第69卷 随机变量及其分布（二）-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的基础层考点卷，聚焦随机变量及其分布微目标，以题载知构建从概念到应用的逻辑链条 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|判断离散型随机变量，考查数学眼光的抽象能力|从实例抽象随机变量概念，建立与连续型变量的区分逻辑| |分布列性质|4题|利用概率和为1求参数，训练数学思维的推理能力|基于分布列定义推导性质，形成“概念-性质-应用”链条| |期望方差计算|5题|结合实际情境计算期望方差，培养数据意识|从分布列延伸至数字特征，体现知识应用拓展逻辑| |综合应用|4题|比赛得分、抽取问题等实际模型，发展模型意识|整合概念与计算，构建“问题情境-数学模型-求解”完整路径|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第69卷 随机变量及其分布（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量分布列的性质，即概率和等于1，得解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知，，所以. 故选：A. 2．已知下列随机变量： ①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数； ②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击手在一次射击中的得分； ③一天内的温度； ④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数． 其中是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可. 【详解】①：可能取值为，所以是离散型随机变量； ②：可能取值为，所以是离散型随机变量； ③：一天的温度变化是连续的，所以不是离散型随机变量； ④：在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数是离散的，所以是离散型随机变量 故选：B 3．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐一判断即可. 【详解】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量. 故选：C. 4．已知随机变量的概率分布为 0 1 2 3 4 5 6 P 0.16 0.22 0.24 0.10 0.06 0.01 则（    ） A．0.17 B．0.20 C．0.21 D．0.22 【答案】C 【分析】根据分布列的概率之和为1，即可求解. 【详解】当取完全部值时，其概率之和为1. 所以. 故选：C. 5．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C 6．随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求. 【详解】，且， 解得， . 故选：D. 7．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算求得时的概率，由此可得分布列，根据数学期望计算公式可求得结果. 【详解】两封信随机投入三个空邮箱，共有种情况， 则投入邮箱的信件数所有可能的取值为， ，，． 离散型随机变量的分布列为 ． 故选：B． 8．用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（    ） A．掷出的点数是偶数的概率为； B．掷出的点数超过1的概率为； C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为； D．的期望为． 【答案】C 【分析】根据等可能事件的概率计算可判定ABC；列出分布列，利用期望值公式计算从而判定D. 【详解】的值可以为1、2、3、4、5、6，取每一个值的概率都相等， X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P X为偶数的情况由3种，其概率为，故A正确； X超过1的有5种，其概率为，故B正确； X大于3不大于5的有4、5两种，其概率为，故C错误； X期望值为, 故D正确. 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)=________，P(6<ξ≤14)=________. 【答案】 【分析】根据概率的加法公式即可求解. 【详解】[P(ξ>8)=×8=，P(6<ξ≤14)=×8=. 故答案为：； 10．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为____________． 【答案】 【分析】首先根据题意得到的取值为0，1，2，列出分布列，求出数学期望，再计算方差即可. 【详解】由题意可知：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2. 则，，. 故的分布列为 0 1 2 P 则， 所以. 故答案为： 11．已知某随机变量的分布列如下表所示，其中，，则随机变量的数学期望______. 1 2 3 x y x 【答案】2 【分析】根据概率的性质，得出，再利用期望公式即可得到结论． 【详解】由题意可知，，，. 故答案为：2. 12．设X是一个离散型随机变量，其分布列为： X 0 2 4 P 则______． 【答案】/ 【分析】由题意表中概率之和为1，且每个概率不少于0且不超过1，由此即可列方程求解. 【详解】∵，∴，解得或（舍去），∴． 故答案为：. 13．设的分布列如图，又，则___________. 1 2 3 4 P a 【答案】 【分析】先根据分布列的性质求出，再求，进一步就可求出. 【详解】由分布列的性质得，得， 从而， 而， 所以. 故答案为：. 14．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则__________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质及数学期望求出的值，即可求得. 【详解】由题意知， 由得，解得， 故. 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示甲学校的总得分，求X的分布列. 【答案】(1)0.648； (2)分布列见解析 【分析】（1）分析甲学校获得冠军的比赛获胜情况，利用独立事件的概率公式即可得解； （2）先分析得的可能取值，再利用独立事件的概率公式求得各取值的概率，从而得解. 【详解】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立， 甲学校获得冠军至少要赢得两场比赛， 甲学校获得冠军的概率为； （2）依题意，的可能取值为0，2，4，6， ，， ， 则X的分布列如下： X 0 2 4 6 P 16．从3名医生，4名护士中随机选出3人参加志愿服务，记选出的医生人数为，求： (1)的分布列； (2)选出的医护人员中至少有2名医生的概率； (3)选出的医护人员中至多有2名医生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意知的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由选出的医护人员中至少有2名医生有2种情况，分别是选出2名医生和选出3名医生，利用分布列求出其概率； （3）由选出的医护人员中至多有2名医生，利用间接法可知排除选出3名医生的情况结合分布列求出其概率. 【详解】（1）根据题意，的取值为，，，． ， ， ， ． 的分布列为 0 1 2 3 （2）． 选出的医护人员中至少有2名医生的概率是． （3）． 选出的医护人员中至多有2名医生的概率是． 17．掷一颗正方体骰子，用随机变量表示出现的点数，求： (1)的分布列； (2)及. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）根据题意，结合古典概率的计算，及离散型随机变量的分布列，即可求解； （2）根据题意，结合离散型随机变量的分布列，即可求解. 【详解】（1）依题意所有可能的取值为、、、、、. 因为骰子是均匀的，所以出现每一点数的概率均为， 故的分布列为： （2）由（1）可得， ． 18．某车间甲组有8名工人，其中3名女工，乙组有6名工人，其中4名女工．现从甲组中抽取2名工人，乙组中抽取1名工人进行技术考核． (1)求被抽取进行考核的3名工人中全是女工的概率； (2)记表示抽取进行考核的3名工人中男工的人数． ①求的概率分布列及期望； ②求． 【答案】(1) (2)①分布列见解析；期望；② 【分析】（1）根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合随机变量分布列的计算，及期望的计算公式，及可求解的概率分布列及期望；结合对立事件的概率的计算，即可求解概率. 【详解】（1）由题意，抽取进行考核的3名工人中全是女工的概率； （2）①由题意，随机变量的可能取值为：， ，， ，， 所以随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 期望； ②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第69卷 随机变量及其分布（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（    ） A． B． C． D． 2．已知下列随机变量： ①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数； ②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击手在一次射击中的得分； ③一天内的温度； ④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数． 其中是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④ 3．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 4．已知随机变量的概率分布为 0 1 2 3 4 5 6 P 0.16 0.22 0.24 0.10 0.06 0.01 则（    ） A．0.17 B．0.20 C．0.21 D．0.22 5．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 7．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望（    ） A． B． C． D． 8．用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（    ） A．掷出的点数是偶数的概率为； B．掷出的点数超过1的概率为； C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为； D．的期望为． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)=________，P(6<ξ≤14)=________. 10．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为____________． 11．已知某随机变量的分布列如下表所示，其中，，则随机变量的数学期望______. 1 2 3 x y x 12．设X是一个离散型随机变量，其分布列为： X 0 2 4 P 则______． 13．设的分布列如图，又，则___________. 1 2 3 4 P a 14．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则__________. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示甲学校的总得分，求X的分布列. 16．从3名医生，4名护士中随机选出3人参加志愿服务，记选出的医生人数为，求： (1)的分布列； (2)选出的医护人员中至少有2名医生的概率； (3)选出的医护人员中至多有2名医生的概率． 17．掷一颗正方体骰子，用随机变量表示出现的点数，求： (1)的分布列； (2)及. 18．某车间甲组有8名工人，其中3名女工，乙组有6名工人，其中4名女工．现从甲组中抽取2名工人，乙组中抽取1名工人进行技术考核． (1)求被抽取进行考核的3名工人中全是女工的概率； (2)记表示抽取进行考核的3名工人中男工的人数． ①求的概率分布列及期望； ②求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $