第62卷 圆锥曲线综合 -考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦圆锥曲线综合考点，以三阶递进训练体系为框架，通过8选择+6填空+4解答题组，融合天体轨道、工程模型等实际情境，实现从概念辨析到应用建模的能力进阶，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达现实世界的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|选择1/5/6/15/16，填空14|结合定义（焦点、离心率）与几何性质（弦长、位置关系），含桥拱、天体轨道模型|从标准方程推导到实际情境建模，形成“定义-性质-应用”逻辑链| |抛物线|选择2/7/8，填空9/11/12/13/18|聚焦焦点、准线、直线与抛物线位置关系，含太阳灶、吊车梁等工程实例|以定义为起点，通过距离公式、斜率关系构建计算与应用体系| |双曲线|选择3/4，解答17|围绕离心率、焦点、对称性质，结合双曲狭缝模型与椭圆综合题|通过与椭圆焦点共性对比，强化圆锥曲线概念间的内在联系|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第62卷 圆锥曲线综合 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．已知是抛物线：上一点，为坐标原点，若线段的垂直平分线经过抛物线的焦点，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（    ）    A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm 4．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 6．著名的天文学家、数学家约翰尼斯•开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为，最远距离为，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 8．已知地球运行的轨道是长半轴为，离心率约为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离和最近距离分别为（注：把地球、太阳看成质点）（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．抛物线上的点到直线的最短距离为，则正数的值为_______. 10．双曲线与直线交点的个数为_____. 11．已知抛物线，直线与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点，记直线OM，ON的斜率分别为，，若，则t＝________． 12．小华同学根据学习过的知识，自己制作了一个太阳灶，这个太阳灶集光板的轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，如图所示．当抛物线的口径为2米时，抛物线的深度为0.25米，已知当集光装置安放在抛物线的焦点位置时，效果最佳，则小华同学应该将集光装置安装在抛物线的顶点上方______米处． 13．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽，高，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为_______． 14．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则椭圆离心率为_________，的周长为_________. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方程.    16．回答下面两个题 (1)求经过点和点的椭圆的标准方程； (2)如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，求水面的宽度    17．设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点． (1)求的值； (2)若点在上，且，求的面积． 18．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第62卷 圆锥曲线综合 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可. 【详解】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 2．已知是抛物线：上一点，为坐标原点，若线段的垂直平分线经过抛物线的焦点，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再由中点求解即可. 【详解】因为抛物线：，可得， 因为线段的垂直平分线经过抛物线的焦点，则. 故选：B. 3．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（    ）    A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm 【答案】B 【分析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案. 【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故. 故选：B 4．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值． 【详解】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，，则两条切线分别是，，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上，所以＝，解得＝. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题. 5．过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点之间距离公式得到弦长. 【详解】由,得椭圆方程, 左焦点为, 过左焦点的直线为,代入椭圆方程得 ，解得或， ， 故选：D. 6．著名的天文学家、数学家约翰尼斯•开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，再根据地球与太阳的最远距离为，最近距离解得. 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为， 根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为， 则，整理得， 解得， 即的离心率为． 故选：B. 7．神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为，最远距离为，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆中a与c的关系以及椭圆的定义求解即可. 【详解】设椭圆的方程为，半焦距为c，两焦点分别为， 飞行中的航天员为点P，由已知可得，则， 故传送神秘信号的最短距离为． 故选：D. 8．已知地球运行的轨道是长半轴为，离心率约为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离和最近距离分别为（注：把地球、太阳看成质点）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆长半轴长和离心率求出，进而求出，即可. 【详解】长半轴，离心率， ∴， 所以，， ∴地球到太阳的最远距离和最近距离分别为． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．抛物线上的点到直线的最短距离为，则正数的值为_______. 【答案】6 【分析】求出与直线距离为的直线方程，在已知直线上方的直线与抛物线相切，由此可求得值． 【详解】设与直线距离为的直线方程为，由得或，即直线方程或，由题意直线与抛物线相切， 由，得，所以，又．故解得． 故答案为：6． 10．双曲线与直线交点的个数为_____. 【答案】1 【分析】将双曲线方程与直线方程联立方程组求解即可 【详解】联立方程可得，消可得， 即，故， 故方程组有且只有一组解， 故双曲线与直线有且只有一个交点. 故答案为：1 11．已知抛物线，直线与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点，记直线OM，ON的斜率分别为，，若，则t＝________． 【答案】2 【分析】直线与抛物线联立，韦达定理可以得到两根之和，两根之积，再根据所给的斜率关系即可求得. 【详解】画出图像如图所示：    联立直线与抛物线方程得， ，所以， 因为直线OM，ON的斜率分别为，，且， 所以， 即，所以. 故答案为：2 12．小华同学根据学习过的知识，自己制作了一个太阳灶，这个太阳灶集光板的轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，如图所示．当抛物线的口径为2米时，抛物线的深度为0.25米，已知当集光装置安放在抛物线的焦点位置时，效果最佳，则小华同学应该将集光装置安装在抛物线的顶点上方______米处． 【答案】1 【分析】先根据已知条件求出抛物线的方程，然后根据抛物线方程求出焦点坐标，焦点到顶点的距离就是集光装置应安装在顶点上方的距离. 【详解】设抛物线方程为， 已知抛物线的口径米，即两点的横坐标分别为和，深度米， 则点的坐标为， 把代入，得到， 解方程，可得， 所以抛物线方程为， 对于抛物线，其焦点坐标为， 由，可得焦点坐标为， 因为抛物线顶点坐标为，所以焦点到顶点的距离为1米. 故答案为：1. 13．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽，高，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为_______． 【答案】 【分析】设抛物线标准方程为，再根据题意将抛物线上的点代入，求出的值，即可确定准线方程. 【详解】由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为轴， 设抛物线标准方程为， 由鱼腹部分宽，高可得， 将点代入得，解得， 所以准线方程为， 故答案为：. 14．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则椭圆离心率为_________，的周长为_________. 【答案】 / 【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可. 【详解】由已知可得， 的周长为. 故答案为：； 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方程.    【答案】， 【分析】把图形转化为平面直角坐标系中的椭圆，即可写出椭圆中、的值，从而可得到椭圆的一个方程. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，    由已知可得：，，则在椭圆中有：，， 故椭圆的标准方程为：，. 16．回答下面两个题 (1)求经过点和点的椭圆的标准方程； (2)如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，求水面的宽度    【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先设椭圆的一般方程，代入两个点，即可求解； （2）首先建立坐标系，求解椭圆方程，再根据水面上升后的值求的值，即可求解. 【详解】（1）设椭圆方程为， 将点和点代入可知，得， 所以椭圆的标准方程为：； （2）    以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为. 17．设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点． (1)求的值； (2)若点在上，且，求的面积． 【答案】(1)1； (2)3. 【分析】（1）根据曲线方程判断，根据共焦点列出方程，求解即可； （2）根据双曲线定义，结合三角形形状，列方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上， 故，即，， 解得或，又，故； （2）由（1）可得双曲线方程为：， 设其左右焦点分别为，故可得； 根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上， 设， 由双曲线定义可得：，即； 又三角形为直角三角形，则， 即，即，； 故△的面积. 18．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.    【答案】建系见解析，抛物线的标准方程是，焦点坐标是 【分析】在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上，然后设抛物线方程，代入点求解可得. 【详解】解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.    设抛物线的标准方程是. 由已知条件得，点A的坐标是，代入方程，得 ，即. 所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $