专题46 随机事件与古典概型（练习）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦随机事件与古典概型，构建“概念辨析-关系判断-概率计算-综合应用”递进体系，覆盖选择、填空、解答题型，强化数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件|6题|事件类型判断、频率计算|从事件定义到概率基本性质| |互斥/对立/独立事件|14题|关系辨析、概率公式应用|概念辨析→公式计算→独立事件综合| |古典概型|9题|基本事件列举、概率计算|古典概型条件→计数方法→概率求解| |事件应用|5题|分层抽样、密码破译等情境|知识迁移→复杂问题解决| |综合提升|7题|空气质量、凸数等综合题型|多考点融合→数学建模与数据应用|

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题46 随机事件与古典概型 【考点1 随机事件】 1. 下列说法正确的是（    ） A．概率很小的事件不可能发生 B．随机事件发生的概率为1 C．不可能发生事件的概率为0 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的概率为1 【答案】C 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】由随机事件和确定事件的定义判断即可. 【详解】对于，概率很小的事件也可能发生，错误， 对于，随机事件发生的概率大于小于，错误， 对于，不可能发生事件的概率为，正确， 对于，投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的概率为，错误. 故选：. 2. 若从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物，则下列事件中属于必然事件的是（    ） A．5盆都是绿萝 B．5盆都是百合花 C．至少有1盆是绿萝 D．至少有1盆是百合花 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件的概念逐项分析即可. 【详解】已知从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物， 5盆都是绿萝，为不可能事件不是必然事件，故A错误， 5盆都是百合花，为随机事件不是必然事件，故B错误， 至少有1盆是绿萝，为随机事件不是必然事件，故C错误， 至少有1盆是百合花为必然事件，故D正确， 故选：D. 3. 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平 B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率 C．某地发行福利彩票，回报率，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件 【答案】A 【知识点】判断事件是否是随机事件、确定性事件与随机事件的概率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据随机事件发生的概率及概率和频率的区别求解即可. 【详解】对于A，甲，乙两人各写一个数字，所有可能的结果为(奇，偶)， (奇，奇)， (偶，奇)， (偶，偶)， 则都是奇数或都是偶数的概率为，游戏是公平的； 对于B，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，但两个概念不同， 事件A发生的频率就是事件A发生的概率这种说法是不正确的； 对于C，某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料， C不正确； 对于D，某人订阅可能订阅甲或乙报纸事件，事件B可能发生也可能不发生，事件B是随机事件，D不正确. 故选：A. 4. 在一所有 2000名学生的学校中随机调查了100人，其中有75人上学之前吃早餐，则估计在该校随机问一人，上学之前吃早餐的概率是_____ 【答案】0.75 【知识点】用频率估计概率 【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】随机调查了100人，其中有75人上学之前吃早餐， 则学生上学之前吃早餐的频率是， 所以估计在该校随机问一人，上学之前吃早餐的概率是0.75. 故答案为：0.75． 5. 已知一组样本数据如下：，，，，，，，，，．其中数据在内的频率是_____________． 【答案】 【知识点】计算频率 【分析】根据频率计算公式可求解. 【详解】这个数据中，在内的数据有个，即频数为3， 所以数据在内的频率为. 故答案为： 6. 下列结论中错误的是__________．（填序号） ①如果，那么A为必然事件； ②频率是客观存在的，与试验次数无关； ③概率是随机的，在试验前不能确定； ④若事件A与B是对立事件，则A与B一定是互斥事件． 【答案】① ② ③ 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、辨析概率与频率的关系、确定性事件与随机事件的概率 【分析】依据必然事件的概率判断 ① ；依据频率的性质判断 ② ；依据概率的定义判断③ ；依据对立事件与互斥事件的关系判断④ . 【详解】必然事件的概率为1，故① 判断错误； 频率不是客观存在的，与试验次数有关.故② 判断错误； 频率稳定在某个常数，这个常数叫概率. 故③ 判断错误； 若事件A与B是对立事件，则A与B一定是互斥事件．故④ 判断正确. 故答案为：① ② ③ 【考点2 互斥事件、对立事件与相互独立事件】 7. 抛掷一枚骰子，下列事件是互斥事件的是（     ）. A．{点数为3}与{点数至少为3} B．{点数至多为3}与{点数至少为3} C．{点数为3}与{点数至多为3} D．{点数为3}与{点数大于3} 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念逐个分析即可. 【详解】选项A，{点数为3}与{点数至少为3}，可能同时发生，不是互斥事件，故A错误， 选项B，{点数至多为3}与{点数至少为3}，可能同时发生，不是互斥事件，故B错误， 选项C，{点数为3}与{点数至多为3}，可能同时发生，不是互斥事件，故C错误， 选项D，{点数为3}与{点数大于3}，不可能同时发生，是互斥事件，故D正确， 故选：D. 8. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（    ） A．是对立事件 B．是不可能事件 C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 【答案】C 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、随机现象 【解析】根据互斥事件和对立事件、不可能事件的概念，选出正确选项. 【详解】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件. 故选：C. 9. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“有一个黑球”与“恰有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】C 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据事件的互斥性与对立性判别. 【详解】选项A中，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如︰两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件， A不正确. 选项B中，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是红球”不可以同时发生，对立，B不正确; 选项C中，事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，C正确. 选项D中，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，D不正确. 故选：C. 10. 在试验“抛掷两枚质地均匀的硬币”中，事件A= “至少有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C对立 C．B与C不互斥 D．B与C对立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、写出基本事件 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有正反；正正；反正；反反，共4种情况， 其中满足事件的共有正反，反正和正正；满足事件的是正正一种情况， 满足事件的是反反一种情况， 对A，则显然事件和事件可能同时发生，即正正这种情况，故A错误； 对B，事件为事件为互斥事件，且两者构成了所有的发生情况，即必有一个发生，则A与C对立，故B正确； 对C，事件与事件显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故C错误； 对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误. 故选：B. 11. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（    ） A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD. 【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误； 对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误； 对于C，两个骰子的点数之和为的情况有， 则， 所以，所以与相互独立，C正确； 对于D，两个骰子的点数之和为的情况有， ，所以，D错误. 故选：C. 12. 下列说法正确的是（    ）. A．抛掷一颗骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数，和事件概率为0. B．抛掷一颗骰子，事件A：点数为3和4，事件B：点数为偶数，这两个事件是互斥事件. C．抛掷一枚硬币，事件A：正面朝上，事件B：反面朝上，这两个事件是互斥事件. D．在一次考试中，事件A：考试及格（不低于60分），事件B：考试90分以上，这两个事件是对立事件. 【答案】C 【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据和事件、互斥事件和对立事件的定义来逐一分析每个选项. 【详解】选项A，抛掷一颗骰子，样本空间为， 事件：点数为奇数，即；事件：点数为偶数，即， 和事件为：，是必然事件，其概率为1，所以选项A错误； 选项B，抛掷一颗骰子，事件：点数为和，即；事件：点数为偶数，即， 因为，所以与不是互斥事件，选项B错误； 选项C，抛掷一枚硬币，样本空间为{正面向上，反面向上}，事件：正面朝上；事件：反面朝上， 则与不可能同时发生，所以与是互斥事件，选项C正确； 选项D，在一次考试中，事件：考试及格（不低于60分）；事件：考试分以上， 因为考试分以上一定是及格的，即，所以与不是互斥事件，也不是对立事件，选项D错误， 故选：C. 13. 若事件A与事件B互斥，且，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．1 D．0.7 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的计算公式计算即可. 【详解】因为事件A与事件B互斥， 且，， 所以， 故选：B. 14. 一个盒子内放有10个大小相同的球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，则从盒子中摸出一个球，得到红球或绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】由得到红球或绿球的概率为得到红球的概率加得到绿球的概率求解即可. 【详解】一个盒子内放有10个大小相同的球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球， 从盒子中摸出一个球，取得红球的概率为，取得绿球的概率为， 取到红球与取到绿球是互斥事件， 故所求概率为． 故选：A 15. 如果100件产品中有2件次品，抽出3件中至少有一件次品的抽法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、确定所给事件的对立关系 【分析】根据组合计数和对立事件的应用进行求解即可. 【详解】从100件产品中抽出3件，3件全是正品的抽法有种， 从100件产品中随意抽出3件有种抽法， 故从100件产品中抽出3件，其中至少有一件次品的抽法有种. 故选：C. 16.从4名男生和2名女生中选出3人参加省中职学校职业能力大赛，至少有1名女生参加的概率为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由对立事件求出至少有1名女生参加的不同选法，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】从4名男生和2名女生中选出3人参加省中职学校职业能力赛，共有种不同选法； 3人都是男生共有种不同选法，故至少有1名女生参加共有种不同选法； 故至少有1名女生参加的概率为. 故选：D. 17. 若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（    ） A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45 【答案】B 【知识点】概率的基本性质、事件的运算及其含义 【分析】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，. 【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付， 则，，则，. 故选：B. 18. 某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为___________. 【答案】0.5 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件的概率易得答案. 【详解】因为该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6， 所以该学生获得奖品的概率为. 故答案为：0.5. 19. 甲、乙两人下棋，乙获胜的概率为，两人和棋的概率为，则甲获胜的概率为__________． 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】甲获胜和乙不输是对立事件，则根据对立事件的概率公式即可解得. 【详解】由题甲获胜和乙不输是对立事件， 乙不输的情况包括，乙获胜和两人和棋，乙不输概率为. 则甲获胜的概率为：， 故答案为：. 20. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知他们能破译该密码的概率分别是，，． (1)求三人都成功破译该密码的概率； (2)求恰有一人成功破译该密码的概率； (3)求该密码被成功破译的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】独立事件的概率公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）应用独立事件乘方公式求三人都成功破译该密码的概率； （2）由对立事件及独立事件乘法、互斥事件加法公式求恰有一人成功破译该密码的概率； （3）应用对立事件的概率求法求该密码被成功破译的概率. 【详解】（1）由题意，三人都成功破译该密码的概率为； （2）由题意，恰有一人成功破译该密码的概率为； （3）该密码不被成功破译的概率为， 所以该密码被成功破译的概率为. 【考点3 古典概型】 21. 下列是古典概型的是（    ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 【答案】C 【知识点】古典概型的特征 【分析】根据古典概型的定义，逐项分析判断即可得解. 【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型； B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型； C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型； D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是． 故选：C 22. 袋子里有大小相同的3个白球和2个黑球，从中任意取出1个球，取得白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】记事件A为任取1个球为白球， 从袋子里任取出1个球的方法数为， 任取1个球为白球的方法数为， 所以. 故选:C. 23. 袋子中有4个完全一样的球，其中2个红球，2个白球.现从中随机摸出两个球，则摸出的两个球都是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】根据题意列举出所有情况和概率公式易得答案. 【详解】记2个红球为，，2个白球为，， 从中不放回地依次随机摸出2个球，结果有： 、、、、、、 、、、、、， 摸出的两个球共种， 其中第一次和第二次都是红球的结果有2种可能， 概率. 故选：D. 24. 某商场举办迎亚运抽奖活动，在一个不透明的箱子内放入2个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余都相同.随机摸出一个球，摸到红球即为中奖.若中奖的概率为60%，则红球有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】根据古典概型的概率问题即可求解. 【详解】由题意得，一个不透明的箱子内有2个白球和若干个红球，摸到红球的概率为， 设红球为个，则，解得，即红球有个. 故选：A. 25. 已知集合，点的坐标是，且．则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步计数原理求出基本事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】集合，点的坐标是，且， 则点的取法共有种， 若点在第二象限，即， 此时点的取法共有种， 故在第二象限的概率是. 故选：C. 26. 在电商仓库的分拣框里，有20件红色包装快递件和m件蓝色包装快递件．分拣员随机从框中拿一件包裹，拿到蓝色包装快递件的概率是0.8，则_____． 【答案】80 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】分拣框有20件红色包装快递件和m件蓝色包装快递件， 则拿到蓝色包装快递件的概率是，解得． 故答案为：80. 27. 若从2，3，5，6这四个数字中任取2个数字，则“这2个数字的乘积能被3整除”的概率为______． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、组合数的计算 【分析】由古典概型求概率的方法即可求解. 【详解】从2，3，5，6这四个数字中任取2个数字，有种方法， 这2个数字的乘积能被3整除为，则有5种， 则由古典概型得． 故答案为：. 28. 在，，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数中a，b的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为______． 【答案】 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率、二次函数的图象分析与判断、一次函数的图像和性质 【分析】利用一次函数二次函数的性质，结合概率求法分析得出答案. 【详解】五个数字任取一个作数字作系数a，放回后随机任取一个数作为b，有种不同取法. 当时，函数图像为一条直线，若图像恰好经过第一、三、四象限，则，即有，；，两组数满足； 时，二次函数经过第一、三、四象限则开口向下，又图像过点，顶点必在第一象限，即满足，，，有，；，；，三组数满足．故共有5组满足， 所求概率为． 故答案为： 29. 盒子中有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从中有放回地任意抽取两球，编号依次记为． (1)用形如的形式写出所有基本事件； (2)求抽到的两个球的编号之和大于4的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出基本事件 【分析】（1）利用列举法列出所有可能情况； （2）根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）从中有放回地任意抽取两球，所有基本事件为： . （2）从中有放回地任意抽取两球，所有基本事件总数为16， 抽到的两个球的编号之和大于4包含的基本事件有： ，共10个， ∴抽到的两个球的编号之和大于4的概率为. 30. 从3名医生，4名护士中随机选出3人参加志愿服务，记选出的医生人数为，求： (1)的分布列； (2)选出的医护人员中至少有2名医生的概率； (3)选出的医护人员中至多有2名医生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】由随机变量的分布列求概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意知的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由选出的医护人员中至少有2名医生有2种情况，分别是选出2名医生和选出3名医生，利用分布列求出其概率； （3）由选出的医护人员中至多有2名医生，利用间接法可知排除选出3名医生的情况结合分布列求出其概率. 【详解】（1）根据题意，的取值为，，，． ， ， ， ． 的分布列为 0 1 2 3 （2）． 选出的医护人员中至少有2名医生的概率是． （3）． 选出的医护人员中至多有2名医生的概率是． 【考点 互斥事件、对立事件与独立事件的应用】 31. 某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名领队中至少有1名男生的概率为_______ 【答案】 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】先根据分层随机抽样的方法求出抽取的男生和女生人数，再求出领队全为女生的概率，最后利用对立事件的概率公式求得答案. 【详解】根据分层抽样原理，抽取的男生人数为，抽取的女生人数为4， 领队全为女生的概率， “至少有1名男生”与“全为女生”是对立事件， 所以至少有1名男生的概率为， 故答案为：. 32. 袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是______，______，______. 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，根据题意结合互斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案. 【详解】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”， 则事件A，B，C，D两两互斥， 根据题意，得， 解得，，， 故答案为：，， 33. 某人参与一种答题游戏，需要解答三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为． (1)求p的值； (2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的概率公式、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）记解答三道题正确分别为事件，则，从而可求出p的值； （2）记事件为至少答对2道题，则，然后利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）记解答三道题正确分别为事件，则, 因为各题答对与否互不影响，且全部答对的概率为， 所以，解得 （2）记事件为至少答对2道题，则由题意得 所以他获奖的概率为 34. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的概率公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得. （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则 事件，，相互独立，且，，. 因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 . （2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥. 所以该选手至多进入第二轮考核的概率为 . 35. 在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求丙连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)乙，理由见解析 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、写出基本事件、独立事件的概率公式 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解. （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可得所求事件的概率 （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：； （2）根据赛制，需要进行第五场比赛时，说明至少需要进行四场比赛， 而甲连胜四场的概率为，丙连胜四场的概率均为， 乙上场后连胜三场获胜的概率为， 四场就结束比赛的概率为， 所以需要进行第五场比赛的概率. （3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输， 记事件：甲赢，记事件：乙赢， 则甲赢的基本事件包括：､ ， 所以甲赢的概率为. 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是. 所以乙赢的概率为. 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大. 【考点2 古典概型】 36. 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 不大于30 概率P 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据图表得出空气为优和良的概率，利用加法公式即可得解. 【详解】由表知空气质量为优的概率是， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为， 所以该城市空气质量达到良或优的概率， 故选：. 37. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是，，（），当且仅当且时称为“凸数”.若，，均属于，则三位数是“凸数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，求出三位数共有几种排法，再分情况求得三位数为“凸数”有多少种情况，再利用古典概型，即可求解. 【详解】根据题意，若，，均属于，且两两不相等，可组成个不同的三位数； 其中当时，“凸数”有个； 当时，“凸数”有个； 当时，“凸数”有0个； 当时，“凸数”有0个； 所以三位数是“凸数”有个， 所以三位数是“凸数”的概率为. 故选：B. 38. 一副扑克共54张牌，4种花色，每一种花色各13张牌：2，3，…，10，J，Q，K，A，另外还有大王、小王各1张.如果除2，3，… ，10这些牌以外，其他牌J，Q，K，A和大王、小王都称为“花牌”，那么从一副洗乱的扑克牌中任意抽取2张，抽到两张花牌，且至少有1张王的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】先求出所有事件数，再求出抽到两张花牌且有王的事件数，结合概率公式可得. 【详解】扑克牌共有张，花牌共有张. 在所有扑克牌中抽两张的事件数为. 抽到两张花牌的事件数为. 抽到两张花牌且没有王的事件数为. 则抽到两张花牌且至少有1张王的事件数为. 则抽到两张花牌，且至少有1张王的概率是. 故选：C. 39. 袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个，…，标号为号的球个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则 （    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】根据古典概型的概率求参数、求等差数列前n项和 【分析】计算出所有球的个数为，计算出关于的表达式，结合条件可求得的值. 【详解】由题意可知，所有球的个数为， 由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：C. 40. 中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的常见表述为“任一大于2的偶数都可以表示为两个素数的和” ，如，，，，，现从，，，这四个素数中 （1）随机取一个数，这个数大于6的概率是________ （2）随机取两个不同的数，这两数的和不等于18的概率是________ 【答案】 /0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先求共有几种选择，求出大于有几种选择，然后根据概率公式可求； （2）先求取两个不同的数有几种选择，求出两数的和不等于18有几种选择，然后根据概率公式可求. 【详解】（1），，，这四个素数中选一个数共有种选择， 其中大于6的有，，，有种选择， 则大于6的概率是； （2）随机取两个不同的数可能是和；和；和；和；和；和，共种， 两数的和不等于18，，，，，共有4种， 则这两数的和不等于18的概率是. 故答案为：；. 41. 一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异. (1)若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率； (2)若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】相互独立事件与互斥事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算即可得到结果； （2）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 【详解】（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则 ，， 又事件A与B相互独立，所以，. （2）从中摸两个球，所得样本空间为 ，包含10个样本点， 满足条件的样本点有共3个，满足条件的事件的概率为. 42. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，题图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)若用分层抽样的方法从身高在第三、四、五组的男生中共抽取7名男生，再从这7名男生中随机抽取3名男生，设事件抽取的3名男生中至少有一人身高属于，求； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】(1). (2). (3). 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、组合数的计算 【分析】（）根据频率分布直方图的性质即可得解. （）根据分层抽样求出第三、四、五组的人数，根据古典概型的公式及组合数的计算即可得解. （）求出第六组和第八组的人数，根据题意结合古典概型的公式及组合数的计算即可得解. 【详解】（1）第六组的频率为， 第七组的频率为：． （2）第三、四、五组的人数分别为，，人，共人， 用分层抽样分别抽取的人数为人，人，人， 从7人中任意抽取3人，共有种方法， 3人身高都不属于的抽法有种，概率为， . （3）第六组的人数为人，第八组的人数为人， 则第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生共有种情况， 事件“”发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 事件B包含的基本事件有种情况， 所以． 【真题溯源】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题46 随机事件与古典概型 【考点1 随机事件】 1. 下列说法正确的是（    ） A．概率很小的事件不可能发生 B．随机事件发生的概率为1 C．不可能发生事件的概率为0 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的概率为1 2. 若从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物，则下列事件中属于必然事件的是（    ） A．5盆都是绿萝 B．5盆都是百合花 C．至少有1盆是绿萝 D．至少有1盆是百合花 3. 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平 B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率 C．某地发行福利彩票，回报率，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件 4. 在一所有 2000名学生的学校中随机调查了100人，其中有75人上学之前吃早餐，则估计在该校随机问一人，上学之前吃早餐的概率是_____ 5. 已知一组样本数据如下：，，，，，，，，，．其中数据在内的频率是_____________． 6. 下列结论中错误的是__________．（填序号） ①如果，那么A为必然事件； ②频率是客观存在的，与试验次数无关； ③概率是随机的，在试验前不能确定； ④若事件A与B是对立事件，则A与B一定是互斥事件． 【考点2 互斥事件、对立事件与相互独立事件】 7. 抛掷一枚骰子，下列事件是互斥事件的是（     ）. A．{点数为3}与{点数至少为3} B．{点数至多为3}与{点数至少为3} C．{点数为3}与{点数至多为3} D．{点数为3}与{点数大于3} 8. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（    ） A．是对立事件 B．是不可能事件 C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 9. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“有一个黑球”与“恰有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 10. 在试验“抛掷两枚质地均匀的硬币”中，事件A= “至少有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C对立 C．B与C不互斥 D．B与C对立 11. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（    ） A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 12. 下列说法正确的是（    ）. A．抛掷一颗骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数，和事件概率为0. B．抛掷一颗骰子，事件A：点数为3和4，事件B：点数为偶数，这两个事件是互斥事件. C．抛掷一枚硬币，事件A：正面朝上，事件B：反面朝上，这两个事件是互斥事件. D．在一次考试中，事件A：考试及格（不低于60分），事件B：考试90分以上，这两个事件是对立事件. 13. 若事件A与事件B互斥，且，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．1 D．0.7 14. 一个盒子内放有10个大小相同的球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，则从盒子中摸出一个球，得到红球或绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 15. 如果100件产品中有2件次品，抽出3件中至少有一件次品的抽法总数是（    ） A． B． C． D． 16.从4名男生和2名女生中选出3人参加省中职学校职业能力大赛，至少有1名女生参加的概率为（    ） A． B．1 C． D． 17. 若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（    ） A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45 18. 某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为___________. 19. 甲、乙两人下棋，乙获胜的概率为，两人和棋的概率为，则甲获胜的概率为__________． 20. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知他们能破译该密码的概率分别是，，． (1)求三人都成功破译该密码的概率； (2)求恰有一人成功破译该密码的概率； (3)求该密码被成功破译的概率． 【考点3 古典概型】 21. 下列是古典概型的是（    ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 22. 袋子里有大小相同的3个白球和2个黑球，从中任意取出1个球，取得白球的概率为（    ） A． B． C． D． 23. 袋子中有4个完全一样的球，其中2个红球，2个白球.现从中随机摸出两个球，则摸出的两个球都是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 24. 某商场举办迎亚运抽奖活动，在一个不透明的箱子内放入2个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余都相同.随机摸出一个球，摸到红球即为中奖.若中奖的概率为60%，则红球有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 25. 已知集合，点的坐标是，且．则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 26. 在电商仓库的分拣框里，有20件红色包装快递件和m件蓝色包装快递件．分拣员随机从框中拿一件包裹，拿到蓝色包装快递件的概率是0.8，则_____． 27. 若从2，3，5，6这四个数字中任取2个数字，则“这2个数字的乘积能被3整除”的概率为______． 28. 在，，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数中a，b的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为______． 29. 盒子中有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从中有放回地任意抽取两球，编号依次记为． (1)用形如的形式写出所有基本事件； (2)求抽到的两个球的编号之和大于4的概率． 30. 从3名医生，4名护士中随机选出3人参加志愿服务，记选出的医生人数为，求： (1)的分布列； (2)选出的医护人员中至少有2名医生的概率； (3)选出的医护人员中至多有2名医生的概率． 【考点 互斥事件、对立事件与独立事件的应用】 31. 某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名领队中至少有1名男生的概率为_______ 32. 袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是______，______，______. 33. 某人参与一种答题游戏，需要解答三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为． (1)求p的值； (2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率． 34. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 35. 在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求丙连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 【考点2 古典概型】 36. 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 不大于30 概率P 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为（    ） A． B． C． D． 37. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是，，（），当且仅当且时称为“凸数”.若，，均属于，则三位数是“凸数”的概率为（    ） A． B． C． D． 38. 一副扑克共54张牌，4种花色，每一种花色各13张牌：2，3，…，10，J，Q，K，A，另外还有大王、小王各1张.如果除2，3，… ，10这些牌以外，其他牌J，Q，K，A和大王、小王都称为“花牌”，那么从一副洗乱的扑克牌中任意抽取2张，抽到两张花牌，且至少有1张王的概率是（   ） A． B． C． D． 39. 袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个，…，标号为号的球个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则 （    ） A．7 B．8 C．9 D．10 40. 中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的常见表述为“任一大于2的偶数都可以表示为两个素数的和” ，如，，，，，现从，，，这四个素数中 （1）随机取一个数，这个数大于6的概率是________ （2）随机取两个不同的数，这两数的和不等于18的概率是________ 41. 一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异. (1)若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率； (2)若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率. 42. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，题图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)若用分层抽样的方法从身高在第三、四、五组的男生中共抽取7名男生，再从这7名男生中随机抽取3名男生，设事件抽取的3名男生中至少有一人身高属于，求； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【真题溯源】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $