专题46 随机事件与古典概型（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题46 随机事件与古典概型 【复习目标】 1.能辨析三类事件：必然事件、不可能事件、随机事件； 2.理解基本事件、基本事件空间概念，会列举有限试验的全部基本事件（列举法、树状图、列表法）； 3.理解互斥事件、对立事件与独立事件。 4.掌握古典概型两大核心特征，熟记古典概型概率计算公式； 5.结合生活及专业情境（零件抽检、设备抽样），学会用古典概率思维分析解决实际问题. 1、 【知识清单】 知识点1：随机事件 1.事件的相关概念 2.事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件 发生，这时称事件 包含事件 （或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件 ． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生 事件发生，则称此事件为事件与事件的 （或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生 事件发生，则称此事件为事件A与事件B的 （或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即 ，则称事件与事件 ； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…， ． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中 发生，即，，则称事件和事件互为 ，事件的对立事件记为． （7）设，为两个事件，若，则称事件与事件 ． 知识点2 ：概率的基本性质 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有 性质2 必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么 推广：如果事件．两两互斥，那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即 = 性质4 如果事件A与事件B互为 ，那么 ， . 性质5 如果，那么 . 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 性质7 如果事件，互相独立，那么 知识点3：古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为 ，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有 ； ②等可能性：每个样本点发生的可能性 . (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. （4）古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含个样本点，事件A包含其中的个样本点，则定义事件A的概率 ，其中，和分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 二、【技巧归纳】 1.求样本空间中样本点个数的方法: (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. (3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解. 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 3. 求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基 （1）定型 根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型 （2）求量 利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数 （3）求值 代入公式P(A)＝求值 三、【考点清单】 考点1 随机事件、互斥事件、对立事件与相互独立事件 【典例1】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色、蓝色小球各2个，从中不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件为（    ） A．2个小球恰有1个红球 B．2个小球至多有一个红球 C．2个小球中没有蓝球 D．2个小球至少有1个红球 【即时训练】 1.下列属于不可能事件的是（   ） A．明天下雨 B．某人买彩票中奖 C．在地球上，抛起的苹果会掉下来 D．实数的绝对值小于0 2.从5个红球2个白球中任取3个小球，则下列事件中，是必然事件的是（   ） A．3个都是红球 B．3个都是白球 C．至少有1个红球 D．至少有1个白球 3.从1，2，…，9中任取两数，则下列事件是对立事件的是（   ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个奇数和两个都是奇数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 4.若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D．事件与事件不相互独立 考点2 频率与概率 【典例2】“浙”某球星在赛季共罚球次，命中次. 假设赛季该球星共罚球次，请根据该球星赛季罚球命中率，估算赛季的罚球命中个数为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 6.已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90％，则下列说法正确的是（    ）． A．如果有100个患有这种疾病的人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈 B．如果一个患有这种疾病的人使用两剂这样的药物，就一定会被治愈 C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90％ D．以上说法都不对 7.某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的（   ） A．频率为，概率为 B．频率为，概率为 C．频率为，概率为 D．频率为，概率为 8.某饮料为了增加销量，推出“开盖有奖”活动.已知某一批次该饮料共有一万瓶，其中“一等奖”有5瓶，“二等奖”有20瓶，“三等奖”有1000瓶，则小明买一瓶该批次的饮料能中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 考点3 概率的基本性质 【典例3】（2026届浙江省嘉兴、台州市高三第一次高职模拟考试）某选手射中环概率分别为，则射击一次环数超过7环的概率为（   ） A．0.13 B．0.25 C．0.5 D．0.87 【即时训练】 9.（2020届·浙江省宁波市中职高考二模）甲乙两人在玩“剪刀､石头､布”的游戏，则某局游戏中甲恰好以“石头”获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 10.已知，，若，则（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 11. 已知事件满足，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 12.甲、乙两人各进行一次射击，如果甲击中目标的概率是0.7，乙击中目标的概率是0.8，那么甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是（　　） A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.94 13.已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 14.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则__________. 15.假设，，且与相互独立，则______． 16.一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰有一次点数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数”，则__________． 17.若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则______． 18.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为，假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为________. 19.若随机事件互斥，发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数的取值范围为___________. 20.甲、乙两人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)目标被击中的概率. 21.有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B． (1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由； (2)求． 考点4 古典概型 【典例4】（2026届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）某班级有40名学生，小明是该班学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访，则小明同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 22.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）口袋中有4个红球、3个黑球和2个白球，除颜色外，形状和大小都相同．若从中任取1个球，则取到的不是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 23.（2026届浙江职教高考研究联合体第二次联考试卷）已知5位同学排成一排，则甲、乙两位同学刚好相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 24.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合试卷）袋子中装有5个红球和4个白球，若从中任取3个球，则取到“2个红球，1个白球”的概率为（    ） A． B． C． D． 25.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）从“数学是研究数量关系和空间形式的科学”这句话中，任选一个汉字，恰好选中“数”字的概率为（   ） A． B． C． D． 26.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）从写有编号的3张卡片中，有放回的任取2张卡片，将卡片上的数字依次分别记作和，则使为整数的概率是（   ） A． B． C． D． 27.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）若从正六边形中任取三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是等边三角形的概率为（   ） A． B． C． D． 28.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模试卷）盒中装有形状、大小完全相同的6个球，其中红色球4个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色相同的概率为__________. 29.（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三第一次模拟考试）要从5名男生和4名女生中任选2人参加某项活动，则选中的2人中至少有一位男生的概率为______． 30.（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市2高三高职模拟考试）现有3名男生和2名女生站成一排拍照，则“2名女生站在一起”的概率是____________． 31.（2025届浙江省温州市中职三模试卷）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张不同的卡片，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为__________. 32.（2022届浙江省衢州市、丽水市中职学校高三5月质量检测卷）从杭州某医院5名护士和4名医生中选派3名组成疫情防控医疗队，前往支援某地区. (1)其中医生甲必须参加，有多少种选法？ (2)医生甲和护士乙至少有一人参加的概率是多少？ 33.现有移动卡､联通卡和电信卡共10张，若从中任取1张，得到移动卡的概率为；若从中任取2张，得到两张都是联通卡的概率为.求： (1)移动卡的张数； (2)联通卡的张数； (3)从中任取2张，至少得到一张联通卡的概率. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，5）将“培养学生勇于探索的科学精神和精益求精的工匠精神”这句话的个字分别写在张卡片上，一张卡片一个字，任取一张，取到“学”字卡片的概率为（    ） A． B． C． D． 2. （2024年浙江，21）某车站有四个出口，乘客甲从中随机选一个出口出站，则选择出口的概率是____________. 3.（2023年浙江，35）假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 4. （2022年浙江，24） 已知箱子中有5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球，取出的两个球颜色相同的概率为__________． 5. （2021年浙江，20）三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，每个盒子都有乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、【考向感知】 本专题属于浙江中职高考高频必考、低难度、稳得分模块，每年固定出题，分值稳定，题型固定，无冷门年份缺席情况. 1.核心命题特点（浙江中职独有风格） (1)重基础、轻难题，拒绝复杂运算 命题全程规避高中普高复杂排列组合、独立重复试验等难点，仅依托枚举计数解题，核心考查学生“不重不漏列举基本事件”的严谨性，运算以简单分数化简为主，无复杂计算。 (2) 概念辨析陷阱多，侧重严谨性考查 命题高频设置思维陷阱，重点区分：随机、必然、不可能事件、频率与概率、有序与无序抽样、互斥事件与对立事件、古典概型与非古典概型试验，侧重考查学生对核心概念的精准理解，而非单纯计算。 （3）解题方法固定，套路性极强 所有真题、模拟题均统一解题模板：判断概型→列举总基本事件数→列举目标事件数→代入公式计算，答题规范要求严格，步骤分明确。 2.高频易错命题陷阱 （1）概念混淆：将频率等同于概率，误认为频率固定不变，忽略概率是频率的长期稳定值。 （2）概型误判：对“结果有限但不等可能”的试验强行套用古典概型公式，是选择、判断题头号失分点。 （3） 计数失误：有序、无序抽样区分不清，出现基本事件重复、遗漏，是解答题主要扣分点。 （4）概念混淆：混淆互斥事件与对立事件，误将互斥事件等同于对立事件，乱用概率公式。 （5）步骤失分：解答题未先判断古典概型、未写明总事件数与目标事件数，直接写答案，丢失步骤分。 3.命题趋势预判（2027届浙江中职高考） （1）题型稳定：依然以基础选择、填空、简单解答题为主，无难度提升，持续作为保底得分模块。 （2） 素养侧重：弱化机械计算，强化数学建模、逻辑推理素养考查，要求学生能自主将专业实际问题转化为古典概型数学模型。 （3）规范加码：解答题步骤评分更严格，重点考查解题流程完整性，杜绝只写结果不写过程的答题方式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题46 随机事件与古典概型 【复习目标】 1.能辨析三类事件：必然事件、不可能事件、随机事件； 2.理解基本事件、基本事件空间概念，会列举有限试验的全部基本事件（列举法、树状图、列表法）； 3.理解互斥事件、对立事件与独立事件。 4.掌握古典概型两大核心特征，熟记古典概型概率计算公式； 5.结合生活及专业情境（零件抽检、设备抽样），学会用古典概率思维分析解决实际问题. 1、 【知识清单】 知识点1：随机事件 1.事件的相关概念 2.事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件 一定 发生，这时称事件 包含事件 （或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件 相等 ． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生 或 事件发生，则称此事件为事件与事件的 并事件 （或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生 且 事件发生，则称此事件为事件A与事件B的 交事件 （或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即 ，则称事件与事件 互斥 ； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…， 彼此互斥 ． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中 有且只有一个 发生，即，，则称事件和事件互为 对立事件 ，事件的对立事件记为． （7）设，为两个事件，若，则称事件与事件 相互独立 ． 知识点2 ：概率的基本性质 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有 性质2 必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么 推广：如果事件．两两互斥，那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即 = 性质4 如果事件A与事件B互为 对立事件 ，那么 ， . 性质5 如果，那么 . 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 性质7 如果事件，互相独立，那么 知识点3：古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为 古典概型试验 ，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有 有限个 ； ②等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 . (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. （4）古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含个样本点，事件A包含其中的个样本点，则定义事件A的概率 ，其中，和分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 二、【技巧归纳】 1.求样本空间中样本点个数的方法: (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. (3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解. 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 3. 求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基 （1）定型 根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型 （2）求量 利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数 （3）求值 代入公式P(A)＝求值 三、【考点清单】 考点1 随机事件、互斥事件、对立事件与相互独立事件 【典例1】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色、蓝色小球各2个，从中不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件为（    ） A．2个小球恰有1个红球 B．2个小球至多有一个红球 C．2个小球中没有蓝球 D．2个小球至少有1个红球 【答案】A 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念逐一判断即可. 【详解】“2个小球都为红色”的对立事件为“2个小球不都是红色”, 对A，“2个小球恰有1个红球”与“2个小球都为红色”不会同时发生，同时不对立，故互斥而不对立，正确； 对B，“2个小球至多有一个红球”，等价于“2个小球不都是红色”，则与事件“2个小球都为红色”对立，故错误； 对C，“2个小球中没有蓝球”，含有事件“2个小球都为红色”，故与已知事件不互斥，错误； 对D，“2个小球至少有1个红球”，含有事件“2个小球都为红色”，故与已知事件不互斥，错误. 故选：A 【即时训练】 1.下列属于不可能事件的是（   ） A．明天下雨 B．某人买彩票中奖 C．在地球上，抛起的苹果会掉下来 D．实数的绝对值小于0 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件，必然事件及不可能事件的定义即可得解. 【详解】明天下雨，为随机事件；某人买彩票中奖，为随机事件； 在地球上，抛起的苹果会掉下来，为必然事件； 实数的绝对值小于0，为不可能事件， 故选：. 2.从5个红球2个白球中任取3个小球，则下列事件中，是必然事件的是（   ） A．3个都是红球 B．3个都是白球 C．至少有1个红球 D．至少有1个白球 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件的定义即可求解. 【详解】必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件. 对A，因为袋子里有2个白球，所以任取3个有可能有白球，则3个都是红球是随机事件，故A错误. 对B，因为袋子里只有2个白球，所以任取3个都是白球是不可能事件，故B错误. 对C，因为袋子里只有2个白球，所以任取3个小球，一定有一个红球， 即至少有1个红球是必然事件，故C正确. 对D，因为袋子里有5个红球，所以任取3个小球，可以都是红球， 则至少有1个白球，是随机事件，故D错误. 故选：C. 3.从1，2，…，9中任取两数，则下列事件是对立事件的是（   ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个奇数和两个都是奇数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 【答案】C 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件的定义判定即可； 【详解】从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况： 两个奇数；两个偶数；一个奇数和一个偶数． 选项A，恰有一个偶数和恰有一个奇数不是对立事件，故错误； 选项B，至少有一个奇数和两个都是奇数不是对立事件，故错误； 选项C，至少有一个奇数和两个都是偶数是对立事件，故正确； 选项D，至少有一个奇数和至少有一个偶数不是对立事件，故错误； 故选：C 4.若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的判定方法，即可求解． 【详解】由，，，可得， 所以， 所以事件与相互独立、事件与不互斥，则事件与不对立． 故选：C 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D．事件与事件不相互独立 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由互斥事件的定义判断A；应用列举法计算，判断BC；利用独立事件的定义判断D. 【详解】显然事件A与事件B可以同时发生，事件与事件不互斥，A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：， ，， ，， ， 事件B的样本点为 ，共18种， 事件C的样本点为，共12种， 事件的样本点为，共6种， 因此，B错误；，C正确； 而，于是，则事件B与事件C相互独立，D错误. 故选：C 考点2 频率与概率 【典例2】“浙”某球星在赛季共罚球次，命中次. 假设赛季该球星共罚球次，请根据该球星赛季罚球命中率，估算赛季的罚球命中个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据频率估计概率求值即可. 【详解】已知罚球次，命中次， 则频率为，若罚球次，则罚球命中个数为， 故选：C. 【即时训练】 6.已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90％，则下列说法正确的是（    ）． A．如果有100个患有这种疾病的人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈 B．如果一个患有这种疾病的人使用两剂这样的药物，就一定会被治愈 C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90％ D．以上说法都不对 【答案】C 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】由概率的定义判断即可. 【详解】使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90％， 即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90％， 故C项正确，A、B项说法过于绝对． 故选：C. 7.某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的（   ） A．频率为，概率为 B．频率为，概率为 C．频率为，概率为 D．频率为，概率为 【答案】B 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】由频率和概率的定义，计算即可. 【详解】由题意，事件出现的频数是，出现的频率是， 概率是反映随机事件出现的可能性大小，是确定值，事件出现的概率是， 故选：B. 8.某饮料为了增加销量，推出“开盖有奖”活动.已知某一批次该饮料共有一万瓶，其中“一等奖”有5瓶，“二等奖”有20瓶，“三等奖”有1000瓶，则小明买一瓶该批次的饮料能中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】由频率与概率的关系即可求解. 【详解】饮料中能中奖的瓶数为5+20+1000=1025 所以，中奖的概率为. 故选：C 考点3 概率的基本性质 【典例3】（2026届浙江省嘉兴、台州市高三第一次高职模拟考试）某选手射中环概率分别为，则射击一次环数超过7环的概率为（   ） A．0.13 B．0.25 C．0.5 D．0.87 【答案】C 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】射击一次环数超过7环即射中环其中一环，将三环概率相加即可求解. 【详解】射击一次环数超过7环即射中环其中一环， 概率. 故选：C. 【即时训练】 9.（2020届·浙江省宁波市中职高考二模）甲乙两人在玩“剪刀､石头､布”的游戏，则某局游戏中甲恰好以“石头”获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据甲出“石头”的概率与乙出“剪刀”的概率求解即可. 【详解】甲可以出“剪刀､石头､布”，则甲出“石头”的概率为. 而甲以“石头”获胜，则乙出“剪刀”. 同理可知，乙出“剪刀”的概率为. 所以甲恰好以“石头”获胜的概率是为. 故选：A. 10.已知，，若，则（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义、概率的基本性质 【分析】根据交事件的定义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A. 11. 已知事件满足，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件与互斥事件求解即可. 【详解】因为，所以事件既是对立事件，又是互斥事件. 所以成立，成立，成立， 即选项BCD正确，选项A不正确. 故选：A. 12.甲、乙两人各进行一次射击，如果甲击中目标的概率是0.7，乙击中目标的概率是0.8，那么甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是（　　） A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.94 【答案】D 【知识点】独立事件的概率公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】先计算甲乙都击不中的概率，再计算至少一人击中目标的概率. 【详解】∵甲击中的概率是，乙击中的概率是， ∴甲击不中的概率是，乙击不中的概率是. 则甲乙都击不中的概率是. 即甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是. 故选：D. 13.已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】由对立事件概率关系得到事件B发生的概率，再由互斥事件的概率公式得到的概率. 【详解】因为，事件与对立， 所以，又，事件与事件互斥， 所以. 故选：C. 14.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则__________. 【答案】0.4 【知识点】概率的基本性质、事件的运算及其含义 【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可. 【详解】由题意. 故答案为：0.4. 15.假设，，且与相互独立，则______． 【答案】0.92 【知识点】独立事件的概率公式、概率的基本性质 【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】事件与相互独立，则， 由并事件的概率公式. 故答案为：0.92. 16.一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰有一次点数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数”，则__________． 【答案】1 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质 【分析】判断试验的空间与事件的关系，即可求解作答. 【详解】依题意，一枚骰子抛掷三次的试验的所有基本事件构造的空间，而事件两两互斥， 所以. 故答案为：1 17.若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则______． 【答案】 【知识点】独立事件的概率公式、概率的基本性质、事件的运算及其含义 【分析】先求出，进而根据求出答案. 【详解】因为A与B相互独立，， 所以. 故答案为： 18.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为，假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为________. 【答案】 【知识点】独立事件的概率公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为， 第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； 第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为， 第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为， 所以甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为：. 19.若随机事件互斥，发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、概率的基本性质 【分析】由随机事件互斥，根据互斥事件概率的性质列不等式组求解. 【详解】因为随机事件互斥，发生的概率均不等于0，且分别为， 则，即， 解得 故答案为： 20.甲、乙两人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)目标被击中的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、概率的基本性质 【分析】（1）根据概率的性质求解即可. （2）先求解目标未被击中的概率，再由对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B 两人同时击中目标为事件AB， . （2）目标未被击中为事件， ， 目标被击中的概率为. 21.有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B． (1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由； (2)求． 【答案】(1)是相互独立事件；理由见解析 (2) 【知识点】独立事件的判断、概率的基本性质 【分析】（1）由相互独立事件的定义判断即可； （2）由概率的性质求解即可. 【详解】（1）解法一：，，． 若A发生，则B发生的概率为； 若A不发生，则B发生的概率为； 可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率， 因此，A，B为相互独立事件． 解法二：，，，． 所以，，， 即． 因此，A，B为相互独立事件． （2）解法一：由概率性质得 ． 解法二：，，，． 所以． 考点4 古典概型 【典例4】（2026届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）某班级有40名学生，小明是该班学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访，则小明同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】根据简单随机抽样的概率求解即可. 【详解】总体有40个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为． 故选：D. 【即时训练】 22.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）口袋中有4个红球、3个黑球和2个白球，除颜色外，形状和大小都相同．若从中任取1个球，则取到的不是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】根据古典概率的公式求解即可. 【分析】从9个球中任取1个球，则取到的不是红球的概率为． 故选：A. 23.（2026届浙江职教高考研究联合体第二次联考试卷）已知5位同学排成一排，则甲、乙两位同学刚好相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、相邻问题的排列问题 【分析】根据排列数与古典概型概率公式求解即可. 【详解】5位同学排成一排，方法数为， 甲、乙两位同学刚好相邻，方法数为， 所以甲、乙两位同学刚好相邻的概率为． 故选：B. 24.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合试卷）袋子中装有5个红球和4个白球，若从中任取3个球，则取到“2个红球，1个白球”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据古典概型和组合数求解即可. 【详解】从装有5个红球和4个白球的袋子中任取3个球， 则共有情况， 取到“2个红球，1个白球”共有情况， 故取到“2个红球，1个白球”的概率为. 故选：D. 25.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）从“数学是研究数量关系和空间形式的科学”这句话中，任选一个汉字，恰好选中“数”字的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【详解】“数学是研究数量关系和空间形式的科学”这句话中，汉字总共有个，“数”字出现了次， 所以，任选一个汉字，恰好选中“数”字的概率为， 故选：B． 26.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）从写有编号的3张卡片中，有放回的任取2张卡片，将卡片上的数字依次分别记作和，则使为整数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出基本事件、有放回与无放回问题的概率 【分析】写出基本事件，结合古典概型公式即可得解. 【详解】的有序数组有,，共9个， 其中使得为整数的有，共5个， 则使为整数的概率是， 故选：. 27.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）若从正六边形中任取三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是等边三角形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、组合数的计算、几何组合计数问题 【分析】先求出从正六边形中任取三个顶点构成三角形的总组合数，再求出其中是等边三角形的组合数，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】从正六边形中任取三个顶点构成一个三角形， 则总的三角形个数为， 正六边形中，等边三角形是由间隔相等的三个顶点构成的，即等边三角形有和，有2个， 所以这个三角形是等边三角形的概率为. 故选：A. 28.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模试卷）盒中装有形状、大小完全相同的6个球，其中红色球4个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色相同的概率为__________. 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，结合古典概率的计算及组合数的应用，即可求解. 【详解】由题意，所取出的2个球颜色相同的概率为. 故答案为：. 29.（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三第一次模拟考试）要从5名男生和4名女生中任选2人参加某项活动，则选中的2人中至少有一位男生的概率为______． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理、计算古典概型问题的概率 【分析】由组合数和古典概率的计算公式即可得解. 【详解】选中的2人中至少有一位男生分为两种情况， 2人均为男生有种情况， 1人男生1人为女生有种情况， 所以至少有一位男生的概率为． 故答案为：. 30.（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市2高三高职模拟考试）现有3名男生和2名女生站成一排拍照，则“2名女生站在一起”的概率是____________． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、全排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】根据古典概型的概率公式和排列公式计算即可. 【详解】将3名男生和2名女生站成一排共有种； 将2名女生视为一个整体，与3名男生男生排列，且2名女生内部可交换位置， 则有种， 所以“2名女生站在一起”的概率. 故答案为：. 31.（2025届浙江省温州市中职三模试卷）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张不同的卡片，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为__________. 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、组合数的计算 【分析】先确定 “总基本事件数” 和 “满足条件的事件数”，再根据古典概型公式计算。 【详解】先计算总的基本事件为， 抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数时，必须有一个数字为4， 可能为这四种情况， 所以抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为. 故答案为：. 32.（2022届浙江省衢州市、丽水市中职学校高三5月质量检测卷）从杭州某医院5名护士和4名医生中选派3名组成疫情防控医疗队，前往支援某地区. (1)其中医生甲必须参加，有多少种选法？ (2)医生甲和护士乙至少有一人参加的概率是多少？ 【答案】(1)（种） (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）因医生甲必须参加，为此只要其他8个人中任选2人参加即可. （2）医生甲和护士乙至少有一人参加共有种，根据古典概型即可求解. 【详解】（1）由题意得：（种）. （2）记“医生甲和护士乙至少有一人参加此疫情防控医疗队”为事件，则 33.现有移动卡､联通卡和电信卡共10张，若从中任取1张，得到移动卡的概率为；若从中任取2张，得到两张都是联通卡的概率为.求： (1)移动卡的张数； (2)联通卡的张数； (3)从中任取2张，至少得到一张联通卡的概率. 【答案】(1)4 (2)5 (3) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数方程或不等式、根据古典概型的概率求参数、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）设移动卡为m张，根据古典概型，可得，据此可求解； （2）设联通卡有n张，根据古典概型，可得，据此可求解； （3）设“任取2张，至少得到一张联通卡”为事件A，根据对立事件的概率可求求解. 【详解】（1）设移动卡为m张，则从中任取1张，得到移动卡的概率为 ，解得， 即移动卡有4张； （2）设联通卡有n张，则从中任取2张，得到两张都是联通卡的概率为 ， 化简可得，解得或（舍去）， 即联通卡有5张； （3）设“任取2张，至少得到一张联通卡”为事件A，则 . 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，5）将“培养学生勇于探索的科学精神和精益求精的工匠精神”这句话的个字分别写在张卡片上，一张卡片一个字，任取一张，取到“学”字卡片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知“培养学生勇于探索的科学精神和精益求精的工匠精神”中有个字， 其中有“学”字有个， 所以取到“学”字卡片的概率为， 故选：D. 2. （2024年浙江，21）某车站有四个出口，乘客甲从中随机选一个出口出站，则选择出口的概率是____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知车站有四个出口，随机选一个共有种选择， 选择出口只是其中的种， 所以选择出口的概率是. 故答案为：. 3.（2023年浙江，35）假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据古典概型的基本概念，结合组合数运算，即可求解. 【小问1详解】 由题，5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，有2个秘书职位，且5个人被录用的机会相等， 女孩A得到一个职位的事件即为女孩A和其余四个女孩其中一人得到一个职位， 故女孩A得到一个职位的概率为：. 【小问2详解】 女孩A和B各得到一个职位的事件只有一种， 故女孩A和B各得到一个职位的概率为：， 【小问3详解】 女孩A或B得到一个职位即总和中除去女孩女孩A和B都得不到一个职位， 故女孩A或B得到一个职位的概率即为 4. （2022年浙江，24） 已知箱子中有5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球，取出的两个球颜色相同的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列组合与古典概型即可求解. 【详解】从5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球的方法数有种， 而颜色相同的方法数有种， 利用古典概型概率公式得，取出的两个球颜色相同的概率为. 故答案为:. 5. （2021年浙江，20）三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，每个盒子都有乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有8种，而投入一个盒子包含2个基本事件，根据古典概型及性质可求解. 【详解】设“每个盒子都有乒乓球”为事件A，由题可知 三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有（种）， 三个不同颜色的乒乓球随机投入一个盒子包含2个基本事件，所以 . 故选：D 二、【考向感知】 本专题属于浙江中职高考高频必考、低难度、稳得分模块，每年固定出题，分值稳定，题型固定，无冷门年份缺席情况. 1.核心命题特点（浙江中职独有风格） (1)重基础、轻难题，拒绝复杂运算 命题全程规避高中普高复杂排列组合、独立重复试验等难点，仅依托枚举计数解题，核心考查学生“不重不漏列举基本事件”的严谨性，运算以简单分数化简为主，无复杂计算。 (2) 概念辨析陷阱多，侧重严谨性考查 命题高频设置思维陷阱，重点区分：随机、必然、不可能事件、频率与概率、有序与无序抽样、互斥事件与对立事件、古典概型与非古典概型试验，侧重考查学生对核心概念的精准理解，而非单纯计算。 （3）解题方法固定，套路性极强 所有真题、模拟题均统一解题模板：判断概型→列举总基本事件数→列举目标事件数→代入公式计算，答题规范要求严格，步骤分明确。 2.高频易错命题陷阱 （1）概念混淆：将频率等同于概率，误认为频率固定不变，忽略概率是频率的长期稳定值。 （2）概型误判：对“结果有限但不等可能”的试验强行套用古典概型公式，是选择、判断题头号失分点。 （3） 计数失误：有序、无序抽样区分不清，出现基本事件重复、遗漏，是解答题主要扣分点。 （4）概念混淆：混淆互斥事件与对立事件，误将互斥事件等同于对立事件，乱用概率公式。 （5）步骤失分：解答题未先判断古典概型、未写明总事件数与目标事件数，直接写答案，丢失步骤分。 3.命题趋势预判（2027届浙江中职高考） （1）题型稳定：依然以基础选择、填空、简单解答题为主，无难度提升，持续作为保底得分模块。 （2） 素养侧重：弱化机械计算，强化数学建模、逻辑推理素养考查，要求学生能自主将专业实际问题转化为古典概型数学模型。 （3）规范加码：解答题步骤评分更严格，重点考查解题流程完整性，杜绝只写结果不写过程的答题方式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $