1.1.2 集合的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集概念，通过衔接义务教育数学内容创设问题情境，以定义、符号语言、Venn图为支架，构建从集合概念到关系判断的知识脉络。 其特色在于融合直观想象与数学抽象，通过自然语言、符号语言、图形语言的转化（如集合相等的三种语言表述）及分类讨论（如空集在子集关系中的应用）培养逻辑推理。题型探究结合实例（如由集合关系求参数范围），归纳提升方法明确，助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源。

§1　集　合 1.2　集合的基本关系 【素养目标】 1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象) 2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象) 3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象) 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念． 2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 思考1：Venn图的优点是什么？ 提示：形象直观． 知识点1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　两个集合之间的关系 1．子集 知识点2 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________元素都属于集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作__________(或__________)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 任何一个　 A⊆B　 B⊇A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） A⊆B　 A≠B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？ (2)符合“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：(1)不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系． (2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N． ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“⊆”的两边均为集合． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　集合相等 知识点3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考3：怎样证明或判断两个集合相等？ 提示：(1)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A均成立． (2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，则有 (　　) A．M＜N　　　　 B．M∈N C．N⊆M　 D．MN [解析]　∵1∈{1，2，3}，∴{1}{1，2，3}．故选D． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．下列四个集合中，是空集的为 (　　) A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4} [解析]　x＞8，且x＜5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B． B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．用适当的符号填空： (1)a______{a，b，c}；(2)0______{x|x2＝0}；(3)∅______{x∈R|x2＋1＝0}；(4){0，1}______N；(5){0}______{x|x2＝x}；(6){2，1}______{x|x2－3x＋2＝0}． 4．写出集合{a，b，c}的所有子集． [解析]　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． ∈　 ∈　 ＝　 ＝　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 5．判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＜1}； (2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}； (3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 集合间关系的判断  例 1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　(1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合A，再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集合B，进行判断；(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） (3)数形结合法 利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　(2022·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是 (　　) ①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}； ⑥{1}∈{1，2，3}；⑦{1，2}⊆{1，2，3}；⑧{a，b}⊆{b，a}． A．1　 B．2 C．3　 D．4 D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　∅表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则∅≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确；∅和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1，2，3}都表示集合，故⑥错误；{1，2}中的元素都是{1，2，3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b}⊆{b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 确定集合的子集、真子集  　　　　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 例 2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4． 故集合A＝{－4，－1，4}，由0个元素构成的子集为：∅． 由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}． 由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}． 因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集． (2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……一一写出，保证不重不漏． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❷　满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的集合A的个数是 (　　) A．2 B．4 C．5　 D．7 [解析]　由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}． B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 由集合间的关系求参数范围问题  　　　　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围． [分析]　借助数轴分析，注意B是否为空集． 例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． 此类问题要注意对空集的讨论． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　(1)已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝_____； (2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． [解析]　(1)因为B⊆A，所以m2＝2m－1， 即(m－1)2＝0，所以m＝1．当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}，满足B⊆A，故m＝1． 1　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 忽视“空集”的存在 　　　　已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为 (　　) A．{－1}　 B．{1} C．{－1，1}　 D．{－1，0，1} D　 例 4 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集． 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 分类讨论思想的应用 分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值． [分析]　根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解．由于A＝B，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论． 例 5 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． 2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有 (　　) A．M⊆N　 B．M∈N C．N⊆M　 D．M＝N [解析]　∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N⊆M． C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．下列四个集合中是空集的是 (　　) A．{∅}　 B．{x∈R|x2＋1＝0} C．{x|1＜x＜2}　 D．{x|x2＋2x＋1＝0} [解析]　方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B． B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．集合A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}的真子集个数是 (　　) A．5　 B．6 C．7　 D．8 [解析]　A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}＝{0，1，2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C． C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是______． ②　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A． (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C． 2．真子集 定义 对于两个集合A与B，如果__________，且__________，那么称集合A是集合B的真子集． 记法 记作AB(或BA) 图示 结论 (1)AB，BC，则AC． (2)A⊆B且A≠B，则AB． 自然语言 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等． 符号语言 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 图形语言 　 　 [解析]　(1)AB　(2)AB　(3)A＝B 　　　　(2022·石家庄高一教学质检)指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝； (4)A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}． [解析]　(1)方法一　集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA． 方法二　利用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知BA． (2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴BA． (3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在集合B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B． (4)方法一　由xy＞0得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0；由x＞0，y＞0或x＜0，y＜0得xy＞0，从而A＝B． 方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B． [分析]　→→ [解析]　(1)因为B⊆A，当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2． (2)当B≠∅时，有 解得－1≤m＜2，综上得m≥－1． (2)当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得a＜－4或2＜a≤3． 综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2． [错解]　因为B⊆A，而B＝，因此有－∈A，所以a＝±1，故选C． [错因分析]　空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为∅．在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解．本例求解过程中有两处错误，一是方程ax＝－1的解不能写成x＝－，二是忽视了B⊆A时，B可以为空集．事实上a＝0时，方程无解． [正解]　因为B⊆A，所以当B≠∅，即a≠0时，B＝，因此有－∈A，所以a＝±1； 当B＝∅，即a＝0时满足条件． 综上可得实数a的所有可能取值的集合是{－1，0，1}．故选D． [解析]　①若消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0， 当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1． 当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解． ②若，消去b得2ac2－ac－a＝0， 即a(2c2－c－1)＝0， ∵a≠0，∴2c2－c－1＝0， 即(c－1)(2c＋1)＝0． 又∵c≠1，∴c＝－． 当c＝－时，∴b＝－a， ∴A＝，B＝，∴A＝B． 综上可知c＝－． [解析]　由N＝{－1，0}，知NM． 5．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是__________． PQ　 [解析]　因为P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，所以PQ． $