第81卷 平面向量（一）-专题训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 平面向量专题训练卷以三阶递进体系为框架，聚焦向量坐标运算、位置关系及数量积应用，通过基础到综合的题型设计，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|4题（1,2,9,12）|坐标表示与线性运算|从向量坐标概念到加减、数乘运算的生成| |位置关系|6题（3,4,5,11,13,14）|平行垂直判定与参数求解|由向量共线定理、数量积性质推导位置关系条件| |数量积应用|5题（6,7,8,15,16）|模长、夹角计算及综合应用|从数量积定义到模长公式、夹角公式的应用拓展| |空间向量初步|1题（18）|空间向量坐标表示|平面向量向空间维度的延伸|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第81卷 平面向量（一） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知点，，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且与平行，则m＝（    ） A． B．－ C．6 D．－6 4．已知向量，若，且，则的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C．9 D． 6．已知 则 （    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知向量，则_____________ 10．在直角坐标系中，点，，，则________________. 11．已知向量，若，则实数 _________. 12．向量，则________________________. 13．已知向量，若向量与垂直，则_______________. 14．若，与反向，，则_____________． 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量与的夹角为． (1)求及； (2)求． 16．已知向量，. (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值； (3)若，且，求向量与向量的夹角. 17．已知向量，求： (1)； (2). 18．已知，， 求： (1)； (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第81卷 平面向量（一） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知点，，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示即可求解. 【详解】因为点，， 则向量. 故选：A. 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算可得结果. 【详解】由已知得 ， 故选：B. 3．已知向量，，且与平行，则m＝（    ） A． B．－ C．6 D．－6 【答案】D 【分析】根据向量平行求解参数即可. 【详解】已知向量，，且与平行， 则，解得. 故选：D. 4．已知向量，若，且，则的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出向量的坐标，根据模长公式及平面向量垂直的坐标表示列出方程组即可得解. 【详解】向量，若，且， 设向量， 则，解得或， 所以或. 故选：. 5．已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】利用两向量平行的坐标表示求解. 【详解】已知，且， 则，解得， 故选：B. 6．已知 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先求向量数乘的结果，再和另一向量坐标相加即可. 【详解】因为 所以， 则， 故选：B. 7．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 8．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性运算的坐标运算即可得解. 【详解】因为向量， 则， 故选：. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知向量，则_____________ 【答案】1 【分析】由向量内积的坐标运算求解即可. 【详解】因为, 所以. 故答案为：. 10．在直角坐标系中，点，，，则________________. 【答案】1 【分析】首先求出向量，再根据向量内积的坐标运算求解即可. 【详解】因为在直角坐标系中，点，，， 所以向量，； 进而. 故答案为：1. 11．已知向量，若，则实数 _________. 【答案】/ 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示，及平面垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】向量，则， 因为，所以，解得， 故答案为：. 12．向量，则________________________. 【答案】10 【分析】根据平面向量的模长公式即可得解. 【详解】向量，则， 故答案为：. 13．已知向量，若向量与垂直，则_______________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】因为，所以，解得， 故答案为：. 14．若，与反向，，则_____________． 【答案】 【分析】根据数乘的定义即可求解. 由于， ，且与反向，故， 故答案为： 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量与的夹角为． (1)求及； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义和向量模的公式即可求解. （2）直接由内积的运算律以及内积公式运算即可. 【详解】（1）因为向量与的夹角为， 则， ； （2）． 16．已知向量，. (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值； (3)若，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求出，再根据模的坐标公式即可求解. （2）由向量内积的坐标表示即模的坐标公式求出，代入中即可求解. （3）由得，再由向量内积的定义结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2）因为，， 则，，， 所以. （3）因为，所以，即， 所以，又，则， 所以，因为， 所以. 17．已知向量，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据向量坐标的数乘运算和减法运算即可解得. （2）根据向量坐标的加法运算和模的坐标表示即可解得. 【详解】（1）. （2）， . 18．已知，， 求： (1)； (2). 【答案】(1). (2). 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】（1），， . （2），， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $