专题45 用样本估计总体、一元线性回归（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题45 用样本估计总体、一元线性回归 【复习目标】 1.熟记三个数字特征概念与计算公式：样本平均数、样本方差、样本标准差；分清总体与样本对应符号； 2.握方差、标准差意义：衡量数据波动大小，数值越大波动越大； 3.能结合频率分布直方图计算区间平均数近似值；掌握用样本平均数、方差估计总体均值与波动； 4.熟记基础关系：方差为标准差的平方；一组数据同加、同乘常数后平均数、方差变化规律； 5.能根据散点分布判断正相关、负相关、无明显线性相关； 6.熟记一元线性回归直线方程；理解回归直线必过样本中心点 ，会利用样本中心点求截距；看懂题干直接给出的回归系数. 1、 【知识清单】 知识点1：百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据 这个值，且至少有的数据 这个值. 知识点2：众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在 的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的 . 3.平均数：如果个数，那么 叫做这个数的平均数. 4．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计 .又， 所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 知识点3：　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边 的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. 2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应 . 3.将 小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 知识点4：方差、标准差 1.标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． 2.方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． 3.标准差刻画了数据的 或 ，标准差 ，数据的离散程度越大；标准差 ，数据的离散程度越小. 知识点5 回归分析与回归方程 （1）回归分析的定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． （2）回归方程：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程为其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的 ， 二、【技巧归纳】 1.计算一组个数据的第百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算； 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第()项数据的平均数. 2．平均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么 一组新数据的平均数为，方差是． 一新数据的平均数为，方差是． 一组新数据的平均数为，方差是． 三、【考点清单】 考点1 百分位数、平均数、中位数、众数 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A． B． C． D． 【即时训练】 1.（2026届浙江省职教高考复习第一次模拟考试）某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况： 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（公里） 年月日 年月日 则日至日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为（注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程）（   ） A．6升 B．8升 C．升 D．升 2. （2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）早在三千年前，我国《周易》即已产生了平均数的思想．《周易》“谦”卦说：“谦，君子以衰多益寡，称物平施．”在统计学中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中位置的一个统计量．现给出一组数据，则这组数据的算术平均值为（    ） A．80 B．78 C．78.4 D．79 3.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第二调研考试）若南通队在2025苏超联赛前5场比赛共进14球（单场进球数依次为2，2，4，4，2），则南通队这5场比赛进球数的中位数为______，每场进球的平均数为______．（   ） A．2， B．2，3 C．3， D．3，3 4.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）某乡镇举行“美丽乡村”评选活动，7个村的得分分别为：6，7，8，9，9，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．7，9 B．8，9 C．9，8 D．9，9 5.一组数据：的中位数为5，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6.一组数据的第30百分位数为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 7.（2024届浙江省温州市永嘉县职业教育中心高三开学考试）一组数据4, 7, 3, x, 5的众数是5，则该组数据的平均数是________. 8.样本数据2，3，4，5，6，7的中位数为_____. 9.某班级有人，班级数学平均分为分，若名男生的平均分为分，则名女生的平均分为_______分. 10.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）某校高一、高二、高三分别有500人、400人、300人，全员参加禁毒知识测试，采用分层抽样的方法从中随机抽取60人，对其成绩进行分析．求： (1)高一、高二、高三分别被抽取的人数； (2)高一学生陈波被抽到的概率； (3)若抽中的高一学生平均分为80分，高二学生平均分为83分，高三学生平均分为84分，请估算全校学生的平均分． 11.2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如图频率分布直方图． (1)求出直方图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个． 考点2 极差、方差、标准差 【典例2】（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考第二次模拟考试）如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【即时训练】 12. 关于样本方差的计算公式，则（   ） A．数据的个数为7，方差为10 B．数据的个数为6，方差为10 C．数据的个数为7，算术平均数为10 D．数据的个数为6，算术平均数为10 13.数据：15，14，18，16，16，19，这组数据的极差为（   ） A．5 B．16 C．17 D．4 14.甲乙两人进行投篮练习，每人投5轮，每轮投次，甲乙投中的次数分别是：和，则（   ） A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．两人的稳定性相同 D．无法判断 15.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中的环数分别为7，10，9，10，6，7，5，10，10，6，则该学员命中环数的方差为____________. 16.已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为__________，方差为__________． 17.一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是__________，方差是__________． 18.现有一组数据：1，3，4，6，7，7，21，设中位数为a，众数为b，方差为，则___________. 19.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． 甲、乙两人谁更适合参加射击比赛？（保留两位小数） 20.某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和． （单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64 （单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70 (1)分别求这两个品种产量的极差和中位数； (2)求，，，； (3)依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适． 考点3 一元线性回归分析 【典例3】（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第二调研考试）已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，统计分析它们四组数据的离散图（如图所示），则它们对应的y对x的回归直线方程中的回归系数关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【即时训练】 21.有五组变量： ①汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的距离； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每天的吸烟量和身体健康状况； ④圆的半径与面积； ⑤汽车的重量和每千米的耗油量． 其中两个变量成正相关的是（    ） A．②④⑤ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 22.观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（    ）．    A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①② 23.某变量与变量正相关，则其回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 24.根据变量x和y的一组试验数据，计算可得，，则x与y之间的回归直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 25.某公司生产某种婴幼儿纸尿裤的产量x与相应的生产能耗y有如下样本数据： x 3 4 5 6 y 2.4 3.1 4 4.5 已知这组样本数据具有线性相关关系，由表中数据，求得回归直线的斜率为0.72，则这组样本数据的回归直线方程是（   ） A． B． C． D． 26.乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为（    ） A．16亿元 B．19亿元 C．21亿元 D．23亿元 27.对某块稻田的施肥量（单位：kg）和水稻产量（单位：kg）进行回归分析，得到回归方程为.则当施肥量为80kg时，预测水稻产量为_______kg. 28.某校随机抽取8名同学，测量同学们的体重（单位：kg）与身高（单位：cm），所得数据见下表，已知回归系数，某同学身高185cm，其体重大约为________.（保留两位小数）. 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体重 63 40 38 44 39 37 46 42 29.某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 30.现有某高新技术企业年研发费用投入(百万元)与企业年利润(百万元)之间具有线性相关关系,近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表: 年研发费用 (百万元) 1 2 3 4 5 年利润 (百万元) 2 3 4 4 7 (1)画出散点图; (2)求对的回归直线方程； (3)如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少? 一、【真题溯源】 1.（2026浙江，19）某机构发布婴幼儿两周年成长报告，研究发现2周岁以内宝宝的年龄（单位：周岁）与身高（单位：）满足一元线性回归方程：.已知宝宝满2周岁，求该宝宝的预测身高______. 2.（2026浙江，25）某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. (1)求这5个学校招生数量的极差和中位数； (2)从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 二、【考向感知】 分层备考策略 1.基础保底（全体学生必拿分） （1）熟练离散数据排序，快速算平均数、中位数、众数； （1）牢记方差稳定性结论，会简单大小比较； 2.中档提分（冲刺本科） （1）吃透频率分布直方图三大统计量计算模板； （2）掌握数据线性变换后方差、均值变化规律； （3）利用平均数等反求未知量，结合回归中心点综合解题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题45 用样本估计总体、一元线性回归 【复习目标】 1.熟记三个数字特征概念与计算公式：样本平均数、样本方差、样本标准差；分清总体与样本对应符号； 2.握方差、标准差意义：衡量数据波动大小，数值越大波动越大； 3.能结合频率分布直方图计算区间平均数近似值；掌握用样本平均数、方差估计总体均值与波动； 4.熟记基础关系：方差为标准差的平方；一组数据同加、同乘常数后平均数、方差变化规律； 5.能根据散点分布判断正相关、负相关、无明显线性相关； 6.熟记一元线性回归直线方程；理解回归直线必过样本中心点 ，会利用样本中心点求截距；看懂题干直接给出的回归系数. 1、 【知识清单】 知识点1：百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据 小于或等于 这个值，且至少有的数据 大于或等于 这个值. 知识点2：众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在 中间位置 的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的 中位数 . 3.平均数：如果个数，那么 叫做这个数的平均数. 4．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数.又， 所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 知识点3：　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边 中点 的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. 2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应 相等 . 3.将 最高 小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 知识点4：方差、标准差 1.标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． 2.方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． 3.标准差刻画了数据的 离散程度 或 波动幅度 ，标准差 越大 ，数据的离散程度越大；标准差 越小 ，数据的离散程度越小. 知识点5 回归分析与回归方程 （1）回归分析的定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． （2）回归方程：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程为其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的 中心 正相关 ， 负相关 二、【技巧归纳】 1.计算一组个数据的第百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算； 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第()项数据的平均数. 2．平均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么 一组新数据的平均数为，方差是． 一新数据的平均数为，方差是． 一组新数据的平均数为，方差是． 三、【考点清单】 考点1 百分位数、平均数、中位数、众数 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】众数的概念与计算、中位数、平均数的概念与计算 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 【即时训练】 1.（2026届浙江省职教高考复习第一次模拟考试）某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况： 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（公里） 年月日 年月日 则日至日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为（注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程）（   ） A．6升 B．8升 C．升 D．升 【答案】B 【知识点】根据平均数的代表意义解决实际问题 【分析】由表格信息，得到该车加了升的汽油，跑了千米，由此得到该车每百公里的平均耗油量． 【详解】因为（公里）， 即这段时间内升油共跑了公里， 所以每百公里的平均耗油为升． 故选：B． 2. （2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）早在三千年前，我国《周易》即已产生了平均数的思想．《周易》“谦”卦说：“谦，君子以衰多益寡，称物平施．”在统计学中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中位置的一个统计量．现给出一组数据，则这组数据的算术平均值为（    ） A．80 B．78 C．78.4 D．79 【答案】B 【知识点】平均数的概念与计算 【分析】根据平均数的计算方法即可得解. 【详解】. 故选：B. 3.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第二调研考试）若南通队在2025苏超联赛前5场比赛共进14球（单场进球数依次为2，2，4，4，2），则南通队这5场比赛进球数的中位数为______，每场进球的平均数为______．（   ） A．2， B．2，3 C．3， D．3，3 【答案】A 【知识点】中位数、计算几个数的平均数 【分析】根据中位数和平均数的求法，代数求解即可. 【详解】将这个数按从小到大的顺序排列为， 所以中位数为，平均数为， 故选：A. 4.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）某乡镇举行“美丽乡村”评选活动，7个村的得分分别为：6，7，8，9，9，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．7，9 B．8，9 C．9，8 D．9，9 【答案】D 【知识点】众数的概念与计算、中位数 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可. 【详解】将数据从小到大排列：6，7，8，9，9，9，10，最中间的数是，则中位数是； 出现的次数最多，所以众数是. 故选：D. 5.一组数据：的中位数为5，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】中位数 【分析】根据题意，结合中位数的计算，即可求解. 【详解】因为一组数据的中位数为5， 所以，解得. 故选：B. 6.一组数据的第30百分位数为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】百分位数 【分析】将给定的数据由小到大排列，再根据百分位数的概念求解. 【详解】将数据从小到大排列为，共个数据， 由可知，第30百分位数为第个数据， 故选：C. 7.（2024届浙江省温州市永嘉县职业教育中心高三开学考试）一组数据4, 7, 3, x, 5的众数是5，则该组数据的平均数是________. 【答案】 【知识点】根据众数计算参数、计算几个数的平均数 【分析】根据众数求出参数值，再计算平均数即可解得. 【详解】由题可知，这组数据的众数为， 则，平均数为. 故答案为：. 8.样本数据2，3，4，5，6，7的中位数为_____. 【答案】 【知识点】中位数 【分析】由中位数定义计算. 【详解】数据从小到大排列，为共个数字， 所以中位数为， 故答案为：. 9.某班级有人，班级数学平均分为分，若名男生的平均分为分，则名女生的平均分为_______分. 【答案】 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】根据平均数的计算法则计算即可. 【详解】已知班级有人，班级数学平均分为分， 则班级所有人的总分为， 名男生的平均分为分，则所有男生的总分为， 所以名女生的平均分为. 故答案为：. 10.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）某校高一、高二、高三分别有500人、400人、300人，全员参加禁毒知识测试，采用分层抽样的方法从中随机抽取60人，对其成绩进行分析．求： (1)高一、高二、高三分别被抽取的人数； (2)高一学生陈波被抽到的概率； (3)若抽中的高一学生平均分为80分，高二学生平均分为83分，高三学生平均分为84分，请估算全校学生的平均分． 【答案】(1)25人、20人、15人 (2) (3)82 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、平均数的概念与计算 【分析】（1）根据题意，结合分层抽样的方法，即可求解； （2）根据题意，结合古典概率的计算，即可求解； （3）根据题意，结合平均数的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，高一应抽取人； 高二应抽取人；高三应抽取人； 故高一、高二、高三分别被抽取的人数为25人、20人、15人. （2）由题意，高一学生陈波被抽到的概率， 即高一学生陈波被抽到的概率为； （3）由题意，全校学生的平均分. 即估计全校学生的平均分为. 11.2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如图频率分布直方图． (1)求出直方图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个． 【答案】(1) (2)平均数为，中位数为 (3)一等品3个，二等品2个 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、中位数 【分析】（1）通过频率分布直方图面积的和为1，求解即可. （2）根据概念求出平均数 （3）由分层抽样可算出. 【详解】（1）依题意得到， 解得. （2）平均数， 因为，， 所以中位数在第4组，设中位数为，则， 解得. （3）由频率分布直方图可知， 100个口罩中二等品为，一等品有60个， 由分层抽样可知，设抽取的5个口罩中一等品个，则，得，则二等品2个， 所以一等品和二等品分别有3个和2个. 考点2 极差、方差、标准差 【典例2】（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考第二次模拟考试）如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、根据平均数的代表意义解决实际问题 【分析】利用平均数和方差的意义进行判断即可. 【详解】由折线统计图可知，甲、丙的平均数的水平线高于乙、丁的平均数水平线， 即甲、丙的成绩相对较好； 显然，比较甲、丙的折线图可知，甲的成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙的成绩相对于平均成绩的波动幅度， 即甲的成绩更稳定； 所以这四人中甲的成绩好又发挥稳定. 故选：A 【即时训练】 12. 关于样本方差的计算公式，则（   ） A．数据的个数为7，方差为10 B．数据的个数为6，方差为10 C．数据的个数为7，算术平均数为10 D．数据的个数为6，算术平均数为10 【答案】C 【知识点】极差、方差、标准差的概念与计算、平均数的概念与计算 【分析】利用方差公式的结构特征即可得解. 【详解】关于样本方差的计算公式， 解法一：（对应人教版） 样本方差的计算公式为 由题可知，这个公式中的数值为6，算术平均数为10. 故选：D. 解法二：（对应高教版） 样本方差的计算公式为，， 由题可知，这个公式中的数值为7，算数平均值为10． 故选：C. 13.数据：15，14，18，16，16，19，这组数据的极差为（   ） A．5 B．16 C．17 D．4 【答案】A 【知识点】极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据极值的定义即可得解. 【详解】将数据由小到大排序为， 最大值为，最小值为，则极差为， 故选：. 14.甲乙两人进行投篮练习，每人投5轮，每轮投次，甲乙投中的次数分别是：和，则（   ） A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．两人的稳定性相同 D．无法判断 【答案】A 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据方差的计算公式计算，再比较方差的大小确定稳定性. 【详解】已知甲乙投中的次数分别是：，和 则， 解法一（对应高教版）：， ， 因为，方差越小越稳定，所以甲比乙稳定， 解法一（对应人教版）：， ， 因为，方差越小越稳定，所以甲比乙稳定， 故选：A. 15.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中的环数分别为7，10，9，10，6，7，5，10，10，6，则该学员命中环数的方差为____________. 【答案】（人教版）；（高教版）4 【知识点】极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据方差的定义求解即可. 【详解】10次射靶命中环数的平均数为， 由方差的公式可知 解法一（对于人教版）： 解法二（对于高教版）： 故答案为：（人教版）;4（高教版）; 16.已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为__________，方差为__________． 【答案】 32 135 【知识点】计算几个数的平均数、极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据数据，，…，的平均数，方差的性质即可求出. 【详解】由题意得，，…，的平均数为， 方差为． 故答案为：32；135. 17.一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是__________，方差是__________． 【答案】 48 4 【知识点】计算几个数的平均数、极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据样本的平均数以及方差公式即可求解. 【详解】设该组数据为，，…，，则新数据为，，…，． 记新数据的平均数为，方差为． ∵， ∴． 方法一：∵， ． 方法二：， . 故答案为：平均数48，方差4. 18.现有一组数据：1，3，4，6，7，7，21，设中位数为a，众数为b，方差为，则___________. 【答案】 【知识点】极差、方差、标准差的概念与计算、众数的概念与计算、中位数 【分析】根据众数、中位数及方差计算公式即可求出答案. 【详解】数据个数为7，则中位数为第个数，即； 由题意可知，众数是7，即； 平均数为， 所以； 所以， 故答案为： 19.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． 甲、乙两人谁更适合参加射击比赛？（保留两位小数） 【答案】乙的成绩比甲稳定，更适合参加射击比赛． 【知识点】计算几个数的平均数、极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】先求出甲乙的平均数，再求出方差进而比较即可. 【详解】甲的平均数， 乙的平均数， 甲的方差 ， 乙的方差 ． 因为，所以乙的成绩比甲稳定，更适合参加射击比赛． 20.某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和． （单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64 （单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70 (1)分别求这两个品种产量的极差和中位数； (2)求，，，； (3)依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适． 【答案】(1)极差：产品为35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5； (2)；，； (3)推广品种水稻更合适． 【知识点】计算几个数的平均数、极差、方差、标准差的概念与计算、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解， （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解， （3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解. 【详解】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为 产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位； （2）由题意：， ， ， ； （3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适． 考点3 一元线性回归分析 【典例3】（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第二调研考试）已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，统计分析它们四组数据的离散图（如图所示），则它们对应的y对x的回归直线方程中的回归系数关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解释回归直线方程的意义、正负相关的定义与辨析、根据散点图判断是否线性相关 【分析】根据回归直线中回归系数的几何意义，分析求解即可. 【详解】回归直线方程中的回归系数表示回归直线斜率的估计值， 图一：随的增加而减小，成负相关，则 ， 又因为图中点分布较陡峭，则较大； 图二：随的增加而减小，成负相关，则 ， 又因为图中点分布较图一更平缓，则比小，则； 图三：随的增加而增加，成正相关，则 ， 又因为图中点分布较陡峭，则较大； 图四：随的增加而增加，成正相关，则 ， 又因为图中点分布较图三更平缓，则比大，则， 综上：， 故选：C. 【即时训练】 21.有五组变量： ①汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的距离； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每天的吸烟量和身体健康状况； ④圆的半径与面积； ⑤汽车的重量和每千米的耗油量． 其中两个变量成正相关的是（    ） A．②④⑤ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 【答案】C 【知识点】判断两个变量是否有相关关系 【分析】根据相关系及正相关、负相关的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系； ②中，平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关； ③中，某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系； ④中，圆的半径与面积是函数关系； ⑤中，汽车的重量和百公里耗油量关系是一个正相关；， 所以②⑤中的两个变量属于线性正相关． 故选：C． 22.观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（    ）．    A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①② 【答案】C 【知识点】根据散点图判断是否线性相关 【分析】根据散点图以及相关性定义判断. 【详解】对于图①，显然是正的线性相关，对于图②，不相关，对于图③，负的线性相关； 故选：C. 23.某变量与变量正相关，则其回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负相关的定义与辨析 【分析】由经验回归方程的特征判断即可. 【详解】设关于y与x的经验回归方程为， 因为变量与变量正相关，则， 四个选项中只有D选项符合. 故选：D. 24.根据变量x和y的一组试验数据，计算可得，，则x与y之间的回归直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解释回归直线方程的意义 【分析】根据线性回归方程必过样本中心点求解即可. 【详解】因为.所以样本中心为. 将样本中心分别代入选项中的方程，只有C选项满足. 可得x与y之间的回归直线方程可能是. 故选：B. 25.某公司生产某种婴幼儿纸尿裤的产量x与相应的生产能耗y有如下样本数据： x 3 4 5 6 y 2.4 3.1 4 4.5 已知这组样本数据具有线性相关关系，由表中数据，求得回归直线的斜率为0.72，则这组样本数据的回归直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算样本的中心点、由样本中心点求参数、求回归方程 【分析】由题可设回归直线方程为，根据回归直线经过点可求解. 【详解】设回归直线方程为， 由样本数据可得：，. 因为回归直线经过点， 所以，解得， 所以回归直线方程为. 故选：C 26.乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为（    ） A．16亿元 B．19亿元 C．21亿元 D．23亿元 【答案】B 【知识点】由样本中心点求参数、用回归直线方程对总体进行估计 【分析】由题意，先算出样本中心点，代入回归方程，即可求得的值，再把代入回归方程即可求解. 【详解】由表可知：，， 又因为回归方程过样本中心点，所以， 所以回归方程为：， 当时，. 故选：B. 27.对某块稻田的施肥量（单位：kg）和水稻产量（单位：kg）进行回归分析，得到回归方程为.则当施肥量为80kg时，预测水稻产量为_______kg. 【答案】650 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计 【分析】将代入线性回归方程求解即可. 【详解】回归方程为， 当时，， 即当施肥量为80kg时，预测水稻产量为650kg. 故答案为：650. 28.某校随机抽取8名同学，测量同学们的体重（单位：kg）与身高（单位：cm），所得数据见下表，已知回归系数，某同学身高185cm，其体重大约为________.（保留两位小数）. 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体重 63 40 38 44 39 37 46 42 【答案】 【知识点】求回归方程、用回归直线方程对总体进行估计 【分析】求出的平均值，代入回归直线方程中求出得出回归方程，再将代入回归方程中即可得解. 【详解】， ， 因为，则，解得， 所以， 当时，， 故答案为：. 29.某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 【答案】(1)答案见解析 (2)木材的体积与树龄线性近似成线性相关关系且呈正相关． 【知识点】绘制散点图、根据散点图判断是否线性相关 【分析】（1）根据数据画出散点图即可; （2）根据散点图判断近似成线性相关关系且呈正相关. 【详解】（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：    （2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄线性近似成线性相关关系且呈正相关． 30.现有某高新技术企业年研发费用投入(百万元)与企业年利润(百万元)之间具有线性相关关系,近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表: 年研发费用 (百万元) 1 2 3 4 5 年利润 (百万元) 2 3 4 4 7 (1)画出散点图; (2)求对的回归直线方程； (3)如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少? 【答案】(1)散点图见解析；(2)；(3) 百万元. 【知识点】由散点图画求近似回归直线、用回归直线方程对总体进行估计、绘制散点图 【分析】（1）以表中的数据分别作为点的横、纵坐标画出对应的点，即可得到散点图．（2）由表中的数据求出后再结合公式可求得，于是可得回归直线方程．（3）在（2）中的方程中，求出当时的函数值，即为所求的预测值． 【详解】（1）根据题意画出散点图如图所示： （2）由题意可知==，=， ， ， ∴， ∴， ∴所求回归直线的方程为=． （3）在（2）中的方程中，令，得==， 故如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为9.5百万元． 一、【真题溯源】 1.（2026浙江，19）某机构发布婴幼儿两周年成长报告，研究发现2周岁以内宝宝的年龄（单位：周岁）与身高（单位：）满足一元线性回归方程：.已知宝宝满2周岁，求该宝宝的预测身高______. 【答案】85.21 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计 【分析】将代入一元线性回归方程中求解即可. 【详解】根据题意可知，当时，. 故答案为：85.21. 2.（2026浙江，25）某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. (1)求这5个学校招生数量的极差和中位数； (2)从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 【答案】(1)极差为（万人），中位数为（万人） (2)分布列见解析. 【知识点】极差、方差、标准差的概念与计算、中位数、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（）将数据进行排列，利用极差和中位数的定义即可得解. （）求出随机变量的取值，利用古典概型及组合数分别求出概率即可得解. 【详解】（1） 将数据从小到大排列：23.5，23.6，24.8，25.2，26.4， 极差（万人），中位数（第3个数）（万人）. （2）招生数量超过25万人的学校：25.2，26.4，共2所；其余3所不超过， 的可能取值为0，1，2， ，，， 分布列： 0 1 2 二、【考向感知】 分层备考策略 1.基础保底（全体学生必拿分） （1）熟练离散数据排序，快速算平均数、中位数、众数； （1）牢记方差稳定性结论，会简单大小比较； 2.中档提分（冲刺本科） （1）吃透频率分布直方图三大统计量计算模板； （2）掌握数据线性变换后方差、均值变化规律； （3）利用平均数等反求未知量，结合回归中心点综合解题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $