第88卷 立体几何（二）-专题训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式立体几何专题训练，聚焦考纲微目标拆解与综合应用，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选2-4题|平面确定、球体性质判断|从平面基本性质到空间几何体概念生成| |空间几何体|填空9-13题|线面角、体积表面积计算|由单一几何体（圆锥、球）到组合体（球与圆锥）应用拓展| |位置关系|单选5-8题、解答15题|线面平行、面面垂直证明|从线线关系推导线面、面面关系逻辑链条| |空间角|单选6-7题、解答17题|异面直线角、二面角计算|空间角转化为平面角的推理过程| |综合应用|解答16、18题|点面距离、表面积体积综合|整合几何体性质与位置关系的综合应用|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第88卷 立体几何（二） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知球O的半径为1，A、B为球O上的任意两点，则A、B两点的球面距离的最大值为（　　） A．2 B．π C． D． 2．下列命题正确的是（　　） A．经过三点可以确定一个平面 B．两条直线可以确定一个平面 C．不共线的三点确定唯一一个平面 D．平行四边形的四个顶点不一定在同一平面内 3．一个圆锥的轴截面是等边三角形，其边长为3，则圆锥的高为（    ） A．3 B． C． D． 4．关于球体的性质正确的是（    ）. A．球体是到定点距离等于定长的所有点. B．任何平面截球面得到的截面都是矩形. C．任何通过球的直线都是对称轴. D．球的切线垂直于过球点的半径. 5．已知平面，点，点，直线且，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都可能 6．如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．如图所示，在正方体中点是线段上一动点，则和所成的角为（　　）    A． B． C． D．无法确定 8．已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．如图所示，在长方体中，，，则与平面所成角的正切值为______. 10．一个球的半径变为原来2倍，则该球的体积变为原来的________倍． 11．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_____. 12．如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______ ． 13．一件工艺品的上面是一个球体，下面是一个圆锥，并且球心在圆锥的旋转轴上，其轴截面如图所示．已知工艺品的高为10cm，球体与圆锥底面圆的半径都为3cm，则该工艺品的表面积为___________，体积为___________．    14．已知且，，那么 “” 是 “” 的__条件. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 16．如图，在直三棱柱中，M，N分别为AC，的中点. (1)证明：平面； (2)若平面，，，求点A到平面的距离. 17．如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 18．已知正三棱柱的底面边长和侧棱长均为a，求该正三棱柱的表面积和体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第88卷 立体几何（二） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知球O的半径为1，A、B为球O上的任意两点，则A、B两点的球面距离的最大值为（　　） A．2 B．π C． D． 【答案】B 【分析】直接求当连线经过球心时，经过两点的大圆的扇形的弧长，就是两点间的球面距离的最大值． 【详解】∵球的半径为1，为球上的任意两点，如图所示， 两点间的球面距离的最大值，当且仅当为对径点，即 过球心， 此时在大圆上的弧为半圆弧， 即. 故选：B. 2．下列命题正确的是（　　） A．经过三点可以确定一个平面 B．两条直线可以确定一个平面 C．不共线的三点确定唯一一个平面 D．平行四边形的四个顶点不一定在同一平面内 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质判断各选项. 【详解】A错误：若三点共线，则有无数个平面经过它们； B错误：若两直线异面，则不能确定一个平面； C正确：由公理2可知，不共线的三点确定唯一平面； D错误：平行四边形是平面图形，其四点必共面. 故选：C． 3．一个圆锥的轴截面是等边三角形，其边长为3，则圆锥的高为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴截面中边长与高的关系求解即可； 【详解】因为圆锥的轴截面是等边三角形，其底边为圆锥底面圆的直径，两腰为圆锥的母线， 所以圆锥的母线长，底面圆的直径，则底面圆的半径， 所以圆锥的高. 故选：C 4．关于球体的性质正确的是（    ）. A．球体是到定点距离等于定长的所有点. B．任何平面截球面得到的截面都是矩形. C．任何通过球的直线都是对称轴. D．球的切线垂直于过球点的半径. 【答案】A 【分析】根据球体的性质的理解判断即可. 【详解】对于选项A：描述了球的基本定义性质，即球面是到定点距离等于定长的所有点的集合.与题意相符，故选项A正确； 对于选项B：平面截球面得到的截面是圆形（或点），不是矩形，与题意不符，故选项B错误； 对于选项C：只有经过球心的直线才是球的对称轴，与题意不符，故选项C错误； 对于选项D：表述不准确，应为“球的切线垂直于过切点的半径”，与题意不符，故选项D错误. 故选：A. 5．已知平面，点，点，直线且，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都可能 【答案】C 【分析】根据异面直线的判定定理即可求解. 【详解】根据异面直线判定定理 “过平面外一点和平面内一点的直线， 与平面内不经过该点的直线是异面直线”， 因为，，且， 所以直线AB与是异面直线. 故选： C . 6．如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先找到异面直线和所成角，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】如图所示，取的中点T，连接. 因为，所以四边形是平行四边形，进而. 所以为直线和所成角. 在三角形中，, 则三角形为直角三角形，所以. 故选：C.    7．如图所示，在正方体中点是线段上一动点，则和所成的角为（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. 【详解】   连接，则. 由平面，所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因此和所成的角为. 故选：C. 8．已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】根据线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】对A：若，，则或n在平面内，故A项错误； 对B：根据线面垂直的性质，平行线中的一条直线垂直于另一个平面，另一条直线也垂直于这个平面，故B项正确； 对C：根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，则C项正确； 对D：根据面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，故D项正确. 故选：A. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．如图所示，在长方体中，，，则与平面所成角的正切值为______. 【答案】/ 【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果. 【详解】依题意，画出图形，如图， 过作，垂足为， 所以，故点H为中点， 在长方体中， 平面，平面， 可得，又， 所以 平面， 则即为所求角， 因为，， 所以， ， 所以， 故答案为：. 10．一个球的半径变为原来2倍，则该球的体积变为原来的________倍． 【答案】8 【分析】根据题意结合球的体积公式即可得解. 【详解】球的体积，若半径变为2R，则新球体积， 故体积变为原来的8倍， 故答案为：. 11．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_____. 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，最后根据圆锥体积公式计算体积. 【详解】设圆锥的母线长为，已知圆锥底面圆的半径， 因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长， 所以，解得， 圆锥的高， 圆锥的体积， 故答案为：. 12．如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______ ． 【答案】 【分析】根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】因为该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为， 所以该青铜器的容积约为． 故答案为：. 13．一件工艺品的上面是一个球体，下面是一个圆锥，并且球心在圆锥的旋转轴上，其轴截面如图所示．已知工艺品的高为10cm，球体与圆锥底面圆的半径都为3cm，则该工艺品的表面积为___________，体积为___________．    【答案】 【分析】根据球和圆锥的表面积和体积公式求解即可. 【详解】由题意得，球体的半径，圆锥的底面圆半径3cm， 高，母线， 则工艺品的表面积， 体积. 故答案为：；. 14．已知且，，那么 “” 是 “” 的__条件. 【答案】充要 【分析】根据线面垂直的性质，面面垂直的性质，结合充要条件即可求解. 【详解】由线面垂直的性质可得，因为且，则又， 所以，则充分性成立. 由面面垂直的性质可得，如果两个平面垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，所以必要性成立. 即且，，那么 “” 是 “” 的充要条件. 故答案为：充要. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证. 【详解】（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面.    （2）在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. 16．如图，在直三棱柱中，M，N分别为AC，的中点. (1)证明：平面； (2)若平面，，，求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)要证明平面，通过证明平面平面即可证得； (2)根据已知条件可以以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及一个方向向量，代入公式计算即可. 【详解】（1）证明：取的中点H，连接MH，HN. 因为M为AC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为H，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为面MHN，所以平面平面. 因为平面MHN，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 因为三棱柱是直三棱柱，所以，. 以BA，，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的法向量为. 由，得，取. 所以点A到平面的距离. 17．如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. （2）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. 【详解】（1）在正方体中，平面，平面， 所以，， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以二面角的大小为. （2）因为平面，平面， 所以，， 为二面角的平面角， 又，所以二面角的大小为. 18．已知正三棱柱的底面边长和侧棱长均为a，求该正三棱柱的表面积和体积. 【答案】； 【分析】根据正棱柱的表面积和体积公式易得答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长和侧棱长均为a， 所以侧面积：； 设底面如图所示，是等边的高，则，    所以， 所以该正三棱柱的表面积：； 该正三棱柱的体积：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $