第61卷 抛物线（二）-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦抛物线核心考点，以三阶递进体系为框架，通过基础概念、几何性质、实际应用及综合问题的层级设计，构建从定义到应用的完整知识逻辑链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-4、填空9-12|围绕定义（距离）、标准方程（顶点/焦点/准线）|从抛物线定义出发，推导标准方程及准线、焦点坐标关系| |几何性质|单选7-8、填空13-14|涉及焦点准线对称、距离最值、点线位置关系|结合几何直观，深化抛物线对称性与距离转化思想| |实际应用|单选5-6|以拱桥、建筑为情境的建模问题|体现数学眼光观察现实世界，将实际问题抽象为抛物线模型| |综合应用|解答15-18|方程求解、弦中点问题及跨知识结合|整合定义、方程与几何性质，培养推理能力与综合应用意识|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第61卷 抛物线（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 2．已知抛物线的顶点在椭圆上，则的值是（     ） A． B．3 C．或5 D．或3 【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式算出顶点，再代入到椭圆方程即可解得. 【详解】由题意知，由抛物线的顶点坐标公式可得，即顶点， 将顶点代入椭圆方程，即， 解得或， 故选：D 3．抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及方程求解. 【详解】由题可知，抛物线开口向上，设方程为， 则抛物线的焦点为，准线为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为， 故选：B． 4．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的纵坐标为（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义及性质分析求解即可. 【详解】设点，因为抛物线方程为， 则，且抛物线焦点在轴， 所以其准线方程为， 又因为抛物线上点到焦点的距离为4， 由抛物线的定义得：，则， 所以点的纵坐标为3， 故选：A. 5．抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米，当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．43米 C．8米 D．12米 【答案】A 【分析】建立合适的坐标系求出抛物线方程，然后根据水面下降的情况求出此时水面的宽度. 【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图，    设抛物线方程为， 已知顶点距水面米时，水面宽为米，即，可得点的坐标为， 代入抛物线方程可得，解得， 所以抛物线方程为. 当水面下降米后，达到的位置，设， 此时水面距离顶点的距离为米，即， 将代入抛物线方程中，得， 解得， 所以此时水面的宽度为米. 故选：A. 6．数学与建筑相结合能造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一座抛物线形水泥建筑物，如图所示.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的坐标求得抛物线的标准方程，由标准方程求其焦点坐标即可. 【详解】因为点在该抛物线上， 所以，解得：， 所以抛物线的标准方程为， 所以， 所以其焦点坐标为：， 故选：D. 7．已知是抛物线的焦点，的准线与轴的交点为A，点在上，且，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作准线的垂线，垂足为Q，设，结合抛物线的定义得，设点到直线的距离为d，则，结合已知条件即可求解. 【详解】由抛物线方程可得，所以抛物线的焦点坐标为， 如图：过点B作准线的垂线，垂足为Q，准线与x轴的交点为A，则， 设，则, 又，所以， 设点到直线的距离为d，则， 又，解得， 所以点到直线的距离为. 故选：B.    8．已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求出点的坐标，进而得点的坐标，再根据两点间距离公式求出. 【详解】在抛物线中，，则， 所以焦点的坐标为，准线方程为. 设点的坐标为， 由抛物线的定义可知，，解得， 因为点在抛物线上，可得，则， 因为过点作轴的垂线，垂足为，所以点的坐标为， 已知，，则， 故选：D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．抛物线的准线方程是___________. 【答案】 【分析】根据抛物线的标准方程，先确定焦点的位置和的值，再写出准线方程. 【详解】由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且， 因此，准线方程为. 故答案为： 10．抛物线的准线方程为______. 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程即可得解. 【详解】抛物线， 所以， 所以准线方程为， 故答案为：. 11．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为________. 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，设出点坐标，列出方程求出点横坐标，代入解析式中即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴正半轴，准线方程为， 设点坐标为，到准线的距离为9，即，， 则，解得，则到轴的距离为， 故答案为：. 12．抛物线的焦点到准线的距离为__________. 【答案】4 【分析】根据抛物线的标准方程和性质分析即可. 【详解】因为抛物线的标准方程为，则， 所以焦点到准线的距离， 故答案为：. 13．已知点是抛物线上一点，为焦点，点为圆的圆心，则的最小值为__________. 【答案】5 【分析】根据抛物线的定义将转化到点P到准线的距离，由此求解即可. 【详解】由题意知，焦点为. 圆化为标准方程得， 则圆心坐标为，如图，    等于点到准线的距离. 当三点共线过圆心时有最小值， 所以. 故答案为：5. 14．若抛物线上一点到其准线的距离与到原点距离相等，则点到轴的距离为__________. 【答案】 【分析】根据题意，结合抛物线的标准方程求得焦点坐标和准线方程，设出点A坐标，结合两点之间的距离公式表示出点A到原点的距离，及点到其准线的距离，结合抛物线方程，即可求得点A的横坐标，继而求解. 【详解】∵抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 又点到其准线的距离与到原点距离相等， 设，则， 可化为，解得， 即点的横坐标为，所以， 解得，即点到轴的距离为. 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求抛物线：，点在抛物线上. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标，即可求解抛物线的方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立方程组，借助韦达定理表示出，结合得，代入即可求解. 【详解】（1）将点代入抛物线方程可得，即， 则抛物线方程为. （2）因为直线不过原点， 所以， 将直线方程与抛物线方程联立得， 消掉得， 设点，， 由韦达定理可得，， 所以， 因为， 所以，即， 所以， 解得. 16．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程． 【答案】 【分析】由抛物线的定义和性质及标准方程即可得解. 【详解】点在第二或第三象限，因此设抛物线的标准方程， 点到抛物线焦点的距离为5，即， 解得，所以抛物线的标准方程为. 17．已知抛物线的焦点在坐标轴上，顶点为原点，且抛物线经过点，求抛物线的标准方程. 【答案】或 【分析】由题意得，抛物线可分焦点在x轴正半轴上和焦点在y轴正半轴上两种情形，分别设出抛物线方程，再将点分别代入上述设得的方程，求出p即可得出答案. 【详解】抛物线的焦点在坐标轴上，顶点为原点， 设抛物线的方程为或. 抛物线经过点. 或， 即或. 抛物线的标准方程为或. 18．抛物线的弦AB被点平分． (1)求弦所在直线方程； (2)若点P是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，则的最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）设点点，由弦AB被点平分，A和B都在抛物线上可得所在直线的斜率，再根据点斜式可求出直线方程. （2）根据准线的定义将转化为到准线的距离，垂足为，当，，三点共线时最小. 【详解】（1）设抛物线上点，. 弦AB被点平分 A和B都在抛物线上 ，. 两式相减得. 弦AB所在直线的斜率. 弦所在直线过 弦所在直线方程为 （2）抛物线的焦点，准线是. 设到准线的距离为，垂足为. 由抛物线的定义. 当，，三点共线时最小. 此时. 故的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第61卷 抛物线（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 2．已知抛物线的顶点在椭圆上，则的值是（     ） A． B．3 C．或5 D．或3 3．抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 4．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的纵坐标为（ ） A．3 B． C．4 D． 5．抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米，当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．43米 C．8米 D．12米 6．数学与建筑相结合能造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一座抛物线形水泥建筑物，如图所示.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．已知是抛物线的焦点，的准线与轴的交点为A，点在上，且，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．抛物线的准线方程是___________. 10．抛物线的准线方程为______. 11．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为________. 12．抛物线的焦点到准线的距离为__________. 13．已知点是抛物线上一点，为焦点，点为圆的圆心，则的最小值为__________. 14．若抛物线上一点到其准线的距离与到原点距离相等，则点到轴的距离为__________. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求抛物线：，点在抛物线上. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 16．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程． 17．已知抛物线的焦点在坐标轴上，顶点为原点，且抛物线经过点，求抛物线的标准方程. 18．抛物线的弦AB被点平分． (1)求弦所在直线方程； (2)若点P是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，则的最小值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $