第95卷 综合模拟卷（5）2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 该综合模拟卷属三阶递进式训练体系应用层，跨章节整合代数、几何等模块，以题型承载数学思维与应用能力，突出知识综合与核心素养考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数与函数|7题（含函数、数列等）|概念应用与运算推理|概念生成（集合到函数）、原理推导（数列公式）| |几何与向量|8题（含直线、双曲线等）|空间想象与数形结合|几何性质与代数表达结合（如直线与圆相切）| |概率统计|2题（概率、抽样）|数据处理与模型意识|统计方法应用（分层抽样）、概率计算| |应用综合|1题（利润问题）|实际问题解决与建模|数学模型构建（函数与最值）|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第95卷 综合模拟卷（5） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2．已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角求出斜率，再由点斜式方程求解. 【详解】直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为， 又直线l经过点， 则直线l的方程是，即. 故选：B. 3．已知向量，则向量有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量平行的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量， 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以平行，故正确； 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以不平行，故错误， 故选：. 4．已知函数的最小值为1，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【分析】先利用二次函数的最小值为 0，得到指数的最小值为，再根据指数函数的单调性，由 解出. 是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定， 因为，所以的最小值为（当时取得）， 因此函数的最小值为，又已知的最小值为1， 所以，解得． 故选：A. 5．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，令即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得. 故选：C. 6．从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从5人中任选3人有，全为男生的选法有， 所以所选3人全为男生的概率为， 所以所选3人中既有男生又有女生的概率为. 7．在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画图，结合线面垂直的判定定理，即可求解. 【详解】对于A：直线与平面相交，但不垂直，所以A不正确； 对于B：由题意知，连接，，，如下图， 由正方体性质可得， 因为，，平面，平面， 所以平面，所以B正确； 对于C：由正方体性质可得，平面， 所以平面，所以C不正确； 对于D：直线与平面相交，但不垂直，所以D不正确. 故选：B. 8．已知锐角的面积是，则（ ）． A．4 B． C． D．7 【答案】B 【分析】利用面积公式，可得的值，进而求出的值，再根据余弦定理可求解. 【详解】因为锐角的面积为， 所以， 解得，且锐角中，从而得. 根据余弦定理，，即. 所以. 故选：B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．若圆与直线相切，则半径_______________． 【答案】3 【分析】根据直线与圆相切，则有圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆可得圆心为，半径为r， 因为直线与圆相切，所以有圆心到直线的距离等于半径， 即，解得半径为. 故答案为：3. 10．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为__________. 【答案】15 【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比例，设出样本容量列出方程即可得解. 【详解】根据题意，抽取的比例为， 设样本容量等于，则有，解得， 故答案为：15. 11．函数在区间上是减函数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性可求解. 【详解】因为函数在区间上是减函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 12．已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 【答案】 【分析】首先由已知椭圆方程确定短轴顶点和离心率，再设椭圆的方程为，并由离心率公式和的关系求值即可. 【详解】已知椭圆的短轴顶点为，离心率为， 故椭圆的焦点为，即，设方程为， 因为两个椭圆的离心率相等， 所以，即， 解得，所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 13．已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角为___________.（只考虑正值） 【答案】 【分析】根据扇形面积公式以及弧长公式求解即可. 【详解】设扇形圆心角为，扇形半径为r， 因为扇形的面积，弧长， 所以，即，解得， 所以，即，解得， 所以扇形的圆心角为. 故答案为：. 14．计算：________． 【答案】0 【分析】根据题意，结合对数和分数指数幂的运算，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：0. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知在等差数列中，， (1)求和的值； (2)设，求等比数列的前6项和 【答案】(1)； (2)364 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，即可求解. （2）利用等比数列的通项公式以及求和公式，即可求解. 【详解】（1）令等差数列公差为， 可得，解得， 所以，. （2）令等比数列公比为，可得， 解得， 所以等比数列的前6项和. 16．已知，计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可. （2）根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）已知，； （2）已知，. 17．学校超市以每个元的进价采购了一批保温杯，经调查发现，当售价为每个元时，每周能卖出个保温杯；售价每降低1元，每周能多卖出个保温杯．设每个保温杯的售价定为元，且每周最多可以卖出个保温杯． (1)当每个保温杯的售价元时，每周可以卖出多少个保温杯？ (2)当每个保温杯的售价定为多少元时，能获得最大周利润？最大周利润是多少？ 【答案】(1) (2)当每个保温杯的售价定为52元时，能获得最大周利润，最大周利润是1440元 【分析】（1）根据题意，令列式求值即可. （2）根据“利润=单件利润销售量”的等量关系，及二次函数求最值的方法，即可求解. 【详解】（1）每个保温杯的售价元， 即售价降低了元， 则每周能多卖出个保温杯． 因此当每个保温杯的售价元时， 每周可以卖出个保温杯． （2）每个保温杯的售价元， 即售价降低了元， 则每周能多卖出个保温杯， 于是， 即每周能卖出个保温杯． 根据题意得，即，于是有． 根据题意得周利润． 整理得． 配方得． 因为，所以当时，有最大值． 因此当每个保温杯的售价定为元时， 能获得最大周利润，最大周利润是元． 18．已知双曲线 的离心率为2，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使得l与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用双曲线离心率公式和过点的条件列方程求解即可. （2）将将代入双曲线方程，设，再由韦达定理得出，再由向量垂直的条件判断是否存在直线即可. 【详解】（1）双曲线的离心率， 所以，又 ， 所以， 则双曲线方程为， 因为双曲线过点代入得：， 即，所以， 解得则 ， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知双曲线的方程为， 将代入双曲线方程得，， 即， 整理得， 设由韦达定理得， ， 因为以为直径的圆过原点，所以， 即， 代入，得， 得， 将 和 代入得， ， 则， 即， 整理得，解得， 接下来检验判别式 ， 当时， 满足直线与双曲线有两个交点， 当时，也满足直线与双曲线有两个交点， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第95卷 综合模拟卷（5） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则向量有可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小值为1，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．-1 5．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（ ） A． B． C． D． 7．在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 8．已知锐角的面积是，则（ ）． A．4 B． C． D．7 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．若圆与直线相切，则半径_______________． 10．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为__________. 11．函数在区间上是减函数，则的取值范围是______． 12．已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 13．已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角为___________.（只考虑正值） 14．计算：________． 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知在等差数列中，， (1)求和的值； (2)设，求等比数列的前6项和 16．已知，计算： (1)； (2) 17．学校超市以每个元的进价采购了一批保温杯，经调查发现，当售价为每个元时，每周能卖出个保温杯；售价每降低1元，每周能多卖出个保温杯．设每个保温杯的售价定为元，且每周最多可以卖出个保温杯． (1)当每个保温杯的售价元时，每周可以卖出多少个保温杯？ (2)当每个保温杯的售价定为多少元时，能获得最大周利润？最大周利润是多少？ 18．已知双曲线 的离心率为2，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使得l与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $