $