第78卷 指数函数与对数函数（二）-专题训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数专题，以三阶递进巩固层为设计核心，通过基础概念辨析、性质应用及实际问题解决，构建从概念到应用的完整知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|指数函数过点求参数、对数式互化、指对运算|从定义出发，强化概念辨析与基本运算| |性质应用|7题|单调性判断、定义域求解、大小比较|结合函数性质，深化概念到性质的推导应用| |实际应用|2题|污染物浓度、酒精含量模型|联系生活实际，体现数学语言表达现实世界| |综合解答|4题|解析式求解、最值与单调区间|整合概念与性质，提升综合分析与推理能力|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第78卷 指数函数与对数函数（二） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如果指数函数（）的图像经过点，那么的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将点的坐标代入指数函数的解析式求解. 【详解】由题意，将点代入指数函数（）， 得，解得. 故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 3．将化成对数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据指数式与对数式的转化关系求解. 【详解】将指数式化成对数式，可得， 故选：C. 4．设、、、，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用指数函数的单调性可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项. 对于A选项，取，则，A错； 对于B选项，因为指数函数在上为减函数， 因为，则，B错； 对于C选项，若且，则，由不等式的基本性质得，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：C. 5．若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合不等式的基本性质即可得解. 【详解】对选项A，当，时，此不等式不成立，故A不正确； 对选项B，当时，此不等式不成立，故B不正确； 对选项C，函数，底数，所以为减函数，所以，故C不正确； 对选项D，由于，所以成立，故D正确. 故选：D. 6．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合复合型对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为对数函数，底数，所以在定义域上为增函数， 要使函数在上单调递减， 需满足函数在上单调递减，且在该区间恒成立， 因为图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则，解得， 所以的取值范围为， 故选：A. 7．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出恒成立，则，解不等式即可得解. 【详解】因为函数的定义域为, 所以恒成立， 则，解得， 实数的取值范围是， 故选：. 8．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析、、的取值范围，再比较它们的大小. 【详解】已知，因为，且，所以， 已知，因为，所以， 已知，因为，所以， 综上，. 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知函数，则________． 【答案】4 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解. 【详解】因为函数， 所以. 故答案为：4. 10．已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为_________________. 【答案】 【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，当时，， 即函数图象恒过点. 故答案为： 11．某地区的环境监测显示，污染物浓度C（单位：）与净化时间t（单位：小时）关系式为，其中为初始浓度，k为常数．若经过2小时后污染物浓度降低为初始值的，则再经过________小时，污染物浓度可降低为初始值的． 【答案】4 【分析】将代入关系式得列方程求出，再根据关系式列方程求解即可. 【详解】因为， 由题意得，解得， 则，解得， 则再经过的时间为小时． 故答案为：4. 12．计算_____. 【答案】6 【分析】由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化，并利用换底公式即可求解. . 故答案为： 13．函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0及对数的真数大于0，列出不等式求解. 【详解】由题意得，且， 即且， 即，解得， 函数的定义域为. 故答案为：. 14．一个人喝了少量酒后，血液中的精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过___________小时，才能开车．精确到1小时.（，） 【答案】6 【分析】根据指数型模型结合对数的运算计算即可. 【详解】设经过t小时后，驾驶员血液中的酒精含量不超过， ∵血液中的酒精含量从，以每小时的速度减少， ∴，即， ∴， 两边取对数可得， ∴驾驶员至少经过6小时才能开车. 故答案为：6. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数（且） (1)若，求a的值 (2)若，解不等式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数解析式求解a的值即可. （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）∵函数，且， ∴，即， ∵且， ∴. （2）函数的定义域为， ∴，则函数在内为增函数， ∵，则， 即， ∴，解得， ∵，则， ∴， ∴不等式的解集为. 16．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)当取得何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 【答案】(1) (2)当时，函数取得最小值，其最小值为 【分析】（1）根据对数的真数大于零，列不等式组可求解； （2）根据对数的运算法则，可得，，采用换元法，令，， 利用对数函数的单调性，求的最大值可得结果. 【详解】（1）要使函数有意义，则有 ，解得， 所以函数的定义域为； （2）， 令，， 由可知， 当时，函数有最大值为9，且函数在定义域上是减函数， 所以当时，函数取得最小值，其最小值为. 17．已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，，求出的值，进而求解即可； （2）当时，在区间上单调递增，结合单调性的性质求解即可. （1）由题可知，， 解得，，所以. 因为，所以，所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去），故. 18．已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是. (2)1 【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解； （2）令，结合指数函数单调性可知的最小值为，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. （1）当时， 令，则在上单调递增，在单调递减， 且在R上为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，则， 因为的最大值为3，且在R上为减函数， 所以的最小值为， 当时，无最大值，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的值为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第78卷 指数函数与对数函数（二） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如果指数函数（）的图像经过点，那么的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 2．已知，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．将化成对数式可表示为（    ） A． B． C． D． 4．设、、、，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 5．若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知函数，则________． 10．已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为_________________. 11．某地区的环境监测显示，污染物浓度C（单位：）与净化时间t（单位：小时）关系式为，其中为初始浓度，k为常数．若经过2小时后污染物浓度降低为初始值的，则再经过________小时，污染物浓度可降低为初始值的． 12．计算_____. 13．函数的定义域为__________. 14．一个人喝了少量酒后，血液中的精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过___________小时，才能开车．精确到1小时.（，） 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数（且） (1)若，求a的值 (2)若，解不等式 16．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)当取得何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 17．已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 18．已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $