第64卷 排列组合（一）-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的基础层考点训练，聚焦排列组合核心概念，通过分层题型构建从单一到综合的知识逻辑，培养逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-8、填空12-13|直接考查排列数、组合数计算及二项式展开|从基本原理（分类/分步）到概念（排列/组合）再到公式应用| |有限制条件问题|填空9-11、14|含特殊元素（甲不站两端）、分组分配（劳动课报名）|在基础概念上增加约束条件，强化分类讨论思维| |综合应用|解答15-18|多情境综合（翻译人员选法、小球放箱子）|整合排列组合与概率，体现知识迁移与实际应用意识|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第64卷 排列组合（一） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某班要从5名班干部中任选3名参加座谈会，则不同的选择方案共有（    ） A．60种 B．30种 C．20种 D．10种 【答案】D 【分析】选3名参加座谈会，是无序的，所以求的是从5个不同元素中任取3个元素的组合数. 【详解】从5名班干部中任选3名参加座谈会，不同的选择方案共有 （种） 故选：D 2．从1，2，3，6，7这五个数中任取两个数相加，则得到不同的和的个数为（   ） A．8 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【分析】一一列举出所有可能即可. 【详解】， 所以得到不同的和有，共8个， 故选：A 3．由组成的没有重复数字的三位数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】用排列数的定义解决即可. 【详解】由题意可知， 由组成的没有重复数字的三位数共有 种. 故选：C. 4．从四个数中任取两个数相除，则得到不同的商的个数为（   ） A．16 B．8 C．6 D．12 【答案】D 【分析】根据题意，结合排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，从四个数中任取两个数相除，得到不同的商的个数为. 故选：D. 5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，不同的排法一共有（    ） A．120种 B．100种 C．80种 D．60种 【答案】A 【分析】根据全排列的定义即可求解. 【详解】5名同学站成一排，是一个全排列问题， 可以理解为，先让甲选，则甲有5种选择，再让乙选，乙有4种选择. 以此类推， 5人共有一共有种排法. 故选：A. 6．六门课程任选三门的选法共有（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】运用组合数计算即可. 【详解】六门课程任选三门的选法共有， 种， 故选：D. 7．五门课程任选三门的选法一共有多少种? （    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】由组合数公式求解即可. 【详解】五门课程任选三门的选法一共有种. 故选：B. 8．二项式展开式中，不含的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的幂指数为0即可解得. 【详解】二项式展开式通项公式：， 令，解得，所以不含的项是第5项. 故选：C 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有______． 【答案】 【分析】根据题意先将五位同学分组，再分配到三门劳动实践选修课去学习，由分步乘法原理即可求解. 【详解】由题意得，先将五位同学分组，可以分为和两种情况， 当分组为时，共有种； 当分组为时，共有种. 再将五位同学分配到三门劳动实践选修课去学习，共有种. 所以不同的报名方法有种. 故答案为：. 10．五位同学（包括甲）站成一排，若甲不站两端，则不同的排法种数为________. 【答案】72 【分析】先将甲从中间的3个位置中挑选1个，再将剩余的4位同学全排列. 【详解】先将甲从中间的3个位置中挑选1个，再将剩余的4位同学全排列， 则不同的排法种数为种. 故答案为：72. 11．某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为___________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有___________种. 【答案】 540 【分析】先由排列组合知识得出分配方案的种数、每个入口都有女志愿者的分配方案种数，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者，分配方案共有种，3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种. 故答案为：； 12．的二项展开式中，含项的系数为_______（用数字作答）. 【答案】24 【分析】利用二项式展开的通项求解. 【详解】的二项展开式的通项为：， 令，解得， 所以含项的系数为. 故答案为：24. 13．展开式中二项式系数最大的项是_______________. 【答案】 【分析】根据可知二项展开式中二项式系数最大的项为中间项，再结合二项展开式通项求解即可. 【详解】展开式中二项式系数最大的项是第项， ∴， 展开式中二项式系数最大的项是. 故答案为：. 14．若（）的展开式中各项系数之和为32，则展开式中含的项为______ 【答案】 【分析】先根据二项式展开式中各项系数只和的求法求出的值，再根据二项式展开式的通项公式求出含的项. 【详解】令，则， 已知各项系数之和为32，则， 二项式的通项公式为：， 令， 将代入通项公式： ， 故答案为： 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．有12名翻译人员，其中3人只能翻译英语，4人只能翻译法语，其余5人既能翻译英语，也能翻译法语．从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有多少种不同的选法？ 【答案】2174种 【分析】按只会英语的人进行分类即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，可以分为下面4种情况： ①只会英语的3人都去翻译英语，有种； ②只会英语的2人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取1人去翻译英语，有种； ③只会英语的1人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取2人去翻译英语，有种； ④只会英语的没有人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取3人去翻译英语，有种； 共有：种 综上：从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有种不同的选法. 16．（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）根据条件每个箱子先放一个,确定余下两个小球的放法即为答案; （2）由排列、组合及简单计数问题,结合隔板法求解即可; （3）将6个不同的小球分成4组,结合平均分组问题求解即可; （4）将6个不同的小球分成4组,然后将这4组分给4个不同的箱子,结合平均分组问题求解即可. 【详解】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,每个箱子先放入1个小球,还剩下2个小球,则余下2个小球放在1个箱子中,或分开放在2个箱子中,所以共有2种放法; （2）将6个相同的小球放入4个不同的箱子,每个箱子至少放1个小球,则将6个相同的小球排成一列,在中间5个空隙中插入3块隔板即可,所以不同的放法种数为; （3）6个不同的小球放入4个相同的箱子,每个箱子至少放1个球,先把6个不同的小球按和两种方案分成4组,每一种分法的4组小球分别放入4个箱子,则不同的放法种数为 （4）6个不同的小球放入4个不同的箱子,每个箱子至少放1个球,先把6个不同的小球按和两种方案分成4组,每一种分法的4组小球全排列,得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子即可,所以不同的放法种数为 17．已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求： (1)的值； (2)展开式中的常数项； (3)展开式中系数最大的项． 【答案】(1)9. (2). (3). 【分析】（）根据二项展开式的二项式系数和公式即可得解. （）根据题意结合二项展开式的通项公式即可得解. （）设展开式第项的系数最大，列出不等式组即可得解. 【详解】（1）展开式的二项式系数和为， ，解得：. （2）展开式通项为， 令，解得：， 则展开式常数项为. （3）设展开式第项的系数最大， 则，解得， 又，， 展开式中系数最大的项为. 18．求5个同学任意站成一排，其中甲同学不站在首尾两端的概率． 【答案】 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】由题意，先从中间3个位置选一个给甲，其他同学全排列共有种排法， 所以甲同学不站在首尾两端的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第64卷 排列组合（一） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某班要从5名班干部中任选3名参加座谈会，则不同的选择方案共有（    ） A．60种 B．30种 C．20种 D．10种 2．从1，2，3，6，7这五个数中任取两个数相加，则得到不同的和的个数为（   ） A．8 B．7 C．9 D．10 3．由组成的没有重复数字的三位数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．从四个数中任取两个数相除，则得到不同的商的个数为（   ） A．16 B．8 C．6 D．12 5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，不同的排法一共有（    ） A．120种 B．100种 C．80种 D．60种 6．六门课程任选三门的选法共有（   ） A．3 B．5 C． D． 7．五门课程任选三门的选法一共有多少种? （    ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．二项式展开式中，不含的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有______． 10．五位同学（包括甲）站成一排，若甲不站两端，则不同的排法种数为________. 11．某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为___________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有___________种. 12．的二项展开式中，含项的系数为_______（用数字作答）. 13．展开式中二项式系数最大的项是_______________. 14．若（）的展开式中各项系数之和为32，则展开式中含的项为______ 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．有12名翻译人员，其中3人只能翻译英语，4人只能翻译法语，其余5人既能翻译英语，也能翻译法语．从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有多少种不同的选法？ 16．（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 17．已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求： (1)的值； (2)展开式中的常数项； (3)展开式中系数最大的项． 18．求5个同学任意站成一排，其中甲同学不站在首尾两端的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $