第59卷 双曲线（二）-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦双曲线核心概念与几何性质，通过基础辨析、性质应用到综合计算的层级训练，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8题|考查焦点位置判断、离心率计算、渐近线方程等基础概念|从双曲线定义出发，构建标准方程与a,b,c关系的逻辑链条| |填空题|6题|涉及定义应用、离心率与渐近线关系、方程求解|强化几何性质（离心率、渐近线）与代数表示的转化| |解答题|4题|综合考查方程求解、直线与双曲线位置关系、中点问题|实现从概念理解到综合应用的拓展，培养推理能力|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第59卷 双曲线（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 2．若双曲线满足，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，则其离心率是（    )． A．2 B． C． D． 4．若双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的上、下焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 6．已知双曲线的焦点在y轴上，离心率等于，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．设P为双曲线上一点，且点P到焦点的距离为4，则点P到焦点的距离为______________； 10．平面内到两个点和的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹方程为______． 11．已知双曲线 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为________. 12．双曲线的离心率为________． 13．双曲线的一条渐近线方程为，与椭圆有相同的焦点，求双曲线标准方程________. 14．双曲线的离心率为，则_______. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、顶点重合. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的两个顶点，若是直线与双曲线相交所得线段的中点，求的面积. 16．已知双曲线的实轴长为，左焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与直线垂直，求直线的方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，求的值． 17．已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，且经过点，离心率为，求： (1)双曲线的标准方程； (2)双曲线的渐近线方程. 18．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，与圆在第一象限交于点，过圆心的直线交双曲线于点，（均异于点）.求： (1)双曲线的标准方程； (2)直线与直线的斜率之和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第59卷 双曲线（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的特征，求参数的取值范围. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线, 所以，解得, 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．若双曲线满足，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线离心率的定义，列出式子计算即可. 【详解】双曲线满足， 由双曲线离心率的定义， 双曲线的离心率为， 故选：C. 3．已知双曲线，则其离心率是（    )． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率公式求解. 【详解】双曲线即为等轴双曲线， 则，， 所以其离心率为． 故选：B． 4．若双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的方程确定的值，再由渐近线方程求值即可. 【详解】已知双曲线， 其中，则， 所以渐近线方程为， 故选：D. 5．已知双曲线的上、下焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点坐标，结合双曲线中，可得到关于的一个关系式，将已知点代入双曲线方程，又可得到一个关于的关系式，二者联立方程组，即可求得a的值，继而求得离心率． 【详解】因为双曲线的上、下焦点分别为， 所以， 又点在该双曲线上， 所以， 所以，即， 整理得，即， 所以（舍）或， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 6．已知双曲线的焦点在y轴上，离心率等于，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率可得，再根据渐近线公式可求解. 【详解】因为双曲线的离心率等于， 所以，可化为，解得. 又双曲线的焦点在y轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 7．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再根据双曲线的性质求出的值，进而得到双曲线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 因为双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合， 可得双曲线的半焦距，焦点在轴上，则， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 8．若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论焦点在轴上和焦点在轴上，结合渐近线方程及得出的数量关系，代入离心率公式即可得解. 【详解】若焦点在轴上，则， ，； 若焦点在轴上，则， ，， 综上所述，该双曲线的离心率为或. 故选：D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．设P为双曲线上一点，且点P到焦点的距离为4，则点P到焦点的距离为______________； 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】在双曲线中，， 则有， 故答案为：12 10．平面内到两个点和的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据题意判断动点的轨迹为双曲线，得到值，即可求解轨迹方程. 【详解】∵动点到两个点和的距离之差的绝对值等于12， 即，， 结合双曲线的定义可知，动点的轨迹是以、为焦点，的双曲线. 故，，，即. 双曲线的焦点在轴上，故轨迹方程为. 故答案为：. 11．已知双曲线 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率，结合双曲线中的关系求解渐近线方程即可； 【详解】因为双曲线 的离心率为2， 所以，即， 所以，即； 所以双曲线的渐近线方程为； 故答案为：. 12．双曲线的离心率为________． 【答案】2 【分析】根据题意，将双曲线方程化为标准方程，求得a和c的值，继而求解. 【详解】因为双曲线，化为标准方程得， 所以，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 13．双曲线的一条渐近线方程为，与椭圆有相同的焦点，求双曲线标准方程________. 【答案】 【分析】先根据渐近线设双曲线方程为，再结合双曲线与椭圆有相同的焦点得出方程，从而得到双曲线的方程. 【详解】依题意，设所求双曲线方程为， 则双曲线的标准方程为. 又，，. 双曲线的标准方程为. 故答案为：. 14．双曲线的离心率为，则_______. 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率公式列方程求解即可. 【详解】已知双曲线， 化为标准方程为， 则，， 因为离心率为，则， 即，解得， 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、顶点重合. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的两个顶点，若是直线与双曲线相交所得线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）首先确定椭圆的顶点和焦点的坐标，进而确定双曲线方程； （2）联立双曲线方程和直线方程，由根与系数关系确定点的坐标，进而求解的面积. 【详解】（1）在椭圆中，左右顶点为，焦点为， 双曲线，焦点在轴上， 已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、左右顶点重合， 则，， 所以双曲线的标准方程为. （2）若是直线与双曲线相交所得线段的中点， 设，则中点的坐标为， 联立方程 消去，整理得， 根据根与系数的关系，得， 所以， 所以， 因为的底边在轴上，所以高，底， 所以. 16．已知双曲线的实轴长为，左焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与直线垂直，求直线的方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线实轴长和左焦点坐标，结合双曲线中a，b，c的关系求出a、b的值，进而得到双曲线的标准方程； （2）先根据两直线垂直的性质求出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线l的方程． （3）先联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出的值． 【详解】（1）已知双曲线的实轴长为，左焦点为， 则，解得， 可得， 所以双曲线的标准方程为． （2）直线可化为，其斜率为1， 因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为， 又直线l过点， 可得直线l的方程为，即． （3）联立，得，即， 设， ，， 则． 17．已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，且经过点，离心率为，求： (1)双曲线的标准方程； (2)双曲线的渐近线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的性质和已知条件建立方程求解参数； （2）根据双曲线渐近线方程的求法求解． 【详解】（1）由题意设双曲线方程为， 离心率，即，得①， 双曲线过点，得②， 联立①②解得，， 故双曲线方程为： （2）双曲线的渐近线方程为. 18．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，与圆在第一象限交于点，过圆心的直线交双曲线于点，（均异于点）.求： (1)双曲线的标准方程； (2)直线与直线的斜率之和. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据已知条件确定和的值即可； （2）先求出点的坐标，再设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理求出和，最后代入斜率公式求解. 【详解】（1）因为实轴长为2，所以， 又因为双曲线的渐近线方程为， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）由，消除可得, 解得或, 得或或或， 所以. 已知圆的圆心， 由题意知：过点与双曲线相交于，两点的直线斜率存在，设斜率为， 则直线的方程为，设，，， 由，得， 所以 所以且，， 因为，， 所以 . 所以直线与直线的斜率之和为3.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $