第90卷 统计与概率（二）-专题训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 2027年天津春考数学专项训练卷，以三阶递进体系为核心，聚焦统计与概率专题，通过基础概念辨析、方法应用到综合解题，系统培养数据意识与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数据描述|2题（1、5题）|考查中位数、众数概念辨析|从数据特征认识到统计量应用| |抽样方法|3题（4、6、7题）|分层抽样计算与方法选择|抽样原理到实际数据采集| |排列组合|3题（2、3、8题）|有限制条件的排列组合|分步计数原理到综合应用| |概率计算|4题（10、11、12、15题）|古典概型与至少问题|事件分析到概率公式应用| |二项式定理|2题（9、17题）|展开式系数与特定项|公式推导到系数计算| |综合应用|2题（16、18题）|方差计算与排列综合|单一知识到多考点融合|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第90卷 统计与概率（二） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某乡镇举行“美丽乡村”评选活动，7个村的得分分别为：6，7，8，9，9，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．7，9 B．8，9 C．9，8 D．9，9 2．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位数，其中奇数个数为（   ） A．20 B．12 C．10 D．6 3．某学生在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，物理和历史至少选一门但不能同时选，则不同的选法种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．为了解我省中小学生的心理健康状况，从中抽取 200 名学生进行调查，较好的方法是（    ） A．随机数法 B．简单随机抽样 C．分层抽样 D．系统抽样 5．九年级10名学生参加垃圾分类知识竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80.这组数据的众数是（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 6．某中学初一、初二、初三学生人数之比依次为，现用分层随机抽样的方法抽出一个样本容量是n的样本，样本中初三学生有120人，则（   ）． A．180 B．240 C．280 D．300 7．某学校高二年级一班有学生54人，二班有学生48人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出17人参加文艺表演，则一班和二班分别选出的人数是（   ） A．15、2 B．12、5 C．10、7 D．9、8 8．从甲、乙、丙三个人中，抽取两人参加数学、英语两项竞赛活动，每项活动恰有1人参加， 则不同的抽取方法数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．3 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．二项式的展开式的所有系数之和为__________. 10．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是________． 11．盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________． 12．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率为__________． 13．某校从高三年级学生中随机抽取名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：后得到频率分布直方图（如图所示），则分数在区间内的人数为_____. 14．第一小组有两女四男共6名同学，任意选两位同学办本月黑板报，则至少有1名女生被选中的选法有__________种（用数字作答）. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．一个不透明袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，白球有个．现从中任意取出个球． (1)求取出的个球中恰有一个红球的概率； (2)若随机变量表示取出个球中红球的个数，求随机变量的分布列． 16．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 10 7 7 10 10 乙射击成绩 10 7 10 10 9 8 (1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 17．求的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数． 18．六人站成一排，求： (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数； (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排列数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第90卷 统计与概率（二） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某乡镇举行“美丽乡村”评选活动，7个村的得分分别为：6，7，8，9，9，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．7，9 B．8，9 C．9，8 D．9，9 【答案】D 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可. 【详解】将数据从小到大排列：6，7，8，9，9，9，10，最中间的数是，则中位数是； 出现的次数最多，所以众数是. 故选：D. 2．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位数，其中奇数个数为（   ） A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】因为要求组成的数是奇数，所以个位数字只能从、、这个数字中任选一个，有种选法， 十位数字就只能从剩下的个数字中任选一个，有种选法， 所以组成没有重复数字的两位奇数的个数为个， 故选：B. 3．某学生在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，物理和历史至少选一门但不能同时选，则不同的选法种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】分类讨论选择物理和选择历史的情况，结合组合数的计算即可得解. 【详解】当选择物理时，历史不能选，则选法有种； 当选择历史时，物理不能选，则选法有种， 所以共有种， 故选：. 4．为了解我省中小学生的心理健康状况，从中抽取 200 名学生进行调查，较好的方法是（    ） A．随机数法 B．简单随机抽样 C．分层抽样 D．系统抽样 【答案】C 【分析】根据分层抽样的性质即可判断. 【详解】因为我省中小学生地域、所处城市、 年龄等差异比较大，具有明显的差异， 所以在选取样本时应按照比例进行抽样，即分层抽样. 故选：C. 5．九年级10名学生参加垃圾分类知识竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80.这组数据的众数是（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】根据众数的概念即可求解. 【详解】在90，80，90，70，90，100，80，90，90，80这组数据的众数是90. 故选：C. 6．某中学初一、初二、初三学生人数之比依次为，现用分层随机抽样的方法抽出一个样本容量是n的样本，样本中初三学生有120人，则（   ）． A．180 B．240 C．280 D．300 【答案】D 【分析】根据题意，结合分层抽样的方法，即可求解. 【详解】由题意得，解得． 故选：D. 7．某学校高二年级一班有学生54人，二班有学生48人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出17人参加文艺表演，则一班和二班分别选出的人数是（   ） A．15、2 B．12、5 C．10、7 D．9、8 【答案】D 【分析】根据分层抽样的计算方法计算即可. 【详解】∵高二年级一班有学生54人，二班有学生48人，随机选出17人， ∴一班选出的人数为人， 二班选出的人数为人. 故选：D. 8．从甲、乙、丙三个人中，抽取两人参加数学、英语两项竞赛活动，每项活动恰有1人参加， 则不同的抽取方法数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先由组合数选出两人参加活动的选法，再由排列数求解即可. 【详解】从甲、乙、丙三个人中，抽取两人参加活动，共有种不同选法， 现数学、英语两项竞赛活动，每项活动恰有1人参加， 则不同的抽取方法数为. 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．二项式的展开式的所有系数之和为__________. 【答案】 【分析】令，即可得解. 【详解】令，，则的展开式的所有系数之和为. 故答案为：. 10．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是________． 【答案】0.3/ 【分析】根据题意结合组合数的计算与古典概型公式即可得解. 【详解】从长度为的5条线段中任取3条，有种取法， 其中能构成三角形的有，种取法， 则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率为. 故答案为：. 11．盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________． 【答案】 【分析】求出总的基本事件数，然后求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型的公式求解即可. 【详解】首先从中任取两个小球有共个基本事件， 取出的小球中至少有一个号码为奇数有共个基本事件， 所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为. 故答案为：. 12．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率为__________． 【答案】 【分析】依据古典概型概率公式计算. 【详解】骰子是正六面体，每个面朝上的概率是相等的，各个面的数字中有3个偶数，3个奇数，故点数是偶数的概率为． 故答案为：. 13．某校从高三年级学生中随机抽取名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：后得到频率分布直方图（如图所示），则分数在区间内的人数为_____. 【答案】 【分析】根据频率分布直方图所有矩形面积之和为1求出的值，即可求解. 【详解】因为频率分布直方图所有矩形面积之和为1, 则， 解得， 则分数在区间内的人数是. 故答案为：. 14．第一小组有两女四男共6名同学，任意选两位同学办本月黑板报，则至少有1名女生被选中的选法有__________种（用数字作答）. 【答案】9 【分析】使用间接法，用总的选法数减去名都是男生的选法数即可. 【详解】从名同学中任选名同学，总的选法数为种， 已知小组中有名男生，任选名男生的选法数为种， 所以至少有名女生被选中的选法数为种. 故答案为：9. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．一个不透明袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，白球有个．现从中任意取出个球． (1)求取出的个球中恰有一个红球的概率； (2)若随机变量表示取出个球中红球的个数，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型概率公式计算即可求解. （2）求出的所有可能值及各个值对应的概率即可求解. 【详解】（1）设取出的3个球中恰有一个红球为事件，则． （2）由题意知随机变量可能取值为，，， 则， ， ， 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 16．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 10 7 7 10 10 乙射击成绩 10 7 10 10 9 8 (1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【答案】(1)人教版：甲的平均数为，方差为；乙的平均数为，方差为. 高教版：甲的平均数为，方差为；乙的平均数为，方差为. (2)乙运动员成绩更好. 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式可解. （2）比较平均数和方差的大小可得. 【详解】（1）甲随机抽取的6次射击成绩的平均数记为， 人教版： 方差记为， 高教版： 方差记为； 乙随机抽取的6次射击成绩的平均数记为， 人教版： 方差记为， 高教版： 方差记为 （2）因为，，所以乙随机抽取的6次射击成绩比甲稳定， 故乙运动员成绩更好. 17．求的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数． 【答案】，. 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质求出第6项的二项式系数最大，结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】由于的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大， 这一项为，此项的系数为， 所以二项式系数最大的项为，此项的系数为. 18．六人站成一排，求： (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数； (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排列数. 【答案】(1)504 (2)312 【分析】（1）根据条件分类讨论，利用排列数与组合数公式及计数原理求解. （2）根据条件分类讨论，利用排列数与组合数公式、插空法及计数原理求解. 【详解】（1）第一类：乙在排头， 此时乙的位置固定，剩下的个人进行全排列，有种排法； 第二类：乙不在排头， 因为乙不在排头也不在排尾，所以乙有个位置可选，即种选法；甲也不能在排头，此时甲也有个位置可选，即种选法；剩下的个人进行全排列，有种排法， 则此时有种排法， 所以排法共有（种）. （2）第一类：甲在排尾，乙在排头， 此时甲和乙的位置固定，剩下的个人进行全排列，有种方法； 第二类：甲在排尾，乙不在排头， 甲在排尾位置固定，乙不能在排头和排尾（甲已占排尾），所以乙有个位置可选，即种选法；剩下的个人进行全排列，有种排法， 这种情况有种方法； 第三类：甲不在排尾，乙在排头， 乙在排头位置固定，甲不能在排头和排尾（乙已占排头），所以甲有个位置可选，即种选法；剩下的个人进行全排列，有种排法， 这种情况有种方法； 第四类：甲不在排尾，乙不在排头， 先排其余个人，有种排法，这个人排好后形成个空位，从这个空位中选个安排甲和乙，有种排法， 这种情况有种方法， 所以排法共有（种）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $